初二年级几何证明例题精讲.docx

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初二年级几何证明例题精讲

初二年级几何证明例题精讲

【例1】．已知：

如图6，△、△分别是以、为斜边的直角三角形，且，△是等边三角形．求证：

△是等边三角形．

证明：

∵∠BCE=90°∠ACD=90°在△ECB和△ACD中

∠BCE=∠BCA+∠ACEBE=AD

∠ACD=∠ACE+∠ECD∠BCE=∠ACD

∴∠ACB=∠ECDEC=CD

∵△ECD为等边三角形∴△ECB≌△DCA（HL）

∴∠ECD=60°CD=EC∴BC=AC

即ACB==60°∵∠ACB=60°

∴△是等边三角形

【例2】、如图，已知BC>AB，AD=DC。

BD平分∠ABC。

求证：

∠A+∠C=180°.

证明：

在BC上截取BE=BA,连接DE,∴∠A=∠BEDAD=DE

∵BD平分∠BAC∵AD=DC

E

∴∠ABD=∠EBD∴DE=DC

在△ABD和△EBD中得∠DEC=∠C

AB=EB∵∠BED+∠DEC=180°

∠ABD=∠EBD∴∠A+∠C=180°

BD=BD

△ABD≌△EBD（SAS）

1、线段的数量关系:

通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

①倍长中线

【例.3】如图，已知在△中，，，平分，交于点.

求证：

证明：

延长DC到E，使得CE=CD,联结AE∵∠ADE=60°AD=AE

∵∠C=90°∴△ADE为等边三角形

∴AC⊥CD∴AD=DE

E

∵CD=CE∵DB=DA

∴AD=AE∴BD=DE

∵∠B=30°∠C=90°∴BD=2DC

∴∠BAC=60°

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=30°

∴DB=DA∠ADE=60°

【例4.】如图，是的边上的点，且，，是的中线。

求证：

。

证明：

延长AE到点F,使得EF=AE联结DF

在△ABE和△FDE中∴∠ADC=∠ABD+∠BDA

BE=DE∵∠ABE=∠FDE

∠AEB=∠FED∴∠ADC=∠ADB+∠FDE

AE=FE即∠ADC=∠ADF

∴△ABE≌△FDE（SAS）在△ADF和△ADC中

∴AB=FD∠ABE=∠FDEAD=AD

F

∵AB=DC∠ADF=∠ADC

∴FD=DCDF=DC

∵∠ADC=∠ABD+∠BAD∴△ADF≌ADC（SAS）

∵∴AF=AC

∴AC=2AE

【变式练习】、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

证明：

延长AE到点F,使得EF=AE联结DF

在△ACE和△FDE中∴∠ADB=∠ACD+∠CDA

CE=DE∵∠ACE=∠FDE

F

∠AEC=∠FED∴∠ADB=∠ADC+∠FDE

AE=FE即∠ADB=∠ADF

∴△ACE≌△FDE（SAS）在△ADF和△ADB中

∴AC=FD∠ACE=∠FDEAD=AD

∵DB=AC∠ADF=∠ADB

∴DB=DFDF=DB

∵∠ADB=∠ACD+∠CAD∴△ADF≌ADB（SAS）

∵AC=DC∴∠FAD=∠BAD

∴∠CAD=∠CDA∴AD平分∠DAE

　【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

【变式练习】：

如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。

　求证：

AE=EF。

证明：

延长AD至点G，使得DG=AD，联结BD

在△ADC和△GDB中∴BG=BF

AD=GD∴∠BFG=∠BGF

∠ADC=∠GDB∵∠CAD=∠BGD

BD=DC∴∠BFG=∠CAD

∴△ADC≌△GDB（SAS）∵∠BFG=∠AFE

G

得AC=BG∠CAD=∠BGD∴∠AFE=∠FAE

∵AC=BF∴AE=AF

②、借助角平分线造全等

【例5】如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

证明：

在AC上截取AF=AE,联结OF在△AOE和△AOF中

在△ABC中，∠B+∠BAD+∠ACB=180°AE=AF

∵∠B=60°∠EAO=∠FAO

∴∠BAD+∠ACB=120°AO=AO

F

∵AD平分∠BAC∴△AOE≌△AOF（ASA）在△COD和△COF中

∴∠BAC=2∠OAC∴∠AOE=∠AOEOE=OF∠DCO=∠FCO

∵CE平分∠ACB∵∠AOE=60°CO=CO

∴∠ACB=2∠ACO∠AOE+∠AOE+∠FOC=180°∠DOC=∠FOC

∴2∠OAC+2∠ACO=120°∠FOC=6O°∴△COD≌△COF（ASA）

∴∠OAC+∠ACO=60°∵∠AOE=∠COD∴OD=OF

∵∠AOE=∠OAC+∠ACO∴∠COD=60°∵OE=OF

∴∠AOE=60°∴OE=OD

F

【例6】．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：

BD=2CE．

证明：

延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

【小结】解题后的思考：

1_x0001_于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

③旋转

【例7】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

∴∠GAE=∠FAE

延长EB到点G，使得BG=BE∠DAF+∠BAF=90°

先证明△ADF≌△ABE∠GAB=∠FAD

可得到AF=AG∠DAF=∠GAB∴∠GAF=90°

∵EF=BE+DF∴∠EAF=45°

G

∴EF=BE+BG=GE

∴△GAE≌△FAE

【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为___90°；

【例9】．如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．

（1）求证：

AD=CE，AD⊥CE

（2）若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则

（1）中结论是否仍成立?

请证明

提示：

∠ABC=∠DBE=90°∴∠ECB+∠AHB=90°

∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC∴∠ECB+∠CHF=90°

即∠ABD=∠CBE∴∠HFC=90°

∴△ABD≌△CBE∴AD⊥CEH

AD=CE

∠BAD=∠ECB

∵∠BAD+∠AHB=90°

【例10】.如图在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点.

（1）写出O点到△ABC三个顶点A、B、C的距离关系（不要求证明）

（2）如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.

联结OA

则△OAC和△OABD都为等腰直角三角形

∴OA=0B=0C

△ANO≌△BMO（∠NOA=∠OBM）

可得ON=OM∠NOA=∠MOB

可得到∠NOM=∠AOB=90°

【例11】如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？

写出变化过程．

AE=BF=CDAF=BD=CE

等边三角形也是等边三角形

得到∠EFD=60°∠ABC=60°

∵∠AFD=∠FBD+∠FDB

∠AFD=∠AFE+∠EFD

∴∠AFE=∠BDF

∴△AEF≌△BFD

同理：

△AEF≌△CDE

④、截长补短

【例12】、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

【例13】如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

【例14】如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

证明：

如图

（1），过O作OD∥BC交AB于D，

∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，

又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

    ∴∠ADO=∠AQO，

    又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，

    ∴△ADO≌△AQO，

    ∴OD=OQ，AD=AQ，

    又∵OD∥BP，

    ∴∠PBO=∠DOB，

    又∵∠PBO=∠DBO，

    ∴∠DBO=∠DOB，

∴BD=OD，

又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，

    ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=OB，

    ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

【例15】．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：

AC=AE+CD．

方法同【例5】

【例16】已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

延长FD至点G，联结CG

先证明△FDE≌GDC

得∠EFD=∠CGDFE=CG

，EF//AB

G

∠EFD=∠1

∠CGD=∠1

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠CGD

∴AC=CG

∵FE=CG

∴EF=AC

【例17】如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。

求的度数。

先证明△ABM≌△BCN（SAS）

可得∠CBN=∠BAM

∠AQN=∠ABQ+∠BAQ

∵∠BAM=∠CBN

∴∠AQN=∠ABQ+∠CBN

即∠AQN=∠ABC=60°

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

【例18】：

如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。

求证：

DE=DF。

证明：

过E作EG//AC交BC于G，

　　则∠EGB=∠ACB，

G

　　又AB=AC，∴∠B=∠ACB，

　　∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，

　　∴EB=EG=CF，

　　∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，

∴DE=DF。

.【例19】已知：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE.

联结BD

证明：

∵CF平分∠BCD∴∠ADB=∠CDB

∴∠BCF=∠DCF∵DF∥AB

在△BCF和△DCF中∴∠ABD=∠BDF

BC=CDBF=DF

∠BCF=∠DCF∴∠FDB=∠FBD

CF=CF∴∠ABD=∠FBD

∴△BCF≌△DCF（SAS）在△ABD和△EBD中

∴BF=DF∠ABD=∠EBD

（2）