届河北省承德第一中学高三月考数学理试题解析版.docx
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届河北省承德第一中学高三月考数学理试题解析版
2020届河北省承德第一中学高三9月月考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
A．{l}B．{l，2}C．D．
【答案】B
【解析】先求集合B，再求两个集合的交集.
【详解】
因为，所以，因为，所以,所以,故选B.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养.
2．已知复数，其中为虚数单位.则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数求模公式可求出的值.
【详解】
，则，故选B.
【点睛】
本题考查复数的除法法则以及复数模的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
3．下图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：
2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论错误的是
A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
【答案】C
【解析】根据折线图提供的信息逐个选项验证可得.
【详解】
对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；
对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；
对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；
对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.
【点睛】
本题主要考查统计图表的识别，根据折线图研究统计结论，侧重考查数据分析的核心素养.
4．数列中，已知且则
A．19B．21C．99D．101
【答案】D
【解析】利用累加法及等差数列的求和公式可求.
【详解】
因为，所以，，.
上面各式相加可得，故选D.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.
5．已知双曲线的离心率为，点（4，1）在双曲线上，则该双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点（4，1）得另一个方程，联立可得.
【详解】
因为离心率为，所以①；因为点（4，1）在双曲线上，所以②；
因为③；联立①②③可得，故选C.
【点睛】
本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A．3，5B．8，13
C．12，17D．21，34
【答案】B
【解析】结合框图的循环条件，逐步运算可得结果.
【详解】
第一次运算：
；第二次运算：
；第三次运算：
；此时结束循环，输出结果，故选B.
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别，侧重考查数学运算的核心素养.
7．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】先根据可得函数周期，结合奇函数及解析式可得.
【详解】
因为，所以周期为4，所以；因为为奇函数，所以.因为当时，，所以，即，故选A.
【点睛】
本题主要考查函数性质的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
8．已知向量，若，则的最小值为（）
A．12B．C．15D．
【答案】B
【解析】因为，所以对向量坐标运算，得到，根据=可构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求出结果.
【详解】
共线，，即，
所以=，当且仅当时等号成立.
【点睛】
本题考查平面向量平行的坐标运算，均值定理求最小值，考查数学的转化能力，属于基础题.
9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调减区间为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先根据平移变换求出，然后再根据正弦函数的单调区间.
【详解】
把的图象向右平移个单位长度后得到，所以，所以.
令，解得，令可得一个减区间为，故选A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意x的系数对解析式的影响.
10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.
【详解】
根据三视图还原成几何体如图，
它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，
四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.
11．已知数列：
，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：
首次出现时为数列的
A．第44项B．第76项C．第128项D．第144项
【答案】C
【解析】从分子分母的特点入手，找到出现前的所有项，然后确定的项数.
【详解】
观察分子分母的和出现的规律：
，
把数列重新分组：
，
可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；
第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.
12．已知函数，在其图象上任取两个不同的点，总能使得，则实数的取值范围为
A．B．C．（1，2）D．
【答案】B
【解析】根据可知的图象上任意两个点连线的斜率大于2，结合导数的几何意义可求.
【详解】
，因为，所以；
易知当时，不符合题意；当时，，由于，所以，所以，即，故选B.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，曲线上任意两点的斜率问题转化为导数的几何意义，侧重考查数学建模的核心素养.
二、填空题
13．杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到展开式的二项式系数．根据相关知识可求得展开式中的的系数为
【答案】
【解析】利用二项式定理展开式的通项公式求解.
【详解】
的展开式的通项公式为，令，可得系数为.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，求解二项式展开式特定项时，一般是利用通项公式求解.
14．若满足约束条件则的最小值为
【答案】
【解析】作出可行域，平移目标式，确定最值点，求出最值.
【详解】
作出可行域如图，
平移直线可得目标函数在点A处取到最小值，联立可得,代入可得的最小值.
【点睛】
本题主要考查线性规划，利用线性规划知识求解线性目标函数的最值问题，侧重考查直观想象的核心素养.
15．已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为
【答案】
【解析】根据内接关系作出截面图，建立正四棱柱和圆锥之间的关系，从而可求.
【详解】
设正四棱柱的底面边长为，高为，如图
由题意可得解得，
正四棱柱的体积为，
，当时，，为增函数；当时，，为减函数；所以当时，正四棱柱体积最大，此时正四棱柱的底面边长为.
【点睛】
本题主要考查组合体的内接问题，体积最大值的确定要根据目标式的特征来选择合适的方法，侧重考查直观想象的核心素养.
16．已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且，若点A，B在上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为
【答案】
【解析】先根据可得，直线垂直于x轴，确定△MFN的形状，然后可求其内切圆半径.
【详解】
抛物线的焦点为,因为，所以直线垂直于x轴，所以,所以，,因为，所以△MFN为直角三角形，且，设其内切圆半径为，则有，解得.
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，内切圆的问题一般是通过面积相等来求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
三、解答题
17．已知函数正周期为.
（1）当时，求函数的最大值与最小值：
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，求sinC．
【答案】
（1）最大值为，最小值为.
（2）
【解析】
（1）先化简函数为标准型，结合周期可得，从而可求最值；
（2）先根据求出A，结合条件及余弦定理可得关系，利用正弦定理可求sinC.
【详解】
解：
（1）
因为的最小正周期为，所以，可得，
故，
当时，，
所以当时，最大值为，
当时，最小值为.
（2）由可得，，
因为，所以，,
由余弦定理知，，又，
可得，解得，，
由正弦定理知，，.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质及解三角形问题，三角函数性质问题的关键是化简，注意公式的使用，侧重考查数学运算的核心素养.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．
（1）当PB长为多少时，平面平面ABCD?
并说明理由；
（2）若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】
（1）当时，平面平面，详见解析
（2）
【解析】
（1）根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得,利用直角三角形知识可得的长；
（2）构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【详解】
解：
（1）当时，平面平面，
证明如下：
在中，因为，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）分别取线段的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，为的中点，所以,
又，所以，故为二面角的平面角，所以，
如图，分别以的方向以及垂直于平面向上的方向作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
因为，，所以，，，.
可得，，
设为平面的一个法向量，则有，
即，令，
可得，
设与平面所成角为，则有
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养.
19．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：
（年龄单位：
岁）
年龄段
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频率
0.1
0.32
0.28
0.22
0.05
0.03
使用人数
8
28
24
12
2
1
（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
使用手机支付
不使用手机支付
（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（K2
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