二次函数知识点总结与典型例题讲解.docx
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二次函数知识点总结与典型例题讲解
二次函数知识点总结及典型例题讲解
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0x
y
0x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是
（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，
y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是
（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大
而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x
的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=时，
y有最大值，
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：
>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：
对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：
（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
补充：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：
点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为y
A
x
B0
2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
左加右减、上加下减
四、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；
若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，
如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；
如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
典型例题
1.已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
2.如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A．a＋b=－1 B．a－b=－1C．b<2a D．ac<0
【答案】B
3.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）.
【答案】D
4.如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是 ．
【答案】
5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式（）．
A．B．C．D．
【答案】B
6.已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果①②③④⑤，则正确的结论是（）
A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤
【答案】D
7．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
【答案】①③④
8.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．
（1）求△OAB的面积；
（2）若抛物线经过点A．
①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．
解：
（1）∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴，
∴AB=2，OB＝4，∴
（2）①把点A的坐标（－2，4）代入，
得，∴c＝4
②∵，
∴抛物线顶点D的坐标是（－1，5），AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2），
∴m的取值范围为l
9．已知二次函数y=x2+x的图像如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为
A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设
（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
解：
（1）二次函数y=-x2+x的对称轴为x=3，∴D（3，0）．
（2）设抛物线向上平移h个单位（h＞0），则平移后的抛物线解析式为y=-x2+x+h．
∵∠ACB=90°，∴OC2=OA·OB．
设点A、B的横坐标分别为x1、x2，则h2=-x1·x2．
∵x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的两个根，
∴x1·x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4．
（3）CM与⊙D相切，理由如下：
连结CD、CM，过点C作CN⊥DM于点D，如下图所示：
∵AB是⊙D的直径，∠ACB=90°，
∴点C在⊙D上．
根据平移后的抛物线的解析式y=-x2+x+4可得：
OD=3，OC=4，DM=，CD=5．
∴CN=3，MN=，∴CM=．∵CM=，CD=5，DM=，
∴△CDM是直角三角形且∠DCM=90°，∴CM与⊙D相切．
10.如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线过A，B，C三点.
（1）求证：
∠CAD＝∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
（1）证明：
连接O′C.
∵CD是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD．
∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD．
∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB．
（2）①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB＝90°
∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴
即．∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝，∴OA＝2OC
又∵AB＝10，∴，∵OC＞0
∴OC＝4，OA＝8，OB＝2．∴A（－8，0），B（2，0），C（0，4）．
∵抛物线过A，B，C三点.∴c＝4
由题意得，解之得， ∴．
设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8.
∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴
∴8（BF＋5）＝5（BF＋10），∴，∴．
设直线DC的解析式为，则，即
∴．由得
顶点E的坐标为．将代入直线DC的解析式中，
右边左边.∴抛物线的顶点E在直线CD上．
11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-1，2），D（3，0），连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA=PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？
并求出最大值。
（1）解：
由题意可得M（0，2），N（-3，2）
∴，解得：
∴y=
（2）∵PA=PC，∴P在AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过B（-1，2），（1，0），
这条直线为y=－x+1．
解得：
，
∴P1（），P2（）．
（3）D为E关于对称轴x=1．5对称，CD所在的直线y=－x+3．
∴yQ=4．5，∴Q（-1．5，4．5）．
最大值为CD==．个单位/秒．
（3）（）,．
当时，有最大值为，此时．
12．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×（-1）2+b×（-1）–2=0，解得b=
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=（x2-3x-4）=（x-）2-,
∴顶点D的坐标为（,-）.
（2）当x=0时y=-2,∴C（0，-2），OC=2．
当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B（4,0）
∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设直线C′D的解析式为y=kx+n,则，解得n=2,.
∴.∴当y=0时，，.∴
13.（2011浙江金华，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过矩形顶点B、C.
（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB
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