行列式的计算方法.docx
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行列式的计算方法
行列式的计算方法
摘要：
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组，行列式的计算是一个重
要的问题。
本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给岀了计算行列式的几种常用方法：
利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：
矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。
关键词：
行列式矩阵降阶
TheMethodsofDeterminantCalculation
Abstract:
Solvingmultiplelinearequationsisthemaincontentofthelinearalgebra,determinantsproducedinsolvinglinearequations,determinantcalculationisanimportantissue.Thisarticleisbasedonthecomplexitydegreeofthedeterminant,andthecharacteristicsoflettersandnumbersofthedeterminant,andthengivesseveralcommonlyusedmethodstocalculatethedeterminant:
directcalculationusingthedefinitionofdeterminant,intothetriangle,reductionmethod,edgingmethod,recursion,andsummarizesseveralrelativelysimpleandspecificmethods:
matrix,linearseparationfactormethod,toborrow"thethirdparty"method,usingVandermondedeterminantmethod,usingLaplacetheorem,alsoanalyzethesemethodsindetail,andsupportedbyexamples.
1.引言
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组
然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外，还在各种工
个重要的问题
三阶行列式:
由此可以看出二阶、三阶行列式计算结果的一些规律:
中每项都是三个数的乘积，并由行标与列标可以看出，这三个数分别取
自行列式的不同行与不同列；
2））式正好有6项，它恰好是1，2，3全排列的个数。
€每项91j1,92j2,93j3前面的符号为
（1）（j1j2j3），其中（j1j2j3）为j1j2j3的逆序
数。
这就是比较简单的采用对角线的方法计算行列式。
在行列式的定义中，虽然计算结果的每一项是n个元素的乘积，但是由于这
n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的n个元素（譬如
911,9129m）来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素，而n级
行列式一共有n!
项，计算它就需要做n!
（n1）个乘法。
当n较大时，n!
是一个相
当大的数字，直接从定义采用对角线法计算行列式几乎是不可能的事，[1]本文依
据行列式元素间的规律和行列式的性质总结了计算行列式几种常用和特殊的方
2.计算行列式的常用方法
2.1利用行列式的定义直接计算
根据行列式的定义Dn=
（1）"山Jn）a1jia2j2anjn，可以利用行列式的定
j1j2jn
义直接计算低阶稀疏行列式例1.利用行列式的定义计算n阶行列式
010
Dn
002
000
n00
解：
根据行列式的定义，行列式展开后等于所有取自不同行不同列的n个元素的
乘积，通过观察可知Dn的展开式中只有一个非零项12（n1）nn!
，这一项行标排列具有自然顺序排列，对应的列标排列为23n1，其逆序数为n1,故Dn
（1）n1n!
当行列式的元素中有较多0时，可以利用定义法进行计算，但如果元素中出现较多非0元素时，这种方法就不易求解。
2.2利用化为三角形的方法计算
利用行列式的性质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的
元素全为零的行列式，这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘
n（n1）
积。
而对于非零元素位于次对角线的情形,行列式的值等于
（1）h与次对角线上
所有元素的乘积。
例2利用上三角形法计算n阶行列式
100
n
/八n1iA
（1）X1X2Xn—1
i1Xi
在例2中，行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素，这样使用化三角形法较为简便，但当行列式的元素不相同且无规律时，计算量就会增加不少，此时这种方法并不简单。
2.3利用降阶法计算行列式
在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律，依据行列式的性质或行列式按行（列）展开定理，将一个n阶行列式化为n个n1阶行列式来计算。
若再继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行列式来计算。
例3.利用降阶法计算n阶行列式
ab0
0ab
000
00
00
ab
0a
然后将后面的行列式按第一列展开，即得
b00
值得注意的是，根据行列式的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽可能多地变成零，之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式的简便性，但是针对一些构造特殊的行列式，因为n阶行列式Dn的第i行构成的k级子式有C；个，故一般行列式只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法往往无效。
⑵
利用降阶法可以计算行列式，那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的n1阶行列式呢？
2.4镶边法
外其余元素全为0，那么该行列式便可利用行列式按行（列）展开定理将其转化
241镶边法解题步骤
列式;
◎根据行列式的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）
使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。
2.4.2镶边的一般方式
O行首列1首行末列（I末行首列1末行末列。
⑻
当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后，总变成上述四种情况之一。
例4利用镶边法计算n阶行列式
解：
Dn
yn
yn
Xn
yn
Xi
yiy2yn（i
yi
2.5递推法
递推法就是利用行列式元素间的规律，在n阶与ni阶（或更低阶）行列
式之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式的值。
递推法主要是降阶
递推法，常见的有两种类型：
i.Dn
LDni型；这时根据递推关系可推出关系式
DnLniDi
2.Dn
pDni
qD「
（n2,q0）型;
这时可设
、
是方程X2px
q0的根，
则由根与系数的关系可得
P，
q，于是有：
Dn-
Dni
（DniDn2）
（I）
Dn
Dni
（DniDn2）
（n）
若
则由
（1）和（n）得
Dn
n
i（D2
ni._
Di）（D2
Di）
注意又由（I）和（U）递推可得
DnDni“2®Di）
DnDn1“2®Di）
故Dn
（D2Di）
以此类推，最后可得:
例5利用递推法计算n阶行列式
i。
于是Dnin
iDi
（n
i）in
2（D2
Di）
（2
n）Di（ni）D
2
i
其中：
Di
2,D
2
4i
3；
i
2
所以：
Dn
（2
n）Di
（n
i）D2
4
2n
3nni
即原式ni
上面介绍的几种计算行列式的方法都是比较常用的，同时通过上面的例题分析和解题过程可以发现，上述几种计算方法只是适用一些行列式较为简单和行列
式元素间具有明显规律的情况，而对于一些比较特殊或行列式元素间的关系隐藏较深的行列式，就要通过其它的途径来解决问题，下面给出几种计算行列式的特殊方法。
3.计算行列式的几种特殊方法
3.1矩阵法
如果一个行列式的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积，而且这两个矩阵所对应的行列式都比较容易计算，即可利用公式AB=AB计算出n阶行列式的值。
[4]
bjn1
所以该行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式，即
1
a1
2
a1
n1
a1
1
1
1
Ml
1
a2
2
a2
n1
a2
b1
b2
b3
bn
2
n1
2
2
2
2
1
a3
a3
a3
b1
b2
b3
bn
n
n1an
■n1
■n1
■n1
1
an
an
b1
b2
bs
bn1
Dn
3.2分离线性因子法
3.2.1分离线性因子法
分离线性因子法就是把行列式看成含有一个或一些字母的多项式，将它变
换，如果它可被一些因子互素的线性因子所整除，同时它也可被这些因子的积所
整除，就可将行列式的某些项与线性因子的项进行比较，继而找出多相式的所有因子，然后用这些因子的乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。
3.2.2一般的解题思路
1如果行列式Dn有些元素是某一变量（参数）的多项式，不妨设此变量为a，那么可将该行列式Dn看作关于a的多项式f（a），然后找出因子互素的线性因子g（a）,h（a），即f（a）h（a）g（a）；
1在h（a）和g（a）中选出一个特殊项进行比较，如果g（a）与f（a）的次数相等，就用待定系数法，确定出h（a）的值；如果g（a）的次数比f（a）的次数小，继续找出h（a）的线性因子，直至将f（a）的所有线性因子全部找出，从而求出行列式Dn的值。
例7利用分离线性因子法计算n阶行列式
x,
x‘
・、2
x‘
・、n1
x
—（x
b）
—（x
b）
—（x
b）
a
a
a
2
2
n1
n1
2a
1
2
1
2
1
2
Dn
2
2
n1
n1
2a
n2
n1
n2
n1
n2
n1
2
n1
2a
2n
1
2n
1
2n
1
解：
Dn2Xa
为止，得
由行列式的性质知
Dn（1b）0,Dn（2
b）
0Dn（n1
b）0
所以
Dn（x）的根为0，1
b,a
2b,,n1
b
故
Dnpx（x1b）（x
2
b）（Xn1
b）
进而可得Dn（x
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