实例说明利用Excel进行主成分分析分解.docx
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实例说明利用Excel进行主成分分析分解
方法:
1利用Excel2000进行主成分分析
第一步，录入数据，并对进行标准化。
【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：
长度和宽度。
原始数据和标准化数据及其均值、方差1图）（取自张超、杨秉庚《计量地理学基础》
计算的详细过程如下：
⑴将原始数据绘成散点图（图2）。
主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势—
—如果数据之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的
就是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对
1
可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系2数据进行线性转换，否则效果不佳。
从图
2。
RR=0.7056=0.4979，相应地，相关系数数
。
标准化的数学公式为对数据进行标准化⑵
xx?
jij*?
xij?
j这里假定按列标准化，式中nn12?
?
，）Var（x?
x?
?
x）x（x?
?
ijjijijijijn1i?
1i?
个变量）、第列（即第分别为第列数据的均值和标准差，为第行（即第个样本）xjijjiij*为样本数目。
的标准化数据，的数据，为相应于25nx?
xijij
2.3174=0.7686x+原始数据的散点图y
20.4979R=25
2015度宽10
50
2520长度151005
原始数据的散点图图2
标准化数据的散点图y=0.7056x+2E-16
2=R0.49793.0000002.0000001.000000度宽0.000000
1.0000002.0000000.-1.000003.000000-2.00000-1.000000000
-2.000000
长度
标准化数据的散点图3图
2
对数据标准化的具体步骤如下：
①求出各列数据的均值，命令为average，语法为：
average（起始单元格:
终止单元格）。
如图1所示，在单元格B27中输入
“”，确定或回车，即得第一列数据的均值；然后抓住单10.88x?
B26）VERAGE（B1:
=A1，便可自动生成第二列数据的均值C27的右下角（光标的十字变细）右拖至元格B27
。
10.68?
x2中输入所示，在单元格B28varp，语法同均值。
如图1②求各列数据的方差。
命令为
，右拖至”，确定或回车，可得第一列数据的方差“19.4656）?
Var（xARP（B2:
B26）=V1。
生成第二列数据的方差23.0976）?
Var（xC282直接生成标准stdevp求各列数据的标准差。
将方差开方便得标准差。
也可利用命令③
差，语法和操作方法同均值、方差，不赘述。
”，回车可得中输入“=（B2-$B$27）/$B$29所示，在单元格D2④标准化计算。
如图1
的右下角下拖至D2”的标准化数值-1.786045，然后按住单元格第一列第一个数据“3
，就能E2D2的右下角右拖至D26，便会生成第一列数据的全部标准化数值；按照单元格
的右下角下拖至-1.806077，抓住单元格E2生成第二列第一个数据“2”的标准化数据
便会生成第二列数据的全部标准化数值。
E26
。
可以看出，点列的总体趋势没有变换，两种数据）图3⑤作标准化数据的散点图（
，斜率等于的相关系数与标准化以前完全相同。
但回归模型的截距近似为，即有0?
a0
。
相关系数，即有Rb?
。
求相关系数矩阵的方法是：
沿着“工具⑶求标准化数据的相关系数矩阵或协方差矩阵
，确定，弹））”选项框（图4）”（T→“数据分析（D）”的路径打开“分析工具（A
，在“输入区域”的空白栏中输入标准化数据范围，并以5出“相关系数”对话框（图）
为输出区域，具体操作方法类似于回归分析。
确定，即会在输出区域给出相关单元格G1
分析工具选项框图4
3
相关系数对话框图5系数矩阵的下三角即对角线部分，由于系对称矩阵，上三角的数值与下三角相等，故未给
出（图6），可以通过“拷贝——转置——粘帖”的方式补充空白部分。
标准化数据的相关系数和协方差6图
求协方差的方法是在“分析工具”选项框中选择“协方差”（图7），弹出“协方差”
选项框（图8），具体设置与“相关系数”类似，不赘述。
结果见图6，可以看出，对于
标准化数据而言，协方差矩阵与相关系数矩阵完全一样。
因此，二者任取其一即可。
在分析工具选项框中选择“协方差”7图
4
协方差选项框8图
⑷计算特征根。
我们已经得到相关系数矩阵为
?
10.7056?
C?
，?
?
0.70561?
?
而二阶单位矩阵为
?
10?
I?
?
，?
01?
?
?
，我们有于是根据公式0?
C）det（I?
?
0.70561100.7056?
1?
?
?
?
?
0?
0.70560.70561?
01?
1按照行列式化为代数式的规则可得
222?
?
?
0?
?
0.5021?
2?
（?
1）?
0.7056
2时，我们有根据一元二次方程的求根公式，当04ac?
b?
2ac?
4?
b?
b?
?
a2
。
这便是，据此解得（对于本例，显然，）R0.2944?
?
1?
R?
?
1.70561?
?
?
?
?
2121相关系数矩阵的两个特征根。
⑸求标准正交向量。
将代入矩阵方程，得到0?
C）?
?
（I?
?
100.7056?
0.7056?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
00.70560.7056?
?
?
?
?
?
?
2?
中，用第一行加第二行，化为在系数矩阵C?
I
0.7056?
0.70560?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
0?
00?
?
?
?
?
?
2由此得，令，则有，于是得基础解系1?
?
?
1?
?
?
?
2121
?
?
?
?
10.7071，单位化为?
e?
?
?
?
?
11?
0.70711?
?
?
?
5
?
i（）。
1,2i?
单位化的公式为?
e2i?
?
?
212
完全类似，将代入矩阵方程，得到0?
C）?
（I?
?
?
20?
0.7056?
0.7056?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
00.7056?
0.7056?
?
?
?
?
?
?
2用系数矩阵的第二行减去第一行，化为
0?
0.7056?
0.7056?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
0?
00?
?
?
?
?
?
2于是得到，取，则有，因此得基础解系为1?
?
?
?
1?
?
?
?
?
2121，单位化为e?
?
?
0.7071?
1?
?
?
?
?
?
?
22?
0.7071?
?
1?
?
?
这里、便是标准正交向量。
ee21
⑹求对角阵。
首先建立标准正交矩阵P，即有
0.7071?
0.7071e]?
?
e[P?
2?
1?
0.7071?
0.7071?
?
T1T?
，可逆。
根据，即矩阵的该矩阵的一个特殊性质便是转置等于矩阵的CP?
PDP?
P
知
?
D?
1.7056?
0?
0.7056?
?
0.70710.7071?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0.70560.70710.7071?
0.293400.7071?
10.70710?
?
?
?
.70710.7071
?
?
1
下面说明一下利用Excel进行矩阵乘法运算的方法。
矩阵乘法的命令为mmult，语法是
T矩阵的单元格范围，矩阵的单元格范围。
例如，用矩阵与矩阵相乘，PC21mmult（）
首先选择一个输出区域如G1:
H2，然后输入“=mmult（A1:
B2,C1:
D2）”，然后按下
“Ctrl+Shift+Enter”键（图9），即可给出
1.2060441.206044
0.20817-0.20817
再用乘得的结果与P阵相乘，便得对角矩阵
1.7056030
0.2943970
如果希望一步到位也不难，选定输出区域如C3:
D4，然后输入
“=mmult（mmult（A1:
B2,C1:
D2）,E1:
F2）”（图10），同时按下“Ctrl+Shift+Enter”键，立
即得到结果（图11）。
显然，对角矩阵对角线的数值恰是相关系数矩阵的特征值。
矩阵乘法示例图9
6
矩阵连乘的命令与语法10图
至此，标准化的原始变量x与主成分之间z之间可以表作
?
x0z0.7056?
?
?
?
1?
?
1.7056?
?
?
?
z?
xz?
?
?
11?
x?
?
122x10.2944z0.705601?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22显然与之间正交。
zz21
乘法结果：
对角矩阵11图
⑺根据特征根计算累计方差贡献率。
现已求得第一特征根为，第二特征根为1.7056?
?
1，二者之和刚好就是矩阵的维数，即有，这里为变量数2?
?
m?
0.2944?
=2m?
?
?
221目（注意前面的n=25为样本数目）。
比较图6或图10中给出的相关系数矩阵C与图11
中给出的对角矩阵D可以看出，Tr.（C）=1+1=2，Tr.（D）=1.7056+0.2944=2，即有Tr.（C）=
Tr.（D），可见将相关系数亦即协方差矩阵转换为对角矩阵以后，矩阵的迹（trace，即对角
线元素之和）没有改变，这意味着将原始变量化为主成分以后，系统的信息量没有减少。
现在问题是，如果我们只取一个主成分代表原来的两个变量，能反映原始变量的多少信息？
这个问题可以借助相关系数矩阵的特征根来判断。
利用Excel容易算出，第一特征根占特
征根总和即矩阵维数的85.28%（见下表），即有
特征根累计值百分比累计百分比
1.7056031.70560385.28%85.28%
7
100.00%0.294397214.72%
也就是说：
，：
85.28%/2?
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