高考数学一轮正弦定理和余弦定理.docx

高考数学一轮正弦定理和余弦定理.docx

《高考数学一轮正弦定理和余弦定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮正弦定理和余弦定理.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学一轮正弦定理和余弦定理

第27课正弦定理和余弦定理

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

正弦定理、余弦定理及其应用

√

1．正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

＝＝＝2R.（R为△ABC外接圆半径）

a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；

b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；

c2＝a2＋b2－2ab·cos_C

变形

形式

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

（2）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

（3）sinA＝，sinB＝，sinC＝

cosA＝；

cosB＝；

cosC＝

解决

问题

（1）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

（1）已知三边求各角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

2.三角形常用面积公式

（1）S＝a·ha（ha表示边a上的高）；

（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.

（3）S＝r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．（　　）

（2）在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．（　　）

（3）在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.（　　）

（4）在△ABC中，＝.（　　）

[解析]　

（1）正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.

（2）错误．由cosA＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．

（3）错误．由b＜a知，B＜A.

（4）正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）√

2．（教材改编）在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是________．

钝角三角形　[由正弦定理，得＝sinA，＝sinB，＝sinC，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]

3．（2016·全国卷Ⅰ改编）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝________.

3　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，

解得b＝3或b＝－（舍去）．]

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.

或　[由正弦定理＝，代入可求得sinB＝，故B＝或B＝.]

5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．

2　[由题意及余弦定理得cosA＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsinA＝×4×2×sin60°＝2.]

利用正、余弦定理解三角形

　在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.【导学号：

62172148】

[解]　设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC

＝（3）2＋62－2×3×6×cos

＝18＋36－（－36）＝90，

所以a＝3.

又由正弦定理得sinB＝＝＝，

由题设知0＜B＜，

所以cosB＝＝＝.

在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，

故由正弦定理得

AD＝＝＝＝.

[规律方法]　1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．

2．

（1）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．

（2）在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．

[变式训练1]　

（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（b－c）（sinB＋sinC）＝（a－c）sinA，则角B的大小为________．

（2）（2016·全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.

（1）30°　

（2）　[

（1）由正弦定理＝＝及（b－c）·（sinB＋sinC）＝（a－c）sinA得（b－c）（b＋c）＝（a－c）a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cosB＝，∴cosB＝，∴B＝30°.

（2）在△ABC中，∵cosA＝，cosC＝，

∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.

又∵＝，∴b＝＝＝.]

判断三角形的形状

（1）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________．

（2）（2017·镇江期中）在△ABC中，若cosA＝，sinB＋sinC＝2sinA，则△ABC的形状为________．

（1）等腰三角形或直角三角形　

（2）等边三角形　[

（1）∵acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

（2）∵sinB＋sinC＝2sinA，∴b＋c＝2a，

又cosA＝，∴＝，

∴b2＋c2－a2＝bc，

又b＋c＝2a，则（b＋c）2－a2＝3bc＝3a2，

∴a2＝bc＝2，∴（b－c）2＝0，即b＝c，

∴b＝c＝a，∴△ABC为等边三角形．]

[规律方法]　1.判定三角形形状的途径：

（1）化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．

（2）化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁．

2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．

[变式训练2]　

（1）设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B

（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是________三角形.【导学号：

62172148】

（1）充分不必要　

（2）等腰　[

（1）由A＋B＋C＝π，A＋B，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立．

（2）法一：

由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin（A－B）＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.

法二：

由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.]

与三角形面积有关的问题

　已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.

（1）若a＝b，求cosB；

（2）设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．

[解]　

（1）由题设及正弦定理可得b2＝2ac.

又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.

由余弦定理可得cosB＝＝.

（2）由

（1）知b2＝2ac.

因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，

故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.

所以△ABC的面积为××＝1.

[规律方法]　三角形面积公式的应用方法：

（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

[变式训练3]　（2016·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

[解]　

（1）由已知及正弦定理得

2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，

即2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC.

可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知得absinC＝.

又C＝，所以ab＝6.

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，

故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.

所以△ABC的周长为5＋.

[思想与方法]

1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：

A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．

2．判定三角形的形状，主要有两种途径：

（1）化边为角；

（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换．

3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.

[易错与防范]

1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角

或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA＜

a＜b

a≥b

a＞b

解的

个数

一解

两解

一解

一解

2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解．

课时分层训练（二十七）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝__________.

　[由正弦定理可得＝，所以sinB＝，再由b＜a，可得B为锐角，

所以cosB＝＝.]

2．（2016·天津高考改编）在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________.

1　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4（舍去）．]

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为________．

　[依题意得cosC＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于absinC＝××＝.]

4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是________（填“一解”“二解”“不存在”）．

不存在　[∵bsinc＝40×sin60°＝20，c＝20，

∴bsinc>c，

∴△ABC不存在．]

5．（2016·全国卷Ⅲ改编）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝________.

　[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝，

∴sin∠BAC＝.]

6．若acos（π－A）＋bsin＝0，内角A，B的对边分别为a，b，则三角形ABC的形状为________．

等腰三角形或直角三角形　[因为acos（π－A）＋bsin＝0，

所以－acosA＋bcosB＝0，所以－sinAcosA＋sinBcosB＝0，所以sin2A＝sin2B，所以A＝B或A＋B＝，所以三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．]

7．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sinC＝cosC，则△ABC的面积为________.【导学号：

6217