人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案.docx

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人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案

27.1图形的相似

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比.

2．知道相似多边形的主要特征，即：

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．

【重点难点】

1．相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别．

2．成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算．

知识概览图

相似多边形的特征：

对应角相等，对应边的比相等

图形的相似

判断两个多边形相似：

对应角相等，对应边的比相等

比例线段：

有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比例线段

新课导引

【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状相同的图形的形象．

【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．那么相似的图形具有哪些性质呢?

教材精华

知识点1相似图形

我们把形状相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．例如：

如图27－1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形．

当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：

全等形．例如：

如图27－2所示，△ABC与△A′B′C′的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两个三角形全等．

拓展所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”．

知识点2比例线段

对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ab＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

（1）式子也可以写成a：

b=c：

d，通常这里的a叫做第一比例项，b叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d叫做第四比例项．

（2）有时在中，b＝c，例如：

，这时我们把b叫做a，d的比例中项，此时b2＝ad．

（3）在式子的两边同时乘以bd，得ad＝cb，在与比例有关的计算中，我们常通过上述变形转化字母之间的关系．

拓展通常情况下，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以．

知识点3相似多边形

对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．

拓展在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能说明两个多边形是相似多边形．

知识点4相似多边形的性质

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

例如：

若△ABC与△A′B′C′相似，则∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，.

拓展如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．

知识点5相似比

相似多边形对应边的比称为相似比．

拓展相似多边形面积的比等于相似比的平方．

规律方法小结

（1）相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的形状必须相同．如：

两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、尺寸不同的两张照片．有些图形之间很相像，但不相似，如：

哈哈镜中人的形象与本人不相似；农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似．

（2）学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．

探究交流当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系?

点拨相似比为1的两个图形是全等形．

课堂检测

基本概念题

1、下列多边形中，一定相似的是（）

A．两个矩形B．两个菱形

C．两个正方形D．两个平行四边形

2、下列命题中，正确的是（）

A．相似多边形是全等多边形B．不全等的多边形不是相似多边形

C．全等多边形是相似多边形D．不相似的多边形可能是全等多边形

3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项，b＝3，c＝12，那么线段a的长是多少?

基础知识应用题

4、如果两地的实际距离为750m，图上距离为5cm,那么这张图的比例尺是多少?

5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：

BC：

CD：

DA＝20：

15：

9：

8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D，的各边长．

综合应用题

6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′，相似，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数．

7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的竹竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度为（）

A．20mB．16m

C．18mD．15m

探索与创新题

8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金分割点，求AC:

BC的值．

体验中考

在同一时刻，身高为1．6米的小强在阳光下的影长为0．8米，一棵大树的影长为4．8米，则这棵树的高度为（）

A．4．8米B．6．4米

C．9．6米D．10米

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析根据相似多边形的定义，两个矩形只满足对应角相等，而对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角也不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°，一定相似；两个平行四边形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等．故选C.

【解题策略】判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不可．

2、分析全等多边形是特殊的相似多边形．故选C.

【解题策略】如果两个多边形全等，则一定相似，但是如果两个多边形相似，则不一定全等．

3、分析四条线段a，b，c，d是成比例线段，若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段，即a：

b＝b：

c，则把b叫做a和c的比例中项．将a：

b＝c：

d变形，可得到bc＝ad，当a：

b＝b:

c时，有b2＝ac．

解：

∵a是b，c的比例中项，且b＝3，c＝12，

∴a2＝bc＝3×12＝36，∴a＝±6．

∵a是线段，∴线段a的长是6．

【解题策略】如果线段a是线段b，c的比例中项，那么a2=bc．（其中a，b，c均为正数）

4、分析图的比例尺是一种比例关系，是图上距离与实际距离的比，通常写成1：

x的形式，也就是说，图上的1cm相当于实际的xcm，如某图的比例尺为1：

40000，就是说图上的1cm相当于实际的40000cm，即400m.

解：

∵750m＝75000cm，∴5:

75000＝1:

15000，

即这张图的比例尺是1:

15000．

【解题策略】不论是将图形放大还是缩小，比例尺都是图上距离与实际距离的比．

5、分析根据四边形ABCD各边的比为20：

15：

9：

8可得四边形A′B′C′D′各边的比也为20：

15：

9：

8，再根据四边形A′B′C′D′的周长为26，可求出各条边的长．

解：

∵四边形ABD与四边形A′B′C′D′相似，且AB:

BC:

CD:

DA＝20:

15:

9:

8，

∴A′B′：

B′C′：

C′D′：

D′A′＝20：

15：

9：

8．

又∵四边形A′B′C′D′的周长为26，

∴A′B′=26×=10，B′C′=26×=7．5，

C′D′=26×=4．5，D′A′=26×=4，

即四边形A′B′C′D′的各边长分别为A′B′＝10，B′C′＝7．5，C′D′＝4．5，D′A′＝4．

【解题策略】相似多边形的相似比等于对应边的比．

6、分析充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题．

解：

∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，

∴∠A＝∠A′=65°，，

即，∴A′D′=（cm），

∴B′C′＝cm，∠A′＝∠B′＝65°，

∴∠C′＝∠D′＝180°－65°＝115°．

【解题策略】本题是一道综合性题目，在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．

7、分析本题考查比例线段的基本性质．因为同一时刻物高与影长成比例，所以，∴旗杆的高度＝＝18（m）．故选C．

【解题策略】解决此类问题时，也可以根据比例式列出方程，通过解方程求出旗杆的高度．

8、分析黄金分割点指的是线段上的某一点，它将线段所分成的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比例中项，其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618，准确值是．

解：

当AC＞BC时，AC=AB=4（－1），

∴BC=AB－AC=8－4（－1）=12－4=4（3－），

∴AC：

BC=4（－1）：

4（3－）=．

当AC＜BC时，BC=AB=4（－1），

∴AC=AB－BC=4（3－），

∴AC:

BC=4（3－）:

4（－1）=．

【解题策略】对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．

体验中考

分析设这棵树的高度为x米，则1.6：

0.8＝x：

4.8，解得x＝9.6．故选C．

【解题策略】相同时刻的物高与影长成比例．

27.2相似三角形应用举例

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

【重点难点】

1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

知识概览图

相似三角形的应用：

灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题．

新课导引

【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她2m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?

【问题探究】由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8m，AP＝2m，PC＝6m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?

由已知可证Rt△APB∽Rt△CPD，由相似三角形的性质可知，即，所以DC＝5.4（m）．利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题．

教材精华

知识点应用相似三角形的知识解决实际问题

相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．

拓展求线段的长度时，可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．

课堂检测

基础知识应用题

1、如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点