知识点四 反函数的概念
思考 如果把y=2x视为A=R→B=(0,+∞)的一个映射,那么y=log2x是从哪个集合到哪个集合的映射?
梳理 一般地,像y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)这样的两个函数互为反函数.
(1)y=ax的定义域R,就是y=logax的值域,而y=ax的值域(0,+∞)就是y=logax的定义域.
(2)互为反函数的两个函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图像关于直线y=x对称.
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
类型一 对数型复合函数的单调性
例1 求函数y=log
(-x2+2x+1)的值域和单调区间.
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点:
(1)单调区间必须是定义域的子集,哪怕一个端点都不能超出定义域.
(2)f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;f(x),g(x)单调性相异,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”.
跟踪训练1 已知函数f(x)=log
(-x2+2x).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)求f(x)的单调性.
例2 已知函数y=log
(x2-ax+a)在区间(-∞,
)上是增函数,求实数a的取值范围.
反思与感悟 若a>1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,若0跟踪训练2 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,3)
C.(1,3]D.[3,+∞)
类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)=ln
的奇偶性.
引申探究
若已知f(x)=ln
为奇函数,则正数a,b应满足什么条件?
反思与感悟
(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±f(-x)=0来判断,运算相对简单.
跟踪训练3 判断函数f(x)=lg(
-x)的奇偶性.
类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1),解关于x的不等式:
loga(1-ax)>f
(1).