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1、高考数学一轮正弦定理和余弦定理第27课 正弦定理和余弦定理最新考纲内容要求ABC正弦定理、余弦定理及其应用1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们

2、的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正确ABabsin Asin B.(2)错误由cos A0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA.(4)正确利用a2Rsin

3、 A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是_钝角三角形由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(2016全国卷改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b_.3由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，a1，b，则B_.或由正弦定理，代入可求得sin B，故B或B.5在ABC中，A

4、60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_2由题意及余弦定理得cos A，解得c2，所以Sbcsin A42sin 602.利用正、余弦定理解三角形在ABC中，BAC，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长. 【导学号：62172148】解设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由题设知0B，所以cos B.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量

5、关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1(1)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为_(2)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.(1)30(2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac

6、)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.判断三角形的形状(1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos Abcos B，则ABC的形状为_(2)(2017镇江期中)在ABC中，若cos A，sin Bsin C2sin A，则ABC的形状为_(1)等腰三角形或直角三角形(2)等边三角形(1)acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，2

7、A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形(2)sin Bsin C2sin A，bc2a，又cos A，b2c2a2bc，又bc2a，则(bc)2a23bc3a2，a2bc2，(bc)20，即bc，bca，ABC为等边三角形规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2(1)设角A，B，C是ABC的三个内角，则“ABC”是“ABC是钝角三角形”的_条件(2)设ABC的内角A，

8、B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是_三角形. 【导学号：62172148】(1)充分不必要(2)等腰(1)由ABC，AB，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立(2)法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.与三角形面积有关的问题已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(

9、1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知

10、及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.思想与方法1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3在ABC中，ABabsin Asin B.易错与防范1已知

11、两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解课时分层训练(二十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_.由正弦定理可得，所以sin B，再由ba，可得B为锐角，所以cos B.2(2016天津高考改编)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC_.1由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292A

12、C3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2ab，则ABC的面积为_依题意得cos C，C60，因此ABC的面积等于absin C.4在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是_(填“一解”“二解”“不存在”)不存在bsin c40sin 6020，c20，bsin cc，ABC不存在5(2016全国卷改编)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A_.过A作ADBC于D，设BCa，由已知得AD.B，ADBD，BDAD，DCa，ACa，在ABC中，由正弦定理得，sin BAC.6若acos(A)bsin0，内角A，B的对边分别为a，b，则三角形ABC的形状为_等腰三角形或直角三角形因为acos(A)bsin0，所以acos Abcos B0，所以sin Acos Asin Bcos B0，所以sin 2Asin 2B，所以AB或AB，所以三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形7已知ABC中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC的面积为_. 【导学号：6217