自动控制原理+课后答案.docx
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自动控制原理+课后答案
自动控制原理答案
自控原理课后习题精选
2-5试分别列写图
2-3中各无源网络的微分方程
（设电容C上的电压为uc（t），电容C1上的电压为uc1（t），
以此类推）。
+uc（t）－
+
R1（t）－
+uc1（t）－
u
C
R1
C1
R1
R
R
C
C
c1
－
－c2（t）+
i
i
R2
+
+u（t）
u
uo
ui
u
uou
R2
uo
uc2（t）C2
－
（a）
（b）
（c）
图2-3习题2-5无源网络示意图
解：
（a）设电容C上电压为uc（t），由基尔霍夫定律可写出回路方程为
uc（t）ui（t）uo（t）
duc（t）uc（t）uo（t）
C
dtR1R2
整理得输入输出关系的微分方程为
Cduo（t）
（1
1）uo（t）
Cdui（t）
ui（t）
dt
R1
R2
dt
R1
（b）设电容C1、C2上电压为uc1（t）,uc2（t），由基尔霍夫定律可写出回路方程为
uc1（t）
ui（t）
uo（t）
ui（t）
uc2（t）
uo（t）
uc2（t）
C2
duc2（t）
R
R
dt
uo（t）
uc2（t）
RC1
duc1（t）
dt
整理得输入输出关系的微分方程为
RC1C2d2uo（t）
（2C1C2）duo（t）uo（t）
RC1C2
d2ui（t）
2C1
dui（t）
ui（t）
dt2
dt
R
dt2
dt
R
（c）设电阻R2上电压为uR2（t），两电容上电压为
uc1（t）,uc2（t）
，由基尔霍夫定律可写出回路方程为
uc1（t）ui（t）
uR2（t）
（1）
uc2（t）
uo（t）uR2（t）
（2）
C
duc1（t）
C
duc2（t）
uR2
（t）
（3）
dt
dt
R2
1
ui（t）uo（t）
Cduc2（t）
R1
dt
（2）代入（4）并整理得
duR2（t）duo（t）ui（t）uo（t）
dtdtR1C
（1）、
（2）代入（3）并整理得
Cdui（t）
Cduo（t）
2CduR2（t）
uR2（t）
dt
dt
dt
R2
两端取微分，并将（
5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为
R2Cd2uo（t）
（1
1）duo（t）
uo（t）
R2Cd2ui（t）
1
dui（t）
ui（t）
dt2
R1C
dt
R1C
dt2
R1Cdt
R1C
2-6
求图2-4中各无源网络的传递函数。
+Uc（s）－
+Uc1（s）
－
C
C1
R1
+Uc1（s）－－Uc2（s）+
R1
R
R
Uo（s）Ui（s）
C+
C
Ui（s）
+
UR2（s）
Ui（s）
R2Uo（s）
Uc2（s）
C2
R2
－
－
（a）（b）（c）
图2-4习题2-6示意图解：
（a）由图得
UC（s）
Uo（s）
CsUC（s）
R2
R1
UC（s）Ui（s）Uo（s）
（2）代入
（1），整理得传递函数为
Cs
1
Uo（s）
R1
R1R2CsR2
Ui（s）
1
1
R1R2CsR1R2
Cs
R2
R1
（b）由图得
UC1（s）Ui（s）Uo（s）
Ui（s）UC2
（s）Uo（s）UC2
（s）
（s）
R
R
C2sUC2
自动控制原理答案
（4）
（5）
Uo（s）
（1）
（2）
（1）
（2）
2
自动控制原理答案
RC1sUC1（s）Uo（s）UC2（s）
整理得传递函数为
1
Uo（s）
RC1s
2
R2C1C2s2
2RC1s1
RC2s
Ui（s）
RC2s
1
R2C1C2s2
Rs（2C1C2）1
RC1s
2
RC2s
（c）由图得
UC1（s）
Ui（s）UR2（s）
（1）
UC2（s）Uo（s）UR2（s）
（2）
CsUC1（s）CsUC2（s）
UR2
（s）
（3）
R2
Ui（s）
Uo（s）
（s）
（4）
CsUC2
R1
整理得传递函数为
1
Uo（s）
Cs
R1R2C2s2
R1Cs
R2
Ui（s）
2
1
1
R1R2C2s2
（R1
2R2）Cs1
Cs
R2
R1R2Cs
R1
2-8试简化图
2-6中所示系统结构图，并求传递函数
C（s）/R（s）和C（s）/N（s）。
解：
（a）
⑴求传递函数C（s）/R（s），按下列步骤简化结构图：
图2-6习题2-8系统结构图示意图
①令N（s）0，利用反馈运算简化如图2-8a所示
3
自动控制原理答案
R（S）
G1
G2
C（S）
－
1G1H1
1G2H2
H3
图2-8a
②串联等效如图2-8b所示
R（S）
G1
G2
C（S）
－
1
G1H11
G2H2
H3
图2-8b
③根据反馈运算可得传递函数
G1
G2
C（s）
1G1H11G2H2
G1G2
R（s）
G1
G2
（1G1H1）（1G2H2）G1G2H3
1
G2H2
H3
1G1H11
G1G2
1G1H1G2H2G1H1G2H2G1G2H3
⑵求传递函数C（s）/N（s），按下列步骤简化结构图：
①令R（s）0，重画系统结构图如图2-8c所示
H2
N（S）
－
+
++
C（S）
H
1
1
G2
G
－
H3
图2-8c
②将H3输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示
4
自动控制原理答案
N（S）
+
G2
C（S）
-H1
G1
G2H2
+
1
H3/H1
图2-9d
③G1和H1串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示
-1/G1H1
N（S）
C（S）
-G1H1
G2
+
1
G2H2
H3/H1
图2-8e
④串并联合并如图2-8f所示
N（S）
1
G1G2H1
C（S）
1
1G2H2
G1H1
+
H3/H1
图2-8f
⑤根据反馈和串联运算，得传递函数
G1G2H1
C（s）
（1
1
1
G2H2
N（s）
）
H3
G1H1
G1G2H1
1
G2H2
H1
1
G1H1
1
G1G2H1
G1H1
1G2H2
G1G2H3
G2
G1G2H1
1G2H2
G1G2H3
（b）求传递函数C（s）/R（s），按下列步骤简化结构图：
①将H2的引出端前移如图2-8g所示
5
自动控制原理答案
H2
1/G3
R（S）
－
C（S）
G1
G2
G3
－
－
H1
H3
图2-8g
②合并反馈、串联如图2-8h所示
H2
/G3
R（S）
－
G2G3
C（S）
G1
1G3H3
－
H1
图2-8h
③将H1的引出端前移如图2-8i所示
H2/G3
R（S）
－
G2G3
C（S）
G1
1G3H3
－
1
G3H3
H1
G2G3
图2-8i
④合并反馈及串联如图2-8j所示
R（S）
G1G2G3
C（S）
－
1
G2H2G3H3
1G3H3
H1
G2G3
图2-8j
6
自动控制原理答案
⑤根据反馈运算得传递函数
G1G2G3
C（s）
1G2H2
G3H3
R（s）
1
G1G2G3
1G3H3H1
1G2H2G3H3
G2G3
G1G2G3
1G1HG2H2
G3H3
G1H1G3H3
2-10根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数C（s）/R（s）和
C（s）/N（s）。
解：
（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数
的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10a所示。
-H1
N（S）
H2
R（S）
1
G1
1
G2
1
C（S）
-H3
图2-10a
（1）令N（s）0，求系统传递函数C（s）/R（s）
由信号流图2-10a可见，从源节点R（s）到阱节点C（s）之间，有一条前向通路，其增益为
p1
G1G2
有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
L1
G1H1，L2
G2H2，L3G1G2H3
L1与L2互不接触
L12G1H1G2H2
流图特征式
1（L1L2L3）L121G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2
由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
7
自动控制原理答案
11
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
C（s）
p11
G1G2
R（s）
1G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2
（2）令R（s）
0，求系统传递函数
C（s）/N（s）
由信号流图
2-10a可见，从源节点
N（s）到阱节点C（s）之间，有两条前向通路，其增益为
p1G2，p2G1G2H1
有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
L1G2H2，L2G1G2H3
没有互不接触的回路，所以流图特征式为
1（L1L2）1G2H2G1G2H3
由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
11，21
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
C（s）
1
2
G2G1G2H1
R（s）
pi
i
G1G2H3
i1
1G2H2
（b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数
的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10b所示。
-H2
R（S）1G11G21G31C（S）
-H1-H3
图2-10b
求系统传递函数C（s）/R（s）
由信号流图2-10b可见，从源节点R（s）到阱节点C（s）之间，有一条前向通路，其增益为
p1G1G2G3
8
自动控制原理答案
有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
L1G1H1，L2G2H2，L3G3H3
L1与L3互不接触
L13G1G3H1H3
流图特征式为
1（L1L2L3）L131G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3
由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
11
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
C（s）p11
G1G2G3
R（s）
1G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3
3-3已知二阶系统的单位阶跃响应为h（t）1012.5e1.2tsin（1.6t53.1），试求系统的超调量%，峰
值时间tp和调节时间ts。
解：
h（t）10
1.t2
sint（1.653.1）
12.e5
＝10[1
1.25e1.2t
sin（1.6t53.1）]
由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h（t）1
1
e
ntsin（n1
2t）
1
2
n1.2
所以有
1
1
2
1.25
n
1
2
1.6
0.6
解上述方程组，得
n2
所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下
超调量%e
1
2
0.61.25
100%9.5%
100%e
9
自动控制原理答案
峰值时间
tp
2
1.96s
n1
20.8
调节时间
3.5
3.5
2.92
ts
20.6
n
3-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G（s）0.4s1，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
s（s0.6）
解题过程：
由题意可得系统得闭环传递函数为
G（s）
0.4s
1
2
s
a
（s）
n
1
G（s）
2
s
1
a
s
2
2d
ns
2
s
n
其中a2,
n
1,d
n
0.5,z
2.5。
这是一个比例－微分控制二阶系统。
2z
比例－微分控制二阶系统的单位阶跃响应为
h（t）
1re
dnt
sinn（
1d2t
）
z
2
2
2
2
故显然有
r
dn
n
z1
2
3
d
1
2
arctan1
2
arctan（
n
d
）
d
1.686
z
d
n
d
1
2
arctan
d
1.047
d
3
d
此系统得动态性能指标为
峰值时间
tp
d
3.155
1
2
n
d
%r
1
2
dtp
1
2
16.2%
n
超调量
de
3
1ln（z2
2n
n
n2）lnz
1ln（1
d2）
调节时间
ts
2
2
5.134
d
n
K
，试应用劳斯稳定判据确定
3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为G（s）
（s2）（s4）（s2
6s25）
义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。
10
自动控制原理答案
解：
由题得，特征方程是s412s369s2198s200K0
列劳斯表
s4
1
69
200+K
s3
12
198
s2
52.5
200+K
s1
7995-12K
s0
200+K
由题意，令s1
所在行为零得K
666.25
由s2行得52.5s2
200
666.250
解之得s
4.06i2，所以振荡角频率为
4.06r2ad/s
K（0.5s
1）
，试确定系统稳定时的
K值范
3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G（s）
s1）
s（s1）（0.5s2
围。
解：
由题可知系统的特征方程为
D（s）s4
3s3
4s2
（2K）s2K0
列劳斯表如下
s4
1
4
s3
3
2+K
s2
10-K
2K
3
（10-K）（2+K）
6K
1
3
s
10-K
3
s0
2K
由劳斯稳定判据可得
10
K
3
0
[（10
K）（2
K）/3]6K
（10
0
K）/3
2K
0
11
自动控制原理答案
解上述方程组可得0K1.705
3-9系统结构如图3-1
K
，定义误差e（t）
r（t）c（t），
所示，G（s）
s（Ts
1）
（1）若希望图a中，系统所有的特征根位于
s平面上s2
的左侧，且阻尼比为
0.5，求满足条件的K,T
的取值范围。
（2）求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
（3）为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的K0值。
（a）（b）
解：
（1）闭环传递函数为
（s）
K
K/T
sK
1
K
Ts2
2
s
s
T
T
即n
K,2
n
1,
0.5
n
1,K
1
T
T
T
T
D（s）
Ts2
s
K,令s's
2，代入上式得，
D'（s）T（s'
2）2
s'
2K
Ts'2
（4T
1）s'4T1/T20
列出劳斯表，
s2
T
4T+1T
2
s1
1-4T
s0
4T+1T
2
T
0,1
4T
0,4T
1/T20
0
T1/4
或T
0,1
4T
0,4T1/T
2
0
无解
0
T
1/4,4
K
（2）R（t）
t，系统为I
型系统∴ess
1/K
12
自动控制原理答案
K
KK0s
K
（3）G'（s）（K0s1）
Ts2
s
K
s（Ts1）K
E（s）
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