八年级下册数学平行四边形.docx

八年级下册数学平行四边形.docx

《八年级下册数学平行四边形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级下册数学平行四边形.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

八年级下册数学平行四边形

第8讲平行四边形

知识导航

1．平行四边形的性质有：

对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等

2．平行四边形的判定方法有五种.

【板块一】平行四边形中边的关系运用

◆方法技巧◆

判定平行四边形时，应根据具体情况，选择五种判定中最趋近条件的一种方法.

题型一平行四边形的判定

【例1】点D，E分别是等边△ABC的边AB，BC上一点，且BD＝CE。

以AE为边作等边△AEF，求证：

四边形ECDF为平行四边形.

【例2]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，以AD，AC为边作口ACED，延长DC交EB于点F，求证：

BF＝EF.

针对练习1

1．如图，在口ABCD中，AB＝6，点E是BC边中点，点F为CD边上一点，DF＝4．8，∠DFA＝2∠BAE，则AF的长为（）

A．4．8B．6C．7．2D．10．8

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交CD于点K，交BC于点E，点F是BE上一点且BF＝CK，求证：

FK∥AB．

3．如图，点F是口ABCD内一点，且ED⊥CD，EB⊥CB，∠AED＝135°．

（1）求证：

∠ADE＝∠ABE；

（2）求∠EAB的度数；

（3）求证:

EB＝BC；

（4）探究：

AB－DE与AE的数量关系．

【模块二】平行四边形中的面积转换

◇方法技巧◇

两平行线间的距离相等，同底（或等底）且同高（或等高）的三角形的面积相等．

题型三平行线转换面积

【例1】如图，四边形ABCD，ADFE均为平行四边形，边AE，DC相交于点P，边BC，EF在同一条直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则△ACP的面积与△PEF的面积之差的变化情况是（）

A．先变小再变大B．先变大再变小

C．一直变小D．一直不变

【例2】

（1）如图1，在口ABCD中，点E边AB上一点，点F在BC上，则S△ECDS△FAD；（填>、<或＝）

（2）如图2，在口ABCD中，点O为BD中点，直线FE过O点分别交AD，BC于E，F两点，

则S四边形ABOE____S四边形CDOF；（填>、<或＝）

（3）如图3，点E为口ABCD中任意一点，若S四边形ABCD＝6，则S△ABE＋S△DEC的值是．

图1图2图3

【例3】如图，在口ABCD中，点E为AD上一点，点F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于点G，求证：

GC平分∠BGD．

针对练习2

1．如图，在口ABCD中，对角线BD⊥AB，点G为BD延长线上一点，且△CBG为等边三角形，∠BCD，∠ABD的角平分线相交于点E，连接CE，交BD于点F，连接GE．

（1）若CG＝8，求口ABCD的面积；

（2）求证：

CE＝BE＋GE．

2．如图，在四边形ABCD中，请过点A作一直线，将这个四边形ABCD的面积平分，并说明理由．

3．在△ABC中，AB＝AC，点P是直线BC上一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F．

（1）如图1，求证：

PD＋PE＝BF；

（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，探究PD，PE，BF之间的数量关系．

图1图2

【板块三】平行四边形中特殊角度，特定关系角的转换

◇方法技巧◇

平行四边形中45°角可用来构造等腰直角三角形，其中三边比有1：

1：

关系；60°的角可用来构造等边三角形．

题型四平行四边形中45°角（或等腰直角三角形）的运用

【例1】如图，在△ABC和△DAF中，AC＝BC，AD＝AF，∠ACB＝∠DAF＝90°，点D，A，C在一条直线上，过点D作DE⊥DF，且DE＝

AC，连接CF，BE，EF．

（1）判断四边形ADEB的形状，并予以证明；

（2）求

的值．

题型五平行四边形中60°角（或等边三角形）的运用

【例2】分别以口ABCD的边BC，CD为边作等边△BCE和等边△CDF，求证：

△AFE为等边三角形．

【例3】在口ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分线交BC边于点E，交DC延长线于点F，过F作FG∥BC，且使FG＝CE，连接DB，DG，求∠BDG的度数．

针对练习3

1．如图，在口ABCD中，AD＝2CD，点F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论：

①∠DCF＝∠BCF；②EF＝CF；③∠DFE＝3∠AEF；④S△BEC<2S△CEF．其中结论一定成立的是____．（请填序号）

2．如图，在口ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为DE的中点，且∠BAE＝∠DEC，∠B＝60°．

（1）判断△AEF的形状并说明理由；

（2）若AB＝2，求DE的长．

3．如图，在口ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝AE，连接BE，交AC于点H，过点A作AF⊥BC于点F，交BE于点G．

（1）若∠D＝50°，求∠EBC的度数；

（2）若AC⊥CD，过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：

AH＝MC．

4．在口ABCD中，点E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：

EG＝AG＋BG；

（2）如图2，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，探究EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论．

图1图2

【板块四】平行图边形中勾股定理的运用

◇方法技巧◇

平行四边形中有直角三角形，可综合“对边相等，对角线互相平分”，利用勾股定理探究边的关系或求边长．

题型六平方关系线段运用勾股定理探求

【例1】已知ABCD为平行四边形，∠ABC和∠DCB的角平分线分别交AD于点H和点G，且它们交于O点，若AB＝5，AD＝6，求OG2＋OH2的值．

【例2】

（1）如图1，已知AB＝

，BC＝5，∠ABC<90°，口ABCD的面积为15．

①求AC，BD的长；

②探究AC2＋BD2和AB2＋BC2之间有什么数量关系；

（2）如图2，如果把

（1）中的关系推广到任意口ABCD中去，并证明你的推广．

图1图2

针对练习4

1．如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，0B＝8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，点D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E．

（1）求证：

四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

图1图2

2．如图1，在口ABCD中，AB＝a，BC＝b．

（1）若∠BCD＝120°，则对角线BD的长是．（用含a,b的式子表示）；

（2）求证：

AC2＋BD2＝2a2＋2b2；

（3）如图2，在

（1）的条件下，若四边形BCEF也是平行四边形，连接AF并延长交BE于点P，恰有∠APB＝120°，设BE＝m，AF＝n，若a＝3，b＝2，求m，n之间的数量关系式．

图1图2

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，点E，F分别在边BC，CD上，且BF＝DF＝AD，AF与DE交于点G．

（1）求证：

AB＝BF；

（2）当AB＝5

，AD＝2

，求DG的长．

【板块五】平行四边形中的多解问题

◇方法技巧◇

平行四边形的高可以在四边形内部，也可以在外部，从而产生多解．

题型七高在平行四边形内部或外部产生的多解问题

【例1】口ABCD的周长为52，过D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，DF＝8，求BE＋BF的长．

题型八重叠方式不同产生多解

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB边上一点，点E是BC的中点，将△CDF沿DE翻折，得到△FDE，使△FDE与△BDE重叠部分的面积是△BDC的面积的

，若AB＝4，AC＝2，求BD的长．

图1图2

针对练习5

1．在面积为6

的口ABCD中，过A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，若AB＝3

，BC＝2

，则CE＋CF的长为（）

A．10＋5

B．2＋

C．10＋5

或2＋

D．10＋5

或5

－10

2．在面积为15的口ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，求CE＋CF的长．

3．口ABCD周长为44，过A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AE＝5，AF＝6，则CE＋CF的长为．

【板块六】平行四边形中的动点与最值

◇方法技巧◇

平行四边形中匀速运动的点，可以设运动时间为t，然后用t表示各个变量求解；线段的最值常用两边之和大于第三边或垂线段最短求解．

题型九平行四边形中的动点问题

【例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止，同时点Q从点C向点B以2cm／s的速度运动，到点B即停止，直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发几秒时所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？

题型十平行四边形中的最值问题

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，点M为EF的中点，则线段AM的最小值为．

针对练习6

1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BCA＝30°，AC＝20，点D在BC上，以AC为对角线的所有口ADCE中，线段DE的最小值是．

2．如图，矩形ABCD中，点O是BD中点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q．

（1）求证：

四边形PBQD为平行四边形；

（2）若AB=3cm，AD=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问四边形PBQD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

【板块七】构造平行四边形

方法技巧

将线段进行平移，可构造平行四边形，借助构造的平行四边形可以得到相等的边、平行线，从而得到全等三角形．

题型十一构造平行四边形同时构造等腰直角三角形

【例1】已知点A，C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA，BC上的点，直线AE，CD相交于点P．

（1）点D，E分别在线段BA，线段BC上．

①如图1，若∠B=60°，且AD=BE，BD=CE，则∠APD的度数是；

②如图2，若∠B=90°，且AD=BC，BD=CE，求∠APD的度数．

（2）如图3，点D，E分别在线段AB，BC的延长线上，若∠ABC=90°，AD=BC，∠APD=45°，

求证：

BD=CE．

题型十二构造平行四边形同时构造全等三角形

【例2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，若AD=BC=CE=DE

求证：

∠BAC=100°．

针对练习7

1．如图，在□ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G，点G在

点A，E之间，连接CE，CF，EF，有以下四个结论：

①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；

③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．其中结论一定正确的是（）

A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE分别为BC，AC边上的点，且BD=CE，AE=BC

（1）求∠AFE的度数；

（2）求

的值．