苏教版数学选修21第1章 112.docx

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苏教版数学选修21第1章112

1.1.2　充分条件和必要条件

1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．（重点）

2．会判断某些简单命题的条件关系．（难点）

3．探求或证明命题的充要条件．（易错点）

[基础·初探]

教材整理1　符号⇒与D的含义

阅读教材P7上半部分，完成下列问题.

命题真假

“若p则q”为真

“若p则q”为假

表示方法

p⇒q

pDq

读法

p推出q

p不能推出q

用“⇒”、“D”填空：

（1）x>2________x≥1；

（2）a>b________ac>bc；

（3）ac2>bc2________a>b；

（4）a，b，c成等差数列________2b＝a＋c.

【解析】　

（1）当x>2时，一定有x≥1，故填⇒；

（2）当c≤0时，a>b不能推出ac>bc，故填D；

（3）因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故填⇒；

（4）a，b，c成等差数列，则b－a＝c－b即2b＝a＋c，故填⇒.

【答案】　

（1）⇒　

（2）D　（3）⇒　（4）⇒

教材整理2　充分、必要条件的含义

阅读教材P7中间部分，完成下列问题.

条件关系

含义

p是q的充分条件

（q是p的必要条件）

p⇒q

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的充分不必要条件

p⇒q，且qDp

p是q的必要不充分条件

pDq，且q⇒p

p是q的既不充分又不必要条件

pDq，且qDp

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）如果p是q的充分条件，那么命题“若p则q”为真．（　　）

（2）命题“若p则q”为假，记作“q⇒p”．（　　）

（3）若p是q的充分条件，则p是唯一的．（　　）

（4）若“pDq”，则q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）×

2．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．

（1）“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．

（2）两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．

（3）“a2>0”是“a>0”的________条件．

（4）“sinα>sinβ”是“α>β”的________条件．

【解析】　

（1）a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要”．

（2）因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要”．

（3）因为a2＞0Da＞0，如（－2）2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．

（4）因为y＝sinx在不同区间的单调性是不同的，故“sinα>sinβ”是“α>β”的既不充分也不必要条件．

【答案】　

（1）充要　

（2）充分不必要　（3）必要不充分　（4）既不充分也不必要

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

充分、必要条件的判定

（1）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的________条件；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的________条件；

（3）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件；

（4）“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的________条件．

【精彩点拨】　分清条件和结论，利用定义进行判断．

【自主解答】　

（1）当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．

（2）设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，

∵sinA≤sinB，∴2RsinA≤2RsinB，∴a≤b.

同理也可以由a≤b推出sinA≤sinB．所以“a≤b”是“sinA≤sinB”的充要条件．

（3）若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

（4）ln（x＋1）<0⇔0<1＋x<1⇔－1

【答案】　

（1）既不充分也不必要　

（2）充要　（3）充分不必要　（4）必要不充分

1．判断充分条件和必要条件的一般步骤

（1）判定“若p则q”的真假；

（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．

2．判断充分条件和必要条件常用的方法

（1）定义法：

分清条件和结论，再根据定义；

（2）等价法：

将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．

[再练一题]

1．对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），下列结论正确的是________（填序号）.【导学号：

09390005】

①Δ＝b2－4ac≥0是函数f（x）有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f（x）有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>0是函数f（x）有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<0是函数f（x）没有零点的充要条件．

【解析】　①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根⇔f（x）＝ax2＋bx＋c有零点；

②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，因此函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，但是f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点时，有可能Δ>0；

③是错误的，因为函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；

④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根⇔函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点．

【答案】　①②④

充分、必要条件的探求

　已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0，且p≠1），求数列{an}是等比数列的充要条件，并证明．

【精彩点拨】　根据数列的前n项和Sn与数列通项an的关系，先求出数列的通项an，根据数列{an}为等比数列，探求q所满足的条件，同时要注意充分性的证明．

【自主解答】　a1＝S1＝p＋q.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1），

∵p≠0，p≠1，∴＝p.

若{an}为等比数列，则＝＝p，

∴＝p，

∵p≠0，∴p－1＝p＋q，

∴q＝－1.∴{an}为等比数列的必要条件是q＝－1.

下面证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件．

当q＝－1时，Sn＝pn－1（p≠0，p≠1），

∴a1＝S1＝p－1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1（p－1），

∴an＝（p－1）pn－1（p≠0，p≠1），

＝＝p为常数，

∴q＝－1时，数列{an}为等比数列．即数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1.

1．充分、必要条件的探求方法

（1）探求条件时，一定要注意题目的问法，不要混淆充分条件与必要条件．

（2）“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是两个不同的命题，前者说明A⇒B，后者说明B⇒A，对于必要条件也要类似区分．

2．探求充要条件一般有两种方法

（1）等价转化法．将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．

（2）非等价转化法．先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．

[再练一题]

2．已知方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件.

【导学号：

09390006】

【解】　设方程的两根分别为x1，x2，则x1，x2都大于1的充要条件是

整理得

由根与系数的关系，得

解得k<－2.

所以所求的充要条件是k∈（－∞，－2）．

[探究共研型]

充分、必要条件的应用

探究1　若集合AB，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？

“x∈B”是“x∈A”的什么条件？

【提示】　因为AB，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．

探究2　对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？

【提示】　当AB且BA时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．

探究3　集合A＝{x|x≥a}，B＝{x≥2}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗？

若集合A是B的充分不必要条件？

实数a的值确定吗？

【提示】　当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，AB，这时a的值不确定，实数a的范围是a>2.

　已知p：

2x2－3x－2≥0，q：

x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【精彩点拨】　先利用不等式的解法确定命题p，q成立的条件，再根据p是q的充分不必要条件确定a的不等式组，求a的范围．

【自主解答】　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|（2x＋1）（x－2）≥0}＝，N＝{x|x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0}＝{x|（x－a）[x－（a－2）]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．由已知p⇒q且qDp，得MN，

∴或

解得≤a<2或

则实数a的取值范围是.

根据充分条件或必要条件求参数范围

1．记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}．

2．若p是q的充分不必要条件，则MN，

若p是q的必要不充分条件，则NM，

若p是q的充要条件，则M＝N.

3．根据集合的关系列不等式（组）．

4．求参数范围．

[再练一题]

3．已知（x＋1）（2－x）≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0的解为条件q.

若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围.

【解】　设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1＜x＜m＋1}，

若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，

所以　⇒m≥1.

[构建·体系]

1．用“⇒”、“D”、“⇔”填空．

（1）x>1________x>0；

（2）a>b________a2>b2；

（3）a2＋b2＝2ab________a＝b.

【解析】　

（1）x>1>0，故填“⇒”；

（2）因为2>－3⇒4<9，故填“D”；

（3）a2＋b2＝2ab⇔（a－b）2＝0⇔a－b＝0⇔a＝b，故填“⇔”．

【答案】　

（1）⇒　

（2）D　（3）⇔

2．p：

|x|＞2是q：

x＜－2的________条件．

【解析】　解不等式|x|＞2，得x＞2或x＜－2，故pDq，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．

【答案】　必要不充分

3．“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的________条件．

【解析】　由（2x－1）x＝0，得x＝或0，所以应填“必要不充分”．

【答案】　必要不充