北师大版高中数学必修一学案第三章 53 对数函数的图像和性质.docx

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北师大版高中数学必修一学案第三章53对数函数的图像和性质

5．3　对数函数的图像和性质

学习目标

　1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图像特点．

知识点一　y＝logaf（x）型函数的单调区间

思考　我们知道y＝2f（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相同，那么y＝log2f（x）的单调区间与y＝f（x）的单调区间相同吗？

梳理　一般地，形如函数f（x）＝logag（x）的单调区间的求法：

①先求g（x）＞0的解集（也就是函数的定义域）；②当底数a大于1时，g（x）＞0限制之下g（x）的单调增区间是f（x）的单调增区间，g（x）＞0限制之下g（x）的单调减区间是f（x）的单调减区间；③当底数a大于0且小于1时，g（x）＞0限制之下g（x）的单调区间与f（x）的单调区间正好相反．

知识点二　对数不等式的解法

思考　log2x＜log23等价于x＜3吗？

梳理　一般地，对数不等式的常见类型：

当a＞1时，

logaf（x）＞logag（x）⇔

当0＜a＜1时，

logaf（x）＞logag（x）⇔

知识点三　不同底的对数函数图像的相对位置

思考　y＝log2x与y＝log3x同为（0，＋∞）上的增函数，都过点（1,0），怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？

梳理　一般地，对于底数a>1的对数函数，在（1，＋∞）区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0

知识点四　反函数的概念

思考　如果把y＝2x视为A＝R→B＝（0，＋∞）的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？

梳理　一般地，像y＝ax与y＝logax（a＞0，且a≠1）这样的两个函数互为反函数．

（1）y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域（0，＋∞）就是y＝logax的定义域．

（2）互为反函数的两个函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与y＝logax（a＞0，且a≠1）的图像关于直线y＝x对称．

（3）互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同．

类型一　对数型复合函数的单调性

例1　求函数y＝log

（－x2＋2x＋1）的值域和单调区间．

反思与感悟　求复合函数的单调性要抓住两个要点：

（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．

（2）f（x），g（x）单调性相同，则f（g（x））为增函数；f（x），g（x）单调性相异，则f（g（x））为减函数，简称“同增异减”．

跟踪训练1　已知函数f（x）＝log

（－x2＋2x）．

（1）求函数f（x）的值域；

（2）求f（x）的单调性．

例2　已知函数y＝log

（x2－ax＋a）在区间（－∞，

）上是增函数，求实数a的取值范围．

反思与感悟　若a>1，则y＝logaf（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相同，若0

跟踪训练2　若函数f（x）＝loga（6－ax）在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（1,3）

C．（1,3]D．[3，＋∞）

类型二　对数型复合函数的奇偶性

例3　判断函数f（x）＝ln

的奇偶性．

引申探究

若已知f（x）＝ln

为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？

反思与感悟　

（1）指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数（或偶函数）．

（2）含对数式的奇偶性判断，一般用f（x）±f（－x）＝0来判断，运算相对简单．

跟踪训练3　判断函数f（x）＝lg（

－x）的奇偶性．

类型三　对数不等式

例4　已知函数f（x）＝loga（1－ax）（a＞0，且a≠1），解关于x的不等式：

loga（1－ax）＞f

（1）．