中考最全复习资料知识点26等腰三角形与等边三角形.docx
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中考最全复习资料知识点26等腰三角形与等边三角形
一、选择题
12．（2019·烟台）如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（）．
A．B．C．D．
第12题答图
【答案】D
【解题过程】连接OC，
因为，，
所以
所以
因为AB是的直径，
所以，
所以，
所以，
在△ADC与△CED,
因为，
所以△ADC∽△CED,
所以
在Rt△ACB中，，
所以，
又因为，
所以△AOC是等边三角形，
所以，
因为直线DE与相切于点C，
所以，
因为，，
所以AD//OC，
所以，
所以，
所以，
所以△AOC是等边三角形，
所以，，
所以的长为．
8．（2019·娄底）如图
（2），边长为的等边△ABC的内切圆的半径为（）
A.1B．C．2D．
【答案】A
【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中，从而解得．
如图（2－1），设D为⊙O与AC的切点，连接OA和OD，
∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，
∴OD⊥AC，∠OAD＝30°，OD即为圆的半径．
又∵，
∴
∴在直角三角形OAD中，
，
代入解得：
OD＝1．
故答案为1．
1.（2019·潍坊）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（）
A．∠CEO=∠DEOB．CM=MD
C．∠OCD=∠ECDD．S四边形OCED=CD·OE
【答案】C
【解析】由作图可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；故选C.
2.（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。
这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。
C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是
A.60°B.65°C.75°D.80°
【答案】D
【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D.
3.（2019·重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，与AB交于点E，连结，若AD＝＝2，BD＝3，则点D到的距离为（）
A．B．C．D．
第12题图
【答案】B
【解析】如答图，过点D作DM⊥于点M，过点B作BN⊥于点N，由翻折可知＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B．∵AD＝＝2，∴△是等边三角形，从而∠＝∠B＝∠BDC＝60°．在Rt△BDN中，DN＝BD＝，BN＝，从而＝．于是，＝＝．∵＝，∴DM＝＝＝．故选B．
4.（2019·聊城）如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是
A.AE+AF＝ACB.∠BEO+∠OFC＝180°
C.OE+OF＝BCD.S四边形AEOF＝S△ABC
【答案】C
【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO＝S△ABC,故D正确；故选C.
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二、填空题
14．（2019·绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为.
【答案】15°或45°
【解析】因为∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，而∠BAM＝60°，所以△BAM是等边三角形；又以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，交点有两个E或B有两种情况：
①由题意△AME是等边三角形，所以∠EAM＝60°，所以∠DAE＝30°+120°＝150°，又AD＝AM＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝（180°－150°）＝15°；②点E与B重合，所以∠ADB（E）＝45°.
14．（2019·常德）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD´，且点D´、D、B三点在同一直线上，则∠ABD的度数是．
【答案】22.5°
【解析】根据题意可知△ABD≌△ACD´，∴∠BAC＝∠CAD´＝45°，AD´＝AD，∴∠ADD´＝∠AD´D＝＝67.5°，∵D´、D、B三点在同一直线上，∴∠ABD＝∠ADD´－∠BAC＝22.5°．
1.（2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________.
【答案】36°.
【解析】解：
∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°.
故答案为36°.
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三、解答题
19.（2019浙江省杭州市，19，8分）（本题满分8分）
如图在△ABC中，AC＜AB＜BC.
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证:
∠APC=2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.
（第19题
（2））
（第19题
（1））
【解题过程】
（1）证明：
∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；
（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，
∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．
25．（2019江苏盐城卷，25，10）
如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（I）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（II）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B、处，如图③，两次折痕交于点O；
（III）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④
【探究】
（1）证明：
△OBC≌△OED；
（2）若AB=8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式.
图①图②图③图④
【解题过程】
解：
（1）由折叠可知BC=AD=AF=DE，∴CB=CB、，
由两次折叠可知∠BCO=∠DCO=∠ODE=45O，∴△OCD是等腰直角三角形，OC=OD
∴△OBC≌△OED
（2）如图，过O向BC做ON⊥BC于N，则△OCN是等腰直角三角形，
又△OCD是等腰直角三角形，OC=OD，
∴CD=8，OC=,ON=CN=4，在直角三角形BON中，OB2=BN2+ON2
∴=（425．（2019·株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．
（1）求证：
四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB＋CD＝2（＋1）．①求证：
△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．
【解题过程】
（1）∵∠CBD=∠CAD,∠ACH＝∠CBD，
∴∠CAD=∠ACH，
∴CH∥AD，
∵AD＝CH，
∴四边形ADCH是平行四边形
（2）①∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵CH∥AD，
∴∠CHD=∠ADB=90°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB=45°，
∴∠CDB=∠CAB=45°，
∴△DHC为等腰直角三角形
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，
∴∠PDA=∠PBC，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△PBC，
∴,
∵△DHC和△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=,CD=,
∴
∵AB＋CD＝2（＋1）
∴CD+CD=2（＋1）
∴CD=2，
∴CH=
26．（2019·常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．
（1）在图12中，求证：
△BMC≌△CNB；
（2）在图13中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交NB于点F，求证：
PE+PF＝BM；
（3）在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似
（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：
AM·PF+OM·BN＝AM·PE．
【解题过程】
（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，又∵BC＝BC，∴△BMC≌△CNB；
（2）连接OP，∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠BMC＝∠PEC＝90°，∠CNB＝∠PFB＝90°，∵＝＋，∴OC·BM＝OB·PF＋OC·PE．∵△BMC≌△CNB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴PE+PF＝BM；
（3）同上连接OP，∵＝－，∴OC·BM＝OC·PE－OB·PF，∵OB＝OC，∴PE－PF
＝BM．∵∠BMC＝∠ANB＝90°，∠BMO＝∠NBA，△BOM∽△BAN，∴，∴OM·BN＝BM·AN
＝（PE－PF）·AN，∵AB＝AC，BM＝CN，∴AM＝AN，∴OM·BN＝＝（PE－PF）·AM，∴AM·PF+OM·BN
＝AM·PE．
1.（2019·重庆A卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：
FB＝FE．
第20题图
解：
（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°．
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝108°．
∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC．
∴∠BAD＝∠BAC＝54°．
（2）证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE．
∴∠ABE＝∠FEB．
∴FB＝FE．
2.（2019·重庆B卷）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．
求证：
AE=FE
解：
（1）（方法一）：
∵AB=AC，∠C=42°，
∴∠B=∠C=42°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°
∵AD⊥BC
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