学年北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明》单元测试题含答案.docx

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学年北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明》单元测试题含答案

第一章　三角形的证明

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

1．如图2，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距（　　）

图2

A．30海里B．40海里

C．50海里D．60海里

2．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　）

图3

A．3.5B．4.2C．5.8D．7

3．如图4，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于

CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是（　　）

图4

A．射线OE是∠AOB的平分线

B．△COD是等腰三角形

C．C，D两点关于OE所在直线对称

D．O，E两点关于CD所在直线对称

4．等腰三角形两边的长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．12B．15C．12或15D．18

5．如图1，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

图1

A．BC＝EC，∠B＝∠E

B．BC＝EC，AC＝DC

C．BC＝DC，∠A＝∠D

D．∠B＝∠E，∠A＝∠D

6．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）

A．如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0

B．直角都相等

C．两直线平行，同位角相等

D．若a＝6，则|a|＝|6|

7．如图5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）

图5

A．6B．5C．4D．3

8.如图6，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（　　）

图6

A．11cmB．2

cm

C．（8＋2

）cmD．（7＋3

）cm

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

9．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为________.

10．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时，第一步应假设________________________________________________________________________．

11．如图7，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为________cm.

图7

12.如图8，在△ABC中，AB＋AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC交于点D，则△ABD的周长为________cm.

13．如图9，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．

图9

14．如图10，∠BOC＝60°，A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝________s时，△POQ是等腰三角形．

图10

三、解答题（本大题共4小题，共44分）

15．（10分）如图11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.

（1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积．

图11

16．（12分）如图14，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A开始以1cm/s的速度向点C运动，点E从点C开始以2cm/s的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动的时间为ts，过点E作EF∥AC交AB于点F.

（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？

（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？

（3）求证：

DC＝EF.

图14

17．（12分）如图13，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.

（1）△DBC和△EAC全等吗？

请说出你的理由；

（2）试说明AE∥BC.

图13

18．（10分）如图12，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.

（1）求证：

AD垂直平分EF；

（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明．

图12

详解详析

考查意图

　经历探索、猜测、证明的过程，了解作为证明基础的几条定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理，体会证明的重要性；能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质定理和判定定理，培养学生的逆向思维能力，增强论证趣味性，激发学生学习数学的兴趣和信心，同时体会逻辑证明在实际中的意义和作用．本套试卷易、中、难比例控制在7∶2∶1左右

知识与技能

三角形全等

2，17

等腰三角形

1，4，9，14，18

勾股定理及其逆定理

13，15

（2）

线段的垂直平分线

12，13，16

角平分线

6，11，15

（1）

思想方法

方程思想、转化思想、分类讨论思想

13，14

亮点

　第12题要注意把△ABD的周长转化为线段AB＋AC的长

1．[解析]B　连接AC.由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝40海里．故选B.

2．[答案]D

3．[解析]D　由作图可知射线OE是∠AOB的平分线，OC＝OD，所以△COD是等腰三角形；易证OE⊥CD，且OE平分CD，即C，D两点关于OE所在直线对称，故选项A，B，C均正确．只有选项D错误．

4．[解析]B　①当3为底边长时，腰长为6，可以构成三角形，此时三角形的周长为15；②当3为腰长时，其他两边长为3和6.∵3＋3＝6，∴不能构成三角形，故舍去．故选B.

5．[答案]C

6．[解析]C　A项，“如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是“如果a＋b＞0，则a＞0，b＞0”，是假命题；B项，“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”，是假命题；C项，“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题；D项，“若a＝6，则|a|＝|6|”的逆命题是“若|a|＝|6|，则a＝6”，是假命题．故选C.

7．[解析]D　∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DF＝DE＝2.又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝4，∴7＝

×4×2＋

AC×2，∴AC＝3.故选D.

8．[答案]B

9．[答案]40°

[解析]因为等腰三角形的一个底角为70°，所以另外一个底角也为70°，根据三角形内角和定理，可得它的顶角为40°.

10．[答案]一个三角形中有两个角是直角

[解析]用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角．

11．[答案]6

12．[答案]6

[解析]根据线段垂直平分线的性质定理，得BD＝DC，所以所求△ABD的周长就转化为求线段AB，AD，DC的和，即AB＋AC，所以△ABD的周长为6cm.

13．[答案]

[解析]根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知AE＝EC.设AE＝x，则EC＝x，DE＝3－x，DC＝2，在Rt△DCE中，有22＋（3－x）2＝x2，解得x＝

.所以CE的长为

.

14．[答案]

或10

[解析]当点P在OA上，PO＝QO时，△POQ是等腰三角形，如图①所示．∵PO＝AO－AP＝10－2t，OQ＝t，

∴10－2t＝t，解得t＝

；

当点P在OB上，PO＝QO时，△POQ是等腰三角形，如图②所示．

∵PO＝AP－AO＝2t－10，OQ＝t，

∴2t－10＝t，解得t＝10.

故答案为：

或10.

15．解：

（1）∵∠C＝90°，∴AC⊥CD.

又AD平分∠CAB，DE⊥AB，

∴DE＝CD.

又CD＝3，∴DE＝3.

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝

＝

＝10，

∴S△ADB＝

AB·DE＝

×10×3＝15.

16．解：

由题意得AD＝tcm，CE＝2tcm.

（1）若△DEC为等边三角形，则EC＝DC，

∴2t＝6－t，解得t＝2，

∴当t为2时，△DEC为等边三角形．

（2）若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时，

∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°，

∴CE＝

DC，∴2t＝

（6－t），解得t＝1.2；

当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°，

∴

CE＝DC，

∴

×2t＝6－t，∴t＝3，

∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形．

（3）证明：

∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，

∴BC＝12cm，

∴DC＝（6－t）cm，BE＝（12－2t）cm.

∵EF∥AC，

∴∠BFE＝∠A＝90°.

∵∠B＝30°，

∴EF＝

BE＝

（12－2t）＝（6－t）cm，

∴DC＝EF.

[点评]本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键．

17．解：

（1）△DBC和△EAC全等．

理由：

∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，

∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，

∴∠BCD＝∠ACE.

在△DBC和△EAC中，

∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，

∴△DBC≌△EAC（SAS）．

（2）∵△DBC≌△EAC，

∴∠EAC＝∠B＝60°.

又∵∠ACB＝60°，

∴∠EAC＝∠ACB，

∴AE∥BC.

18．解：

（1）证明：

∵AD为△ABC的角平分线，

DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.

在Rt△AED和Rt△AFD中，

∵DE＝DF，AD＝AD，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE＝AF.

又∵DE＝DF，

∴点A，D都在EF的垂直平分线上，

∴AD垂直平分EF.

（2）DO＝

AD.

证明：

∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠EAD＝30°，∴DE＝

AD.

∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，AD⊥EF，

∴∠DEO＝30°，

∴DO＝

DE，∴DO＝

AD.