七年级数学下册培优新帮手专题28纵观全局试题新版新人教版.docx

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七年级数学下册培优新帮手专题28纵观全局试题新版新人教版

28　纵观全局——整体思想

阅读与思考

解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。

与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：

1.整体观察

2.整体设元

3.整体代入

4.整体求和

5.整体求积

注：

既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．

例题与求解

【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。

由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是．

（北京市竞赛题）

解题思路：

有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．

注：

有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．

【例2】设是不全相等的任意数，若错误！

未找到引用源。

，则（）

（全国初中数学联赛试题）

A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一个小于零D.至少有一个大于零

解题思路：

由于的任意性，若孤立地考虑，则很难把握的正负性，应该考虑整体求出的值．

【例3】如果a满足等式错误！

未找到引用源。

，试求错误！

未找到引用源。

的值．

（天津市竞赛题）

解题思路：

不能直接求出的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值．

注：

整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．

【例4】已知错误！

未找到引用源。

，代数式错误！

未找到引用源。

，求当错误！

未找到引用源。

时，代数式错误！

未找到引用源。

的值．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：

的值无法求出，将给定的值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值．

【例5】已知实数满足方程组．

求的值．错误！

未找到引用源。

（上海市竞赛题）

解题思路：

将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到错误！

未找到引用源。

．

【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼

解题思路：

解答此题的关键是根据题意得出错误！

未找到引用源。

，这是本题的突破口．

注：

在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式子结构的特点，化繁为简的目的．

能力训练

1．已知密码：

3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是

2．若a，b，c的值满足错误！

未找到引用源。

，则错误！

未找到引用源。

（“城市杯”竞赛试题）

3．角中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算错误！

未找到引用源。

的值时，全班得到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是

4．如果，那么=

（“希望杯”邀请赛试题）

5．已知都是正数，设，，那么与的大小关系是

．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

6．若方程组有解，则

（湖北省武汉市选拔赛试题）

7．若正数满足不等式，则的大小关系是（）

A．B．C．D．

8．若，则的值是（）

A．B．C．D．

9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是（）

A．B．C．D．

10．设，满足等式，则中至少有一个值（）

A．B．C．D．

（全国初中数学联赛试题）

11．

12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．

（江苏省竞赛试题）

13．代数式中，可以分别取+1或-1．

（1）证明代数式的值都是偶数．

（2）求这个代数式所能取到的最大值．

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

14．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和

（1）大于9？

（2）大于10？

若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．

（江苏省竞赛试题）

28纵观全局

——整体思想

例1380000提示：

设a1，a2，a3，…，a999，al000分别为所统计的1000户居民的年收入，又设他们的平均值是A，误输入计算机的数据为a'，由题意得

例2D提示：

x＋y＋z＝[（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2]．

例3原式＝

例4将x＝2，y＝－4代入ax3＋by＋5＝1997中，得

8a－2b＋5＝1997．故4a－b＝996．

当x＝－4，y＝－时，3ax－24by3＋4986＝3a·（－4）－24b·（－）3＋4986

＝－12a＋3b＋4986＝－3（4a－b）＋4986＝－3×996＋4986＝1998．

例5②－①得b－a＝20;④－③得d－c＝80；⑥－⑤得f－e＝320．

故，f－e＋d－c＋b－a＝320＋80＋20＝420．

例6设满足已知条件填好的数依次为a1，a2，…，a10，则

a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤M，

a2＋a3＋a4＋a5＋a6≤M，

…

a10＋a1＋a2＋a3＋a4≤M．

所以5（a1＋a2＋…＋a10）≤10M，

即≤10M，解得M≥27．5．

而M为整数，故M的最小值为28．将1，2，…，10分成如下的两组10，7，6，3，2，9，8，5，4，1．依次填入图中，

【能力训练】

1．3·571428＝4·428571

2．－10提示：

由题意有，

即．则9a＋2b＋7c＝2（3a－2b＋c）＋3

（a＋2b－3c）＝2×4＋3×（－6）＝－10．

3．23.5°

4．18x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝x2（x2＋2x）＋5x（x2＋2x）－2（x2＋2x）－9x＋15＝

3x2＋15x－6－9x＋15＝3（x2＋2x）＋9＝3×3＋9＝18．

5．＞提示：

设x＝a1＋a2＋…＋a1990，y＝a2＋a3＋…＋a1990，求M－N．

6．－1提示：

将3个方程组相加得（a＋b＋1）（x2＋x＋l）＝0，

而x2＋x＋1＝＞0，故a＋b＋1＝0．

7．B8．B9．A10．A

11．

（1）原式＝＝＝

（由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c）＝－1＋（－1）＋（－1）＋3＝0

（2）由得，即．同理，．

三式相加得2（）＝48，故＝24．则＝．

12．设前、后两个二位数分别为m，n，则根据题意有：

10m＋mn＝100m＋n，

m＝，由m＞0，n＞0，得n－90＞0，又n是两位数，且个位数字为5，因此n＝95，从而知m＝19，故所求四位数为1995．

13．

（1）略．

（2）在rvz，－rwy，－suz，swx，tuy，－tvx这六项相乘得，－＝－1，所以这六项中，至少有一项是－1，这样六项之和之多是5－1＝4．在u，x，y为－1，其他字母为1时，原式的最大值为4．

14．

（1）能．

（2）不能．提示：

设所填的6个数顺序为a，b，c，d，e，f，它们任意相邻三数和大于10，即a＋b＋c≥11，b＋c＋d≥11，c＋d＋e≥11，d＋e＋f≥11，e＋f＋a≥11，f＋a＋b≥11，则3（a＋b＋c＋d＋e＋f）≥66，故a＋b＋c＋d＋e＋f≥．而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，所以不能使每三个相邻的数之和都大于10．