A、，B、C、D、
9.若对任意，不等式恒成立，则一定有（）
A．B．C．D．
10.已知的外接圆的圆心为,满足：
，且，,则（）
A.36B.24C.24D.
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值
为
12.在的二项展开式中，的系数为
13．已知，则有，且当时等号成立，利用此结论，可求函数，的最小值为
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是。
15.称离心率为的双曲线为黄金双曲线．如图是双曲线
的图象，给出以下几个说法：
①双曲线是黄金双曲线；
②若，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），
B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双
曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为
三、解答题（共75分，请写出详细解答过程）
16.（本题满分12分）已知函数=sin（2x+）+cos2x．
（1）求函数的单调递增区间。
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积．
17.（本题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.
（1）求证：
平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：
平面PAC⊥平面PCB；
（3）设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．
18.（本题满分12分）
近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2．5就是其中一个指标。
PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：
在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．
淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．
（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；
（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望．
19.（本题满分12分）已知椭圆C：
（a>b>0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：
在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？
若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
20.（本题满分13分）
已知数列满足.
（1）若，求证：
数列是等比数列并求其通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：
++…+.
21.（本题满分14分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若，使成立，求实数a的取值范围.
答案：
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
C
A
C
B
B
A
二、填空题：
11、412、13、14、15、①②③④
三、解答题：
16、
（1）解：
=
==
=…………………………3分
令
，
的单调递增区间为：
…………………………6分
（2）由，
又
因此，解得：
…………………………8分
由正弦定理，得，
又由可得：
…………………………10分
故…………………………12分
17.
（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以OE∥PA.
因为PA平面PAC，OE⊄平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因为OM∥AC，
又AC平面PAC，OM⊄平面PAC，
所以OM∥平面PAC.
因为OE平面MOE，OM平面MOE，OE∩OM＝O，
所以平面MOE∥平面PAC.…………………………4分
（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为AC平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.…………………………9分
（3）如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，
所以CB＝2cos30°＝，AC＝1.
延长MO交CB于点D.
因为OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝.
所以P（1,0,2），C（0,0,0），B（0，，0），M（，，0）．
所以＝（1,0,2），＝（0，，0）．
设平面PCB的法向量m＝（x，y，z）．
因为即
令z＝1，则x＝－2，y＝0.
所以m＝（－2,0,1）．
同理可求平面PMB的一个法向量n＝（1，，1）．
所以cos〈m，n〉＝＝－.所以cosθ＝.…………………………12分
18.解：
（1）记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A
………………………………3分
（2）记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”
为事件B，………………………………7分
（3）的可能值为0,1,2,3
………………10分
其分布列为：
0
1
2
3
P
………………12分
19.解：
（1）因为椭圆过点P（，）,所以=1,解得a2=2,
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2⊥F2P,即-⋅=-1,b2=c（4-3c）.……6分
而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,
故椭圆C的方程是+y2=1.………………………4分
（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得
（1+2k2）x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以
△=16k2p2－4（1+2k2）（2p2－2）=8（1+2k2―p2）=0，
即1+2k2=p2.…………………………………7分
设在x轴上存在两点（s,0）,（t,0）,使其到直线l的距离之积为1,则
⋅==1,
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k2+（s+t）kp+2=0（**）.
由（*）恒成立,得解得,或,
而（**）不恒成立.…………………………10分
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±时，
定点（－1，0）、F2（1，0）到直线l的距离之积d1⋅⋅d2=（－1）（+1）=1.
综上,存在两个定点（1,0）,（-1,0）,使其到直线l的距离之积为定值1.……………12分
20.解：
（1）
又
所以是首项为，公比为4的等比数列，且……………5分
（2）由（Ⅰ）可知，……………………7分
………………8分
所以，或………………9分
（3）∴
…………………………………11分
当n＝2k时，
当n＝2k－1时，
<<3
∴＋＋…＋＜3．…………13分
21.解：
由已知函数的定义域均为,且.……1分
（1）函数,
当且时,;当时,.
所以函数的单调减区间是,增区间是.………………4分
（2）因f（x）在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．………………………………7分
（3）命题“若使成立”等价于
“当时，有”．
由（Ⅱ），当时，，．
问题等价于：
“当时，有”．………………………………9分
当时，由（Ⅱ），在上为减函数，
则=，故．
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
（i）若，即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，=，不合题意．……………………11分
（ii）若，即，由的单调性和值域知，
唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以，=，．
所以，，与矛盾，不合题意．
综上，得．…………………………………14分
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