梯形测试题2.docx

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梯形测试题2

梯形练习题

一、选择题

1．下列结论中，正确的是（）

A．等腰梯形的两个底角相等B．两个底角相等的梯形是等腰梯形

C．一组对边平行的四边形是梯形D．两条腰相等的梯形是等腰梯形

2．如上图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

3．课外活动课上，老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）

A．30

cmB．30cmC．60cmD．60

cm

4、等腰梯形的一角为120°，两底分别为10和30，则它的腰长为（）．

A．10B．20C．10

D．20

5、若等腰梯形的三条

边长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为（）

A．21B．29C．21或29D．21或22或29

二、填空题

6．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，10，5，则梯形的高为_____，对角线为______．

7．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．

8．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．

9、如图1，请写出等腰梯形ABCD（AD∥BC，AB=CD）特有而一

般梯形不具备的3个特殊性质：

（1）_________________；

（2）_________________；（3）________________．

（1

）

（2）

10、如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC．若再加上一个条件：

_____________或____________或_________，则可得到梯形ABCD是等腰

梯形．

三、解答题

11．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．求证：

四边形ADCE是等腰梯形．

12．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD

为什么？

13．（一题多解题）如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=12cm，上底AD=15cm，∠BAD=120°，求下底BC的长．

第

（2）页

王老师工作室

14．（科内交叉题）如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OD的中点，且EF≠AD，试判断四边形EBCF的形状，并说明你的理由．

15．如图所示，小军将两根长度相等的木条AC，BD交叉摆放，并使木条AC，BD分别与水平线所成的夹角∠1，∠2相等，然后在交点O处钉一个钉子固定，OA

请说明你的理由．

16．（连云港，）如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片．

（1）求证：

四边形ADEF是正方形；

（2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

第（3）页

17．（翻折变换题）如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE的长．

18．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．

（1）试说明△ABM≌△DCM；

（2）四边形MENF是什么图形？

请说明理由．

（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？

请说明理由．

19、．阅读：

下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程．已知：

在四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC．试说明四边形ABCD是等腰梯形．

解：

过点D作DE∥AB，交BC于点E，如图20-5-10所示．则∠ABE=∠1①．因为AB=DC，AC=DB，BC=CB②，所以△ABC≌△DCB，所以∠ABC=∠DCB③，所以∠1=∠DCB④，所以AB=DC=DE⑤，所以四边形ABCD是平行四边形⑥，所以AD∥BC⑦．又因为AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形⑧．因为AB=CD，所以四边形ABCD是等腰梯形⑨．阅读填空：

（1）说明过程是否有错误？

错在第几步？

答：

_______．

（2）有人认为第⑧步是多余的，你认为呢？

为什么？

答：

__________________________________________________________________．

（3）若题目中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？

为什么？



答：

____________________________________________________．

20、已知：

如图，在梯

形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，点E在边

AB延长线上，且BE=DC．

求证：

AC=CE．

21、已知：

如图，在四边形ABC

D中，AB∥CD，BD⊥AC，BD=15，AC=20，求梯形ABCD的面积．

参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

D

B

C

B

B

二、填空题

6

7

8

9

10

4

7

31

AB=CD

或

或

三、解答题

11．证明：

因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE．

又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE，

所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，所以∠OCE=∠OEC，

又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE，

而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．

又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=AE，

所以四边形ADCE是等腰梯形．

点拨：

证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．

12、解：

四边形ABCD是等腰梯形．

理由：

延长BA，CD，相交于点E，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC．

又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以∠EAD=∠EDA．

因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∠E+∠B+∠C=180°，所以∠EAD=∠B．

故AD∥BC．又AD

又AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．

点拨：

由题意可知，只要推出AD∥BC，再由AD

13、解法一：

如图1所示，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，

在梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，

因为∠BAD=120°，所以∠B=60°．

在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=30°，所以BE=

AB=6cm．

因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠B=60°，所以CF=

CD=6cm．

因为四边形AEFD是矩形，所以EF=AD=15cm，所以BC=BE+EF+CF=27cm．

图1图2图3

解法二：

如图2所示，过A作AE∥CD交BC于E点，

因为AD∥BC，所以四边形AECD是平行四边形．所以EC=AD=15cm，AE=CE．

又因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，因为∠BAD=120°，所以∠B=60°，

因为AB=CD，所以AB=AE，所以△ABE是等边三角形，

所以BE=AB=12cm，所以BC=BE+EC=15+12=27（cm）．

解法三：

如图3所示，延长BA和CD交于点P，

在梯形ABCD中，AB=CD，所以∠B=∠C，

因为AD∥BC，所以∠PAD=∠B，∠PDA=∠C，∠BAD+∠B=180°．

因为∠BAD=120°，

所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°，所以△PAD和△PBC都是等边三角形．

所以PA=AD=15cm，PB=PA+AB=12+15=27（cm），所以BC=PB=27cm．

点拨：

以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛，通过它们把梯形的问题转化为平行四边形，三角形等的问题来解决，体现了“转化”的数学思想．

14、解：

四边形EBCF是等腰梯形．理由如下：

因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD，AD=BC．

又因为AO=OC，OB=OD，所以OA=OD=OC=OB．

又因为E，F分别是OA，OD的中点，所以OE=OF，所以∠OEF=∠OFE．

因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB．

又因为∠EOF=∠BOC，所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB，即2∠OFE=2∠OBC，

所以∠OFE=∠OBC，所以EF∥BC．

因为EF≠AD，所以EF≠BC．所以四边形EBCF是梯形．

因为OE=OF，OB=OC，∠EOB=∠FOC，所以△OEB≌△OFC，所以BE=CF，

所以四边形EBCF是等腰梯形．

点拨：

本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题．要说明一个四边形为等腰梯形，需先说明这个四边形为梯形（这一条很容易被忽略），再说明这个梯形为等腰梯形．

15．解：

小军得到的四边形ABCD是等腰梯形，理由如下：

如图所示，延长DA，CB交于点E，因为AC=BD，∠1=∠2，CD=DC．

所以△ADC≌△BCD（S．A．S．），所以AD=BC，∠ADC=∠BCD．所以ED=EC，

所以ED-AD=EC-BC，即EA=EB．所以∠3=∠4，

因为∠3+∠4+∠E=180°，∠ADC+∠BCD+∠E=180°，

所以∠3=

，∠ADC=

，所以∠3=∠ADC．所以AB∥CD，

又因为OA

所以四边形ABCD是等腰梯形．

点拨：

要想使四边形ABCD是等腰梯形，关键是求得AB∥DC和AD=BC，可通过同位角相等和三角形全等分别求出．

16．证明：

如图所示，

（1）因为∠A=90°，AB∥DC，所以∠ADE=90°．

由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，知AD=DE，∠DEF=90°．

所以四边形ADEF是矩形，且邻边AD，DE相等．

所以四边形ADEF是正方形．

（2）因为CE∥BG，且CE≠BG，所以四边形GBCE是梯形，因为四边形ADEF是正方形，

所以AD=FE，∠A=∠GFE=90°，又点G为AF的中点，所以AG=FG，连结DG．

在△AGD与△FGE中，因为AD=FE，∠A=∠GFE，AG=FG，所以△AGD≌△FGE，

所以∠DGA=∠EGB．因为BG=CD，BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．

所以DG∥CD．所以∠DGA=∠B．所以∠EGB=∠B．所以四边形GBCE是等腰梯形．

17．解：

因为△BFE与△DFE关于EF对称，所以△BFE≌△DFE．所以BE=DE．

又因为∠DBC=45°，所以∠EBD=∠EDB=45°，所以∠BED=90°．

过A作AH⊥BC于H，如图所示．因为AD∥BC，所以∠BED=∠ADE=90°．

又因为∠AHE=90°，所以四边形ADEH是矩形．所以AD=HE，AH=DE．

在Rt△ABH和Rt△DCE中，因为AB=DC，AH=DE，所以Rt△ABH≌Rt△DCE，所以BH=EC．

所以EC=

×（BC-AD）=

×（8-2）=3，所以BE=BC-EC=8-3=5．

点拨：

要求BE的长，因为BC已知，只需求EC的长，由已知条件可得∠DEC=90°，故联系梯形常作辅助线，易求EC的长．

18．解：

（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D．

因为M是AD的中点，所以AM=DM，所以△ABM≌△DCM．

（2）四边形MENF是菱形．理由：

由△ABM≌△DCM，得MB=MC．

连结MN，因为N是BC的中点，所以MN⊥BC，

而E，F分别是MB，MC的中点，

所以ME=

MB，MF=

MC，NE=

MB，NF=

MC（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半），所以ME=MF=NF=NE，所以四边形MENF是菱形．（3）梯形的高等于底边BC的长的一半；理由：

因为四边形MENF是正方形，所以∠BMC=90°．

由

（2）知MN是梯形的高，因为N是中点，所以MN=

BC．

点拨：

在

（2）的解答过程中，易只判断出是平行四边形的情况，出现说理不彻底不全面的错误，这也是解此类题的难点．

19．解：

（1）没有错误；

（2）第⑧步不是多余的，因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义；（3）不一定，因为当AD=BC时，四边形ABCD是矩形．

点拨：

做这种阅读材料的题时，一定要耐心，仔细地一步步读题．