高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案.docx

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高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案

教学资料范本

【2020】高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案

编辑：

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时间：

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函数的基本性质

课题

函数的基本性质（共4课）

修改与创新

课标要求

1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；

2．结合具体函数，了解奇偶性的含义。

命题走向

从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。

预测2017年高考的出题思路是：

通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。

预测明年的对本讲的考察是：

（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；

（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。

教学准备

多媒体

教学过程

要点精讲:

1．奇偶性

（1）定义：

如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数。

如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。

注意：

函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

确定f（－x）与f（x）的关系；

作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2．单调性

（1）定义：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

（2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。

（3）设复合函数y=f，其中u=g（x）,A是y=f定义域的某个区间，B是映射g:

x→u=g（x）的象集：

①若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y=f在A上是增函数；

②若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y=f在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f（x1）－f（x2）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；

减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；

减函数增函数是减函数。

3．最值

（1）定义：

最大值：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）=M。

那么，称M是函数y=f（x）的最大值。

最小值：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）=M。

那么，称M是函数y=f（x）的最大值。

注意：

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）=M；

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

利用图象求函数的最大（小）值；

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

4．周期性

（1）定义：

如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数；

（2）性质：

①f（x+T）=f（x）常常写作若f（x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期；②若周期函数f（x）的周期为T，则f（ωx）（ω≠0）是周期函数，且周期为。

典例解析:

1．（20xx·陕西高考）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

A．y＝x＋1　　　　　　　　B．y＝－x3

C．y＝D．y＝x|x|

解析：

选D　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.

2．函数y＝（2k＋1）x＋b在（－∞，＋∞）上是减函数，则（　　）

A．k>B．k<

C．k>－D．k<－

解析：

选D　函数y＝（2k＋1）x＋b是减函数，

则2k＋1<0，即k<－.

3．（教材习题改编）函数f（x）＝的最大值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　∵1－x（1－x）＝x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤.

4．（教材习题改编）f（x）＝x2－2x（x∈）的单调增区间为________；f（x）max＝________.

解析：

函数f（x）的对称轴x＝1，单调增区间为，f（x）max＝f（－2）＝f（4）＝8.

答案：

　8

5．已知函数f（x）为R上的减函数，若m

（1），则实数x的取值范围是______．

解析：

由题意知f（m）>f（n）；

>1，即|x|<1，且x≠0.

故－1

答案：

>　（－1,0）∪（0,1）

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子

区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整

个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函

数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等

函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、

对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函

数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，

再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

　（理）判断函数f（x）＝x＋（a>0）在（0，＋∞）上的单调性．

　设x1>x2>0，则

f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）.

当≥x1>x2>0时，x1－x2>0,1－<0，

有f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

此时，函数f（x）＝x＋（a>0）是减函数；

当x1>x2≥时，x1－x2>0,1－>0，

有f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），

此时，函数f（x）＝x＋（a>0）是增函数．

综上可知，函数f（x）＝x＋（a>0）在（0，]上为减函数；在[，＋∞）上为增函数．

　（文）证明函数f（x）＝2x－在（－∞，0）上是增函数．

　设x1，x2是区间（－∞，0）上的任意两个自变量的值，且x1

则f（x1）＝2x1－，f（x2）＝2x2－，

f（x1）－f（x2）＝－

＝2（x1－x2）＋

＝（x1－x2）

由于x10，

因此f（x1）－f（x2）<0，

即f（x1）

故f（x）在（－∞，0）上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

（1）结合定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）证明；

（2）可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g（x）＝在（1，＋∞）上的单调性．

解：

任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1

则g（x1）－g（x2）＝－

＝，

由于1

所以x1－x2<0，（x1－1）（x2－1）>0，

因此g（x1）－g（x2）<0，即g（x1）

故g（x）在（1，＋∞）上是增函数．

求函数的单调区间

典题导入

　（20xx·长沙模拟）设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk（x）＝取函数f（x）＝2－|x|.当k＝时，函数fk（x）的单调递增区间为（　　）

A．（－∞，0）　　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（1，＋∞）

　由f（x）>，得－1

所以f（x）＝

故f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）．

　C

若本例中f（x）＝2－|x|变为f（x）＝log2|x|，其他条件不变，则fk（x）的单调增区间为________．

解析：

函数f（x）＝log2|x|，k＝时，函数fk（x）的图象如图所示，由图示可得函数fk（x）的单调递增区间为（0，]．

答案：

（0，]

由题悟法

求函数的单调区间的常用方法

（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（2）定义法：

先求定义域，再利用单调性定义．

（3）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

（4）导数法：

利用导数的正负确定函数的单调区间．

以题试法

2．函数f（x）＝|x－2|x的单调减区间是（　　）

A．B．

C．D．．

单调性的应用

典题导入

（1）若f（x）为R上的增函数，则满足f（2－m）

（2）（20xx·安徽高考）若函数f（x）＝|2x＋a|的单调递增区间是　

（1）∵f（x）在R上为增函数，∴2－m

∴m2＋m－2>0.∴m>1或m<－2.

（2）由f（x）＝可得函数f（x）的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－