基于Matlab的FIR低通滤波器设计毕业论文设计.docx
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基于Matlab的FIR低通滤波器设计毕业论文设计
浙江万里学院
本科毕业设计（论文）
（2012届）
论文题目基于Matlab的FIR低通滤波器设计
（英文）DesignofFIRLow-passDigital
FilterBasedonMatlab
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摘要
FIR数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分，由于FIR数字滤波器具有严格的线性相位，因此在信息的采集和处理过程中得到了广泛的应用。
本文介绍了FIR数字滤波器的概念和线性相位的条件，分析了窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器的思路和流程。
在分析三种设计方法原理的基础上，借助Matlab仿真软件工具箱中的fir1、fir2和remez子函数分别实现窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器。
仿真结果表明，在相频特性上，三种方法设计的FIR滤波器在通带内都具有线性相位；在幅频特性上，相比窗函数法和频率采样法，等波纹逼近法设计FIR滤波器的边界频率精确，通带和阻带衰减控制。
关键词：
FIR数字滤波器；窗函数法；频率采样法；等波纹逼近法；Matlab
Abstract
Inadigitalsignal,therewillbesomeinterferencesignalwhichsystemdoesnotneededoften.Soweneedtousedigitalfilterttofilterthesignaltoextracttheusefulsignal.FIRdigitalfilterisanimportantcomponentofdigitalfilter.AstheFIRdigitalfilter’slinearphaseresponseisrequired,ithavebeenwidelyusedininformationcollectionandprocessing.ThispaperintroducedtheconceptofFIRdigitalfiltersandthegeneralideaofthedesign,IntroductingandcomparedingtheadvantagesanddisadvantagesofthreekindsoftheFIRfilterdesignmethod,andrespectivelydesignfilterusingthewindowfunctionmethod,thefrequencysamplingmethodandwaveapproximationmethod.Especiallyindigitalsignalprocessing,MatlabiswidlyusedwhichcandesignrequirementsItisIntuitiveandsimplesothatgreatlyreducetheworkload.ThisarticleisdesignedbyMatlabfunctionandsimulatedbyMatlabsoftwaretomakethetediousstepinthecalculationsimplify.Italsodrawedtheamplitude-frequencycharacteristiccurverelatly.Finally,theoriginalsignalandfilteredsignalarecontrastedandanalied.
KeyWords:
FIRdigitalfilters，Windowfunction，Frequencysampling，Equirippleapproximationmethod，Matlab
1 引言1
2 FIR数字滤波器线性相位条件2
2.1FIR数字滤波器概述2
2.2FIR数字滤波器线性相位定义3
2.3FIR数字滤波器线性相位时域约束条件3
3 FIR数字滤波器设计方法5
3.1FIR数字滤波器的窗函数设计法5
3.1.1窗函数设计法的设计思路5
3.1.2吉布斯效应7
3.1.3常见窗函数介绍7
3.2FIR数字滤波器的频率采样设计法10
3.2.1频率采样法的基本思路10
3.2.2频率采样法的设计步骤11
3.3FIR数字滤波器的等波纹逼近设计法13
3.4不同设计方法的比较16
4基于Matlab的FIR数字滤波器设计17
4.1Matlab简介17
4.2窗函数法的Matlab实现18
4.2.1fir1函数介绍18
4.2.2基于fir1函数的窗函数法FIR滤波器设计18
4.3频率采样法的Matlab实现21
4.4等波纹逼近法的Matlab实现22
5结论24
致谢25
参考文献26
1 引言
随着信息科学和计算机技术的不断发展，数字信号处理（DSP，DigitalSignalProcessing）的理论和技术也得到了飞速的发展，并逐渐成为一门重要的学科，它的重要性在日常通信、图像处理、遥感、声纳、生物医学、地震、消费电子、国防军事、医疗方面等显得尤为突出。
在我们面临的信息革命中，数字信号处理几乎涉及了所有的工程技术领域[1]。
数字信号处理是一种将信号以数字形式进行处理的一种理论和技术，它的目的是将真实世界中的一些信号进行分析并滤波，最后得出其中的有用的信号。
数字滤波器是数字信号处理的一种，一般根据单位脉冲响应h（n）分为无限脉冲响应（IIR）和有限脉冲响应（FIR）系统。
IIR数字滤波器的设计方法简单，特别是采用双线性变换法来设计的数字滤波器不存在频域混叠的现象，但是IIR滤波器存在一个较为明显的缺憾，就是它的相位响应一般都是非线性的，而在传输频带内的相位响应如果不是线性的，就会造成有用信号的传输失真，而FIR数字滤波器不仅可以设计成任意的幅度响应，而且可以设计成在通频带内具有良好的线性相位响应。
FIR数字滤波器的单位脉冲响应h（n）有限长，所以FIR数字滤波器是稳定的，不存在稳定性的问题，且可以通过快速傅里叶变换（FFT）的算法来实现信号滤波，大大的提高的运算效率。
因此，FIR数字滤波器日益引起了人们的关注。
FIR数字滤波器的设计方法有很多，比较常用的有窗函数设计法、频率采样设计法、等波纹逼近法等。
本课题通过运用窗函数设计法、频率采样设计法和等波纹逼近法来设计FIR数字低通滤波器，并实现对给定的信号进行滤波比较。
其中窗函数设计法是最基本的数字滤波方法，是利用傅里叶反变换（IDTFT）计算给定的频响的理想单位脉冲响应，再加以窗函数进行截断和平滑。
等波纹逼近法又称切比雪夫逼近法，是一种最小化最大误差的频域逼近方法[2]。
Matlab软件的信号处理工具箱提供了FIR数字滤波器设计的子函数，运用Matlab软件设计可以避免繁杂的数学运算，而且具有丰富的绘图功能，可以方便地查看所设计的数字滤波器的幅度响应和相位响应是否满足设计要求。
因此，本课题在理论分析各种FIR数字滤波器设计方法的基础上，运用Matlab软件进行仿真分析。
2 FIR数字滤波器线性相位条件
2.1FIR数字滤波器概述
一般来说一个经典的数字滤波器是一个线性时不变系统，其数学模型可以用Z域系统函数来表示：
（2-1）
其中均为滤波器参数。
在（2-1）中，当值不全为零值时，Z域系统函数的必定含有一个或一个以上的极值点，此时单位脉冲响应为无限长，对于一个稳定的数字滤波器来说，Z域系统函数必须在单位圆内，因而把含有极值点的Z域系统函数的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器（InfiniteImpulseResponse），即IIR数字滤波器。
而当值全为零时，Z域的系统函数只有一个零点，（2-1）表示的系统函数可以写成：
（2-2）
公式（2-2）表明，FIR滤波器的系统函数是的阶多项式，在有限平面上有个零点，而在平面原点处有阶极点。
（2-2）式表示的系统，其单位脉冲响应可以表示为：
（2-3）
在（2-3）中，只有当，才有非零值，所以数字滤波器的脉冲响应是有限长的，因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应数字滤波器（FiniteImpuleseResponse），即FIR数字滤波器。
FIR数字滤波器最突出的两个优点是：
（1）只要对附加一定的条件，就很容易获得严格的线性相位。
（2）由于的极点位于原点处，所以FIR数字滤波器不存在稳定性问题。
2.2FIR数字滤波器线性相位定义
设FIR数字滤波器脉冲响应的长度为N，则其频率响应可以表示为：
（2-4）
上式通过欧拉恒等式展开可得到的相位特性，有两种线性相位特性，通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。
第一类线性相位特性：
是一个与无关的常数
第二类线性相位特性：
是起始相位
严格地说第二种情况时的是不具有线性相位特性的，但上述两种情况都满足群延迟是一个常数，仍可以视为具有线性相位的，在第二类线性相位中是常用的一种情况。
2.3FIR数字滤波器线性相位时域约束条件
对于第一类线性相位，即，通过一系列的运算整理之后可得到一个三角函数求和公式：
（2-5）
式中正弦函数为奇对称，当时，对称中心为，需要满足关于偶对称，即要求：
，（2-6）
对于第二类线性相位，即时，通过运算得到公式：
（2-7）
函数为偶对称，当时，对称中心也为。
若要使上式成立，则要使关于奇对称，即要求：
，（2-8）
从上述分析看来，线性相位FIR数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时对的约束条件，对于第一类线性相位，冲激响应h（n）满足（2-6）式；对于第二类线性相位，冲激响应h（n）满足（2-8）式[3-5]。
3 FIR数字滤波器设计方法
FIR数字滤波器的设计方法主要有窗函数设计法、频率采样设计法以及等波纹逼近设计法三种，其中窗函数设计法是最常用的，其次是频率采样法，但这两种方法在设计中还会存在一些不足之处，所以需要优化的设计方法，而等波纹逼近法很好的弥补了窗函数法和频率采样法的不足[6-7]。
3.1FIR数字滤波器的窗函数设计法
3.1.1窗函数设计法的设计思路
窗函数设计法是FIR数字滤波器里最简单的一种设计法，又叫傅里叶级数法，为了设计简单方便，通常选择所希望逼近的滤波器的频率响应函数为具有片段常数特性的理想滤波器，寻找一组，确定其频率响应，然后用来逼近[1]。
窗函数法设计FIR滤波器是在时域中进行的，那么可以通过傅里叶反变换得到得到频率响应，即：
（3-1）
在实际中，一般是处于逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，因而单位脉冲响应是无限长的非因果序列，不能直接作为FIR数字滤波器的单位脉冲响应，因此需要对进行阶段，转换为有限长的一段因果序列，也就是用一个有限长度的窗函数序列来截取，即，并将非因果序列转变为一个因果序列。
截取的长度和加权窗函数的形状都直接影响到逼近精度。
窗函数法设计FIR滤波器过程如图3-1所示：
图3-1窗函数法设计FIR滤波器流程
以截止频率为，相位为零的理想低通滤波器为例，其频率特性为：
（3-2）
通过傅里叶反变换得到对应的为：
（3-3）
此时的是一个无限长的非因果序列，我们需要对其进行截断，变成一个有限长的因果序列。
可以先把向右平移个点，得到为：
（3-4）
相应的传输函数为：
（3-5）
然后对截取从0到的N个点，N为窗函数的长度，所得的结果表示为：
（3-6）
表示窗函数，一般用下标来表示窗函数的类型，矩形窗记为。
3.1.2吉布斯效应
用窗函数对进行直接截断，得到有限长序列，并以代替，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯（Gibbs）效应。
对于一个在有限区间分布的信号，其连续频谱在频域上分布往往是无限的，而在实际信号处理时，我们通常只能在有限的区间内做傅里叶分析，也就是说，我们只能用有限区间来代替理论分析中的无限区间，多数情况下，我们总是选择信号的低频部分，而舍弃高频部分。
而信号的高频部分往往是反应信号快速变化特征，如果信号本身是连续的，这样做一般不会引起信号的显著变化，但实际中的信号往往是比较丰富的，特别是信号本身存在剧烈变化的，这样做必定会引起一些误差。
该误差引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动[8]。
为了减小吉布斯效应带来的影响，需要调整窗口的长度来控制过渡带的宽度，但要减小带内的波动以及增大阻带衰减，还需要从窗函数的形状上寻找解决方法。
为了减少序列因截断而产生的Gibbs效应，窗函数在设计时需要注意：
（1）频率特性的主瓣要尽可能的窄，并且尽量把能量都集在主瓣内。
（2）窗函数频率特性的旁瓣趋于的过程中，其能量迅速减小为零。
3.1.3常见窗函数介绍
常见的窗函数有矩形窗（RectangleWindow）、三角形窗（BartlerrWindow）、汉宁（Hanning）窗——升余弦窗、哈明（Hamming）窗——改进的升余弦窗、布莱克曼（Blackman）窗、凯塞—贝塞尔窗（Kaiser-BaselWindow）。
矩形窗的窗函数为：
（3-7）
其频谱的幅度函数为
（3-8）
矩形窗的主瓣宽度为，用矩形窗设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度近似为。
三角形窗的窗函数为：
（3-9）
其频谱的幅度函数为
（3-10）
三角窗的主瓣宽度为。
汉宁窗窗函数为
（3-11）
汉宁窗的频谱的幅度函数为
（3-12）
汉宁窗的主瓣宽度为，汉宁窗在其两个端点都为零，实际中这两个端点的数据是不可用的。
哈明窗的窗函数为
（3-13）
其幅度函数为
（3-14）
哈明窗是一种改进的余弦窗，能量更加集中在主瓣，是一种高效的窗函数，主瓣宽度与汉宁窗的相同。
布莱克曼窗窗函数为
（3-15）
其频谱的幅度函数为
（3-16）
该窗函数位移不同，幅度函数也不同，会使旁瓣进一步抵消，主瓣宽度为。
凯塞窗是一种最优窗函数，不同于前面五种窗函数，凯塞窗是一种参数可调的窗函数，其函数形式如下：
（3-17）
其中
（3-18）
一般取15-25项可以满足精度要求。
参数可以控制窗的形状。
一般越大，主瓣越宽，而旁瓣幅度会随之减小，典型的数据在4到9之间。
各种窗函数的性能比较如表3-1所示：
表3-1不同窗函数性能比较
窗函数类型
旁瓣峰值（dB）
阻带最小衰减（dB）
过渡带宽度（P/N）
矩形窗
13
21
4
三角窗
25
25
8
汉宁窗
31
44
8
续表3-1
哈明窗
41
53
8
布莱克曼窗
57
74
12
凯塞窗
51
60
7.442
虽然窗函数设计法设计思路简单，但是它的边界频率不容易控制，而且窗函数还有吉布斯效应，需要选择不同的窗函数来减小吉布斯效应对结果的影响，但无论哪种窗函数，都无法很好的解决这一问题，所以我们需要通过其他的设计方法来进行滤波，便于满足实际工程中的不同要求。
3.2FIR数字滤波器的频率采样设计法
3.2.1频率采样法的基本思路
窗函数设计法是从时域出发来设计FIR数字滤波器的，而频率采样法是从频域出发设计FIR数字滤波器的。
和窗函数设计法相同，频率采样法也需要预先构造一个希望逼近的滤波器频率响应函数，对其加以等间隔采样后，作为FIR数字滤波器的频率响应。
对在到之间等间隔采样点，得到频率采样值：
（3-19）
再对进行点IDFT，得到：
（3-20）
将作为所涉及的FIR数字滤波器的单位脉冲响应，其系统函数为为
（3-21）
由于滤波器频率响应是理想的，即有间断点，那么其单位冲激响应是无限长的。
这样，由于时域混叠，引起所设计的h（n）和有偏差。
因此，采样点处与相等，逼近误差为0，而在采样点之间，由有限项的之和形成。
其误差和特性的平滑程度有关，特性愈平滑误差愈小；特性曲线间断点处，误差越大。
误差表现形式为间断点用倾斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，往往不能满足实际工程中的技术要求。
当然，增大N值，可以减小逼近误差，但间断点附近误差仍然最大，且N太大会增加滤波器级数与成本。
提高阻带衰减最有效的方法是在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡。
过渡带采样点个数与阻带最小衰减的关系以及使阻带最小衰减最大化的每个过渡带采样值求解都要用优化算法解决。
其基本思路是将过渡带采样值设为一个自由量，用一种优化算法改变它们，最终使阻带最小衰减最大。
将过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减的经验数据列于表3-2中，我们可以根据给定的阻带最小衰减，选择过渡带采样点的个数m。
表3-2过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减的经验数据
m
1
2
3
44~54dB
65~75dB
85~95dB
3.2.2频率采样法的设计步骤
首先根据阻带最小衰减按照表3-2选择过渡带采样点的个数，再确定过渡带宽度，估算频域采样点数，如果增加个过渡带采样点，则过渡带宽度近似变成。
当确定时，过渡带会随着的增大而变宽。
如果给定的过渡带宽度为，则要求，滤波器的长度必须满足以下公式：
（3-22）
接着，构造一个希望逼近的频率响应函数：
（3-23）
设计标准型片段常数特性的FIR数字滤波器时，一般构造幅度特性函数为相应的理想频响特性，且满足的对称情况。
对（3-23）进行频域采样：
（3-24）
（3-25）
并加入过渡带采样。
过渡带采样值一般为经验值，或者用累试法确定，也可以采用优化算法估算。
对进行点IDFT，得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应：
（3-26）
图3-2频率采样法设计FIR滤波器流程
最后检验设计结果，如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带的采样值，直到满足指标要求为止。
如果滤波器的边界频率未达到指标要求，则需要微调的边界频率。
频率采样法设计FIR滤波器流程如图3-2所示。
频率采样法最大的优点就是直接从频率进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度特性的滤波器。
但是频率采样法在边界频率不容易控制，如果采样点数N增加，对确定边界频率有好处，但同样会增加了滤波器的成本，因此只适合窄带滤波，且这种设计方法理解起来比较困难。
3.3FIR数字滤波器的等波纹逼近设计法
窗函数设计法和频率采样设计法虽然设计方法简单，但都存在滤波器边缘频率不易精确控制缺点，且这两种设计方法设计出来的滤波器的通带和阻带的波动幅度都是相等的，两种设计方法都不能分别控制通带和阻带的波动幅度，而现实工程中往往对二者都有不同的要求，需要分别进行控制。
等波纹逼近法是一种优化设计方法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺陷，是最大误差最小化设计方法，并在整个逼近频段上均匀分布。
设为希望逼近的幅度特性函数，且要求设计线性相位的FIR数字滤波器时，必须满足线性相位约束条件。
用表示实际设计的幅度特性函数，定义加权误差函数为
（3-27）
式中，，被称为误差加权函数，是由设计者定义的，用来控制不同频段的逼近精度。
经过推导可把统一标示为：
式中，是系数不同的余弦组合式，记；是不同的常数，在设计FIR滤波器时存在四种线性相位，当且奇对称时，N为奇数，为1；N为偶数时，为；而当偶对称时，不管N为奇数还是偶数，都取。
图3-3remez算法搜索最佳频率点流程
等波纹逼近的问题就是选择N个系数a（n），使加权误差的最大值最小。
设定误差加权函数、通带波纹峰值δ及N+1个初始频率ωi,i=0,1,2,…N，计算各个频率点上的加权误差函数值，如果这些加权误差函数值小于等于给定的通带波纹峰值δ，则为最佳频率点；如果某个频率点上的加权误差函数值大于给定的通带波纹峰值δ，就用Remez算法更新迭代查找最佳频率点。
找到最佳频率点后，计算系数及。
Remez算法搜索最佳频率点流程如图3-3所示。
借助Remez算法来设计等波纹的FIR数字滤波器的步骤如下：
给出所需的频率响应、误差加权函数和单位脉冲响应的长度N，根据具体情况，进行统一表达式的转换；设定初始频率点和通带波纹值，采用Remez算法计算最佳频率点组，由最佳频率点组计算及系数，根据求出的的表达式再利用傅里叶逆变换求得滤波器的单位脉冲响应。
用等波纹逼近法设计线性相位FIR滤波器的流程如图3-4所示：
图3-4等波纹逼近法设计FIR滤波器流程
利用等波纹逼近法设计FIR滤波器，其误差均匀分布在频带中，可以得优良的滤波特性，它在同样过渡带较窄的情况下，通带最稳定，阻带有最大化的最小衰减。
3.4不同设计方法的比较
窗函数设计法是这三种设计法里操作最简单的，但是窗函数的设计阶数相对其他两种更多，如果降低了设计的阶数，则最后得到的设计结果往往不能达到实际设计的要求和指标，除矩形窗之外，其他窗可以满足一般的设计指标，但在要求精度较高的时候，窗函数设计往往不能很好的达到要求。
频率采样法设计滤波器相对于窗函数，其阶数稍微比窗函数要少，但要通过优化过渡带的采样点取值来控制阻带的波纹幅度，所以并不能很好的满足工程中的要求。
而等波纹逼近法是这三种方法中阶数最少的，且
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