实例说明利用Excel进行主成分分析分解.docx

1、实例说明利用Excel进行主成分分析分解 方法: 1 利用 Excel2000 进行主成分分析 第一步，录入数据，并对进行标准化。 【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度和宽度。 原始数据和标准化数据及其均值、方差1 图 ）（取自张超、杨秉庚计量地理学基础 计算的详细过程如下： 将原始数据绘成散点图（图 2）。主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势 如果数据之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的 就是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对 1 可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系 2 数据进行线性转换，否则效果不

2、佳。从图 2。 RR=0.7056=0.4979，相应地，相关系数数 。标准化的数学公式为 对数据进行标准化 xx? jij *?x ij? j 这里假定按列标准化，式中 nn1 2? ?，)Var(x?x?x)x(x? ? ijj ijijijij n 1 i?1 i? 个变量）、第列（即第分别为第列数据的均值和标准差，为第行（即第个样本）xjijji ij *为样本数目。的标准化数据，的数据，为相应于25nx?x ijij 2.3174 =0.7686x + 原始数据的散点图y 2 0.4979 R= 25 20 15 度 宽10 5 0 2520 长度 15 100 5 原始数据的散点图

3、 图2 标准化数据的散点图 y = 0.7056x + 2E-16 2 = R0.4979 3.000000 2.000000 1.000000 度 宽 0.000000 1.000000 2.000000 0.-1.00000 3.000000-2.00000 -1.000000 000 -2.000000 长度 标准化数据的散点图3 图 2 对数据标准化的具体步骤如下： 求出各列数据的均值，命令为 average，语法为： average(起始单元格:终止单元格)。如图 1 所示，在单元格 B27 中输入 “”，确定或回车，即得第一列数据的均值；然后抓住单10.88x?B26)VERAGE

4、(B1:=A 1，便可自动生成第二列数据的均值 C27 的右下角（光标的十字变细）右拖至元格 B27 。10.68?x 2中输入 所示，在单元格 B28varp，语法同均值。如图 1 求各列数据的方差。命令为 ，右拖至”，确定或回车，可得第一列数据的方差“19.4656)?Var(xARP(B2:B26)=V 1。生成第二列数据的方差23.0976)?Var(xC28 2直接生成标准stdevp 求各列数据的标准差。将方差开方便得标准差。也可利用命令 差，语法和操作方法同均值、方差，不赘述。 ”，回车可得中输入“=(B2-$B$27)/$B$29 所示，在单元格 D2 标准化计算。如图 1 的

5、右下角下拖至D2 ”的标准化数值-1.786045，然后按住单元格 第一列第一个数据“3 ，就能E2D2 的右下角右拖至 D26，便会生成第一列数据的全部标准化数值；按照单元格 的右下角下拖至 -1.806077，抓住单元格 E2生成第二列第一个数据“2”的标准化数据 便会生成第二列数据的全部标准化数值。 E26 。可以看出，点列的总体趋势没有变换，两种数据）图 3 作标准化数据的散点图（ ，斜率等于的相关系数与标准化以前完全相同。但回归模型的截距近似为，即有0? a 0 。相关系数，即有R b ? 。求相关系数矩阵的方法是：沿着“工具求标准化数据的相关系数矩阵或协方差矩阵 ，确定，弹）”选项

6、框（图 4）”（T“数据分析（D）”的路径打开“分析工具（A ，在“输入区域”的空白栏中输入标准化数据范围，并以5出“相关系数”对话框（图 ） 为输出区域，具体操作方法类似于回归分析。确定，即会在输出区域给出相关单元格 G1 分析工具选项框图 4 3 相关系数对话框 图 5系数矩阵的下三角即对角线部分，由于系对称矩阵，上三角的数值与下三角相等，故未给 出（图 6），可以通过“拷贝转置粘帖”的方式补充空白部分。 标准化数据的相关系数和协方差6图 求协方差的方法是在“分析工具”选项框中选择“协方差”（图 7），弹出“协方差” 选项框（图 8），具体设置与“相关系数”类似，不赘述。结果见图 6，可以

7、看出，对于 标准化数据而言，协方差矩阵与相关系数矩阵完全一样。因此，二者任取其一即可。 在分析工具选项框中选择“协方差” 7图 4 协方差选项框8 图 计算特征根。我们已经得到相关系数矩阵为 ?10.7056? C?，? ? 0.70561? ? 而二阶单位矩阵为 ?10? I? ?， ? 01? ? ?，我们有于是根据公式0? C)det( I ? ?0.705611 00.7056 ?1 ? ? 0 ?0.7056 0.70561?0 1 ? 1 按照行列式化为代数式的规则可得 222? 0 ? ?0.5021 ? 2? ( ? 1)? 0.7056 2时，我们有根据一元二次方程的求根公式

8、，当04ac ? b ? 2ac ? 4? b ? b ? ? a2 。这便是，据此解得（对于本例，显然，）R0.2944?1?R?1.70561? 2121相关系数矩阵的两个特征根。 求标准正交向量。将代入矩阵方程，得到0?C)?(I? 100.7056?0.7056? ? ? ?1 ?0 0.70560.7056? ? ? ? 2? 中，用第一行加第二行，化为在系数矩阵C? I 0.7056?0.70560? ? ?1 ? 0? 00? ? ? 2由此得，令，则有，于是得基础解系1?1? 2 1 2 1 ?10.7071 ，单位化为?e? ? ? 11 ? 0.70711? 5 ? i （

9、）。1,2 i ? 单位化的公式为?e 2i ? 2 12 完全类似，将代入矩阵方程，得到0?C)?(I? 20?0.7056?0.7056? ? ? ?1 ?0 0.7056? 0.7056 ? ? ? 2用系数矩阵的第二行减去第一行，化为 0?0.7056?0.7056? ? ? ?1 ? 0? 00? ? 2于是得到，取，则有，因此得基础解系为1?1? 2 1 21，单位化为e? 0.7071 ? 1 ? ? ?2 2?0.7071 ? ?1? ? 这里、便是标准正交向量。ee 21 求对角阵。首先建立标准正交矩阵 P，即有 0.7071?0.7071 e? ?eP? 2 ? 1?0.7

10、071?0.7071 ? T1T?，可逆。根据，即矩阵的该矩阵的一个特殊性质便是转置等于矩阵的CP? P D P ? P 知 ?D?1.7056?0? 0.7056?0.7071 0.7071 ? ? ? ?0.70560.70710.7071? 0.29340 0.7071? 10.7071 0 ? ? .70710.707 1 ?1 下面说明一下利用 Excel 进行矩阵乘法运算的方法。矩阵乘法的命令为 mmult，语法是 T矩阵的单元格范围，矩阵的单元格范围。例如，用矩阵与矩阵相乘，P C 21 mmult( ) 首先选择一个输出区域如 G1:H2，然后输入“=mmult(A1:B2,C

11、1:D2)”，然后按下 “Ctrl+Shift+Enter”键（图 9），即可给出 1.206044 1.206044 0.20817 -0.20817 再用乘得的结果与 P 阵相乘，便得对角矩阵 1.7056030 0.2943970 如果希望一步到位也不难，选定输出区域如 C3:D4，然后输入 “=mmult(mmult(A1:B2,C1:D2),E1:F2)” （图 10），同时按下“Ctrl+Shift+Enter”键，立 即得到结果（图 11）。显然，对角矩阵对角线的数值恰是相关系数矩阵的特征值。 矩阵乘法示例 图 9 6 矩阵连乘的命令与语法10 图 至此，标准化的原始变量 x 与

12、主成分之间 z 之间可以表作 ?x0z0.7056?1? ?1.7056 ? ? z? xz?11?x ?1 22 x 10.2944z0.705601 ? ? ? 22 显然与之间正交。zz 21 乘法结果：对角矩阵 11图 根据特征根计算累计方差贡献率。现已求得第一特征根为，第二特征根为1.7056? 1，二者之和刚好就是矩阵的维数，即有，这里为变量数2?m?0.2944?=2m? 221目（注意前面的 n=25 为样本数目）。比较图 6 或图 10 中给出的相关系数矩阵 C 与图 11 中给出的对角矩阵 D 可以看出，Tr.(C)=1+1=2，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2，即有 Tr.(C)= Tr.(D)，可见将相关系数亦即协方差矩阵转换为对角矩阵以后，矩阵的迹（trace，即对角 线元素之和）没有改变，这意味着将原始变量化为主成分以后，系统的信息量没有减少。 现在问题是，如果我们只取一个主成分代表原来的两个变量，能反映原始变量的多少信息？ 这个问题可以借助相关系数矩阵的特征根来判断。利用 Excel 容易算出，第一特征根占特 征根总和即矩阵维数的 85.28%（见下表），即有 特征根累计值百分比累计百分比 1.705603 1.70560385.28%85.28% 7 100.00%0.294397214.72% 也就是说： ，：85.28%/2?/