四年级上册数学竞赛试题奥数第13讲鸡兔同笼.docx
《四年级上册数学竞赛试题奥数第13讲鸡兔同笼.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级上册数学竞赛试题奥数第13讲鸡兔同笼.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
四年级上册数学竞赛试题奥数第13讲鸡兔同笼
第13讲鸡兔同笼
在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：
鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。
数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。
翻译成现代数学语言为：
今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。
问鸡和兔一共有多少只？
这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。
这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多样，但一般采用假设法。
例1今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。
问鸡和兔一共有多少只？
分析：
依据题意，可以得到以下几种数量：
项目
鸡
兔
合计
头（个）
35
脚（只）
94
几种数量间相互制约，相互依赖，只要再知道四个空格中任意一个数量就可以求出其它几个数量，因此可以得到如下几种方法：
分析1：
如果35只动物全是鸡，那么应该有35×2=70（只）脚，这比已知的94只脚少了24只脚。
如果用一只兔换走一只鸡就增加了4－2=2（只）脚，要现在共多了24只脚，需要换走多少只鸡才能把差数补齐呢？
显然24÷2=12（只），要把12只鸡换成兔子，所以兔子有12只，鸡的只数就是35－12=23（只）。
解答1：
假设全是鸡，那么
兔子的只数：
（94－2×35）÷（4－2）
=（94－70）÷2
=24÷2
=12（只）
鸡的只数：
35－12=23（只）
答：
兔子有12只，鸡有23只。
分析2：
由于鸡脚的只数是头的2倍，可以设想每只鸡有一只脚站立，每只兔子有2只脚站立，那么笼中一共有94÷2=47（只）脚，此时鸡头与鸡脚一一对应，2倍的兔头与兔脚一一对应。
所以兔子的只数是47－35=12（只），鸡的只数就是35－12=23（只）。
解答2：
兔子的只数：
94÷2－35
=47－35
=12（只）
鸡的只数：
35－12=23（只）
答：
兔子有12只，鸡有23只。
分析3：
还可以用方程解答，如果设鸡有X只，那么兔子有（35－X）只，依据题意可以列出方程。
解答3：
设鸡有X只，那么兔子有（35－X）只，则
2X＋4（35－X）=94
140－2X=94
2X=46
X=46÷2
X=23
35－X=35－23=12
答：
兔子有12只，鸡有23只。
说明：
本题中解法一就是通常说的“假设法”；解法二是《孙子算经》中记载的方法，很巧妙、简单；解法三是代数方法，它对于解答小学数学应用题具有一般性。
下面对假设法做一简单总结，假设法就是在不知鸡、兔的只数时，假设已知，在进行对比、调整。
概括起来，鸡兔同笼的基本关系式是：
假设全是鸡时有：
①兔的只数=（实际的脚数－每只鸡的脚数×2）÷（每只兔子的脚数－每只鸡的脚数）
②鸡的只数=鸡兔的总数－兔子的只数
当然，也可以假设全是兔子。
例2一次竞赛的抢答题共有20道题，如果抢答对一道题就加10分，抢答错误要倒扣20分。
李刚在比赛中抢答了9道题，一共加了30分，他抢答对几道题？
分析：
首先注意到李刚共答了9道题，如果全答对，他应该加10×9=90分，比实际多了90－30=60分。
之所以会有这么大的差距是因为把答错的全当成对的了，要注意的是答对与答错一道题之间相差10＋20=30分，因此李刚答错了60÷30=2道题。
解答：
假设李刚答对了9道题，那么他答错了
（10×9－30）÷（10＋20）
=（90－30）÷30
=60÷30
=2（道）
答对了9－2=7（道）
答：
李刚答对了7道题。
说明：
解答本题时要注意答对与答错一道题之间相差的分数不是（20－10），而应该是（20＋10）。
例3有蜘蛛、蝉、蜻蜓共22只，共有腿148条，翅膀22对。
（其中蜘蛛有8条腿；蜻蜓有6条腿，两对翅膀；蝉有6条腿，一对翅膀）。
求蜻蜓有多少只？
分析：
这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题，我们先依据题意，得到以下几种数量：
项目
蜘蛛
蜻蜓
蝉
合计
只数（只）
22
腿（条）
8×只数
6×只数
6×只数
148
翅膀（对）
——
2×只数
1×只数
22
注意到蜻蜓和蝉都是有6条腿，而蜘蛛有8条腿。
所以可以先从腿数入手求出蜘蛛的只数。
假设三种昆虫都是6条腿，那么总腿数是6×22=132（条），与已知的148条腿相差148－132=16（条），这是因为每只蜘蛛少算了8－6=2（条）腿，所以有16÷2=8（只）蜘蛛。
这样蜻蜓和蝉一共有22－8=14（只），一共有22对翅膀。
再从翅膀入手，假设14只昆虫全是蜻蜓，求出蝉有（2×14－22）÷（2－1）=6（只），这样蜻蜓有14－6=8（只）。
解答：
假设三种昆虫都是6条腿，那么
蜘蛛有：
（148－6×22）÷（8－6）
=（148－132）÷2
=16÷2
=8（只）
蜻蜓和蝉一共有22－8=14（只）
假设14只昆虫全是蜻蜓，那么
蝉有：
（2×14－22）÷（2－1）
=（28－22）÷1
=6÷1
=6（只）
蜻蜓有14－6=8（只）
答：
蜘蛛有8只，蜻蜓有8只，蝉有6只。
例4一个旅社共有大小房间60间，每个小房间可以住3人，比大房间少住3人。
现已知大房间一共可以比小房间多住36人。
问这家旅社有大、小房间各几间？
分析1：
由已知，每个大房间可以住3+3=6人。
如果假设全是大房间，那么大房间比小房间多住6×60－3×0=360（人），比已知的差多了360－36=324（人）。
思考如果把一个大房间换成小房间，大房间的人数就减少了6人，而小房间的人数就多了3人，大、小房间人数差减少6＋3=9（人）。
求出换了多少间房就相当于求出了有多少间小房间。
解答1：
假设全是大房间，那么
小房间有（6×60－36）÷（6＋3）
=（360－36）÷9
=324÷9
=36（间）
大房间有60－36=24（间）
答：
大房间有24间，小房间有36间。
分析2：
如果补上小房间少的36人，相当于补上了36÷3=12（间）小房间。
那么此时，大小房间的人数同样多；由于大房间人数是小房间人数的6÷3=2倍，所以小房间的间数是大房间的2倍，所以有大房间（60＋12）÷（1＋2）=24（间），
小房间60－24=36（间）。
解答2：
假设补上36人，那么相当于增加了36÷3=12（间）小房间，那么大房间有（60＋12）÷（1＋2）
=72÷3
=24（间）
小房间有60－24=36（间）
答：
大房间有24间，小房间有36间。
例5学校买来足球、篮球和排球共45个，共花费2820元。
其中足球每个80元，篮球每个60元，排球每个50元；现已知足球个数比排球少3个。
三种球各买了多少个？
分析：
假设排球减少3个，此时三种球一共有45－3=42（个），共花费2820－50×3=2670（元）。
由于足球与排球个数同样多，就可以把足球与排球和起来看作是一种球，这时足球、排球平均每个是（80+50）÷2=65（元）。
此时就将题目转化为典型的鸡兔同笼问题：
两种球共有42个，共花费2670元，其中篮球每个是60元，另一种球每个是65元。
两种球各有多少个？
求出篮球有多少个以后，就可以求出足球和排球有多少个。
解答：
将排球减少3个，那么
有45－3=42（个）球，共花费2820－50×3=2670（元），足球、排球平均每个是（80＋50）÷2=65（元）。
假设全是另一种球，那么
篮球有（65×42－2670）÷（65－60）
=（2730－2670）÷5
=60÷5
=12（个）
这样足球与排球一共有33个，一共花了2820-60×12=2100元。
假设全是排球，那么
足球有（2100－50×33）÷（80－50）
=（2100－1650）÷30
=450÷30
=15（个）
排球有33－15=18（个）
答：
买足球15个，篮球12个，排球18个。
例6师徒二人合作加工赶制一批零件。
师傅每小时加工零件200个，徒弟每小时加工120个，中途师傅由于疲劳先后休息了3小时。
工作完成后，徒弟发现他仍然比师傅少加工了200个零件。
师徒二人共加工了多少个零件？
分析1：
由于师徒二人的工作时间都不知道，所以不妨假设徒弟工作了8小时，那么师傅做了200×（8－3）=1000（个）零件，比徒弟多做了1000－120×8=40（个），这比已知的少了200－40=160（个）。
调整：
徒弟每小时比师傅少做200－120=80（个），所以160÷80=2（时），因此徒弟工作了8＋2=10（时），师徒二人一共做了120×10×2＋200=2600（个）或120×10＋200×（10－3）=2600（个）零件。
解答1：
假设徒弟工作了8小时，那么
200×（8－3）－120×8
=1000－960
=40（个）
从而徒弟工作了
8+（200－40）÷（200－120）
=8+160÷80
=8+2
=10（时）
师徒二人一共加工了
120×10×2＋200
=2400＋200
=2600（个）
答：
师徒二人一共加工了2600个零件。
分析2：
如果让师傅再工作3小时，那么师徒二人就工作了同样的时间。
师傅就比徒弟多做了200×3＋200=800（个）零件，所以徒弟工作了800÷（200－120）=10（时），从而求出共加工了多少个零件。
解答2：
徒弟工作了
（200×3＋200）÷（200－120）
=（600＋200）÷80
=800÷80
=10（时）
师徒二人一共加工了
120×10×2＋200
=2400＋200
=2600（个）
答：
师徒二人一共加工了2600个零件。
阅读材料
WhyStudyMath为什么学习数学
（二）
Computersareabighelp.Theycanmakecalculationsfasterthanamancan.Buttheycan'tdoourmathforus.
计算机是个大帮手。
它比人算的快。
但它不能为我们解数学题。
11.There'ssomethingelseyoushouldn'tforget.
还有些事你不该忘记。
Therearelotsoftimeswhenmoremathwouldhelpyouinyoureverydayaffairs.
你在日常事物中需要更多数学帮助的时候太多了。
AfamousBritishmathematicianpointsoutthatwelivesurroundedbyfigures.
一位著名的英国数学家指出，我们生活在被数学包围的环境里。
Thinkofrailwaytimetables,unemploymentinsurance,taxes,schedulesofworkinghours,speedlimits,calories,automobileandtruckweights,temperatures,rainfall,milespergallon,electrivityandgasmeterreadings,bankinterest,parcelpostandfreightrates,andsoon.
想想火车时刻表、失业保险、税收、工作时间表、速度限制、热量、汽车和卡车的重量、温度、降雨量、每加仑英里数、电表和煤气表读数、银行利息、邮政包裹和货运率等等。
12.Butthere'sonemorereasonwhyyoushouldstudymathnow.
但是，还有一个你现在应学数学的理由。
Youmaybethekindofpersonwhoneedstoknowsomethingaboutadvancedmathtogetthemostoutoflife.
你可能成为那种懂得高等数学解决生活中大多数事情的人。
Somepeoplegoonfromdaytoday,havingagoodtimeandnotcaringmuchaboutanythingelse.
有些人一天天地过下去，过得很愉快，不想其它太多的事情。
Butmanypeoplearen'tcontenttolivethatway.
但许多人不满意这样生活。
They'reinterestedinlife,andotherpeople,andwhatmakesthingshappenthewaytheydo.
他们对生活和其他人都感兴趣，也对事情那样发生的原因是什么感兴趣。
Theywanttoknowwhatmakesitsnow,whatthestarsare,andhowradioworks.
他们想知道为什么下雪，星星是什么，收音机是怎样工作的。
Thesepeoplearecuriousaboutthings.
这些人对事事都有好奇心。
13.Ifyou'rethatkindofperson,youalmosthavetolearnsomethingaboutthemoreadvancedbranchesofmath.
如果你是那种人，你必须时刻学习更高级的数学分支。
Therewillbenootherwaytounderstandthethingsyoubecomecuriousabout.
没有其它的方法能理解你感兴趣的东西。
14.EversincetheUnitedStateswasyoung,schoolchildrenhavehadlearntheirthreeR's.Readin'and'ritin'arecertainlyveryimportant.
美国曾经是个年轻的国家，学龄儿童必须学习三大课程：
读、写和算（术）。
读和写的学习当然是非常重要的。
Butnow,asneverbefore,wemustbesurethatwe'regettingenough'rithmetic.
但是我们现在再不能像以前那样了，一定要学好算术。
练习题
1．有2角一张的人民币和5角一张的人民币共33张，共11元1角。
两种人民币各有多少张？
分析：
这是一道典型的鸡兔同笼问题，可以用假设法解答。
现假设33张人民币全是5角一张的，那么算出与实际的钱数差5×33－111=54（角），从而可以求出2角一张的人民币有54÷（5-2）=18（张），进而求出5角一张的人民币有33－18=15（张）。
解答：
11元1角=111角
假设全是5角一张的人民币，那么
2角一张的人民币有：
（5×33－111）÷（5－2）
=（165－111）÷3
=54÷3
=18（张）
5角一张的人民币有：
33－18=15（张）
答：
2角一张的人民币有18张，5角一张的人民币有15张。
2．在竞赛抢答题组比赛中，李刚和王平各自抢答了10道题，已知抢答的规则是答对一题加20分，答错一题要倒扣16分。
结果两人一共得了256分，其中李刚比王平多得了72分。
两人各答对了几道题？
分析：
首先明确答对与答错一题间相差20＋16=36（分）。
由于李刚比王平多32分，所以他比王平多答对72÷36=2（道）题。
可以先求出两人一共做对多少道题，再利用和差问题求出二人各答对几题。
解答：
假设20道题全答对，那么
二人一共答错：
（20×20－256）÷（20＋16）
=（400－256）÷36
=144÷36
=4（道）
二人一共答对：
20－4=16（道）
李刚比王平多答对：
72÷（20＋16）=2（道）
所以李刚答对：
（16＋2）÷2=9（道）
王平答对：
9－2=7（道）
答：
李刚答对9道题，王平答对7道。
说明：
本题也可以先按和差问题先分别求出李刚和王平各得了多少分，然后再分别按鸡兔同笼问题解答。
3．红英小学组织120名教师和学生参加植树活动。
每个老师植树2棵，每两个学生种一棵树。
他们一共种了90棵树。
老师和学生各有多少人？
分析：
这是一道典型的鸡兔同笼问题，可以用假设法解答。
需要注意的是每个学生相当于种0。
5棵树。
解答：
假设参加植树的全是学生，那么
教师有：
（90－120÷2）÷（2－0。
5）
=（90－60）÷1。
5
=30÷1。
5
=20（人）
学生有：
120－20=100（人）
答：
参加植树的有20名教师和100名学生。
4．一个年级有四个班，一共有181名学生。
其中一班比二班少3人，二班比三班少4人，三班人数与四班人数同样多。
四个班各有多少学生？
分析：
由题中可以看出，有三个班都与二班作比较，所以可以假设四个班的人数都与二班同样多，然后去多补少，求出二班人数，再分别求出另外三个班的人数。
解答：
假设四个班的人数都与二班人数同样多，那么
二班有：
（181＋3－4×2）÷4
=（184－8）÷4
=176÷4
=44（人）
一班有：
44－3=41（人）
三班、四班分别有：
44＋4=48（人）
答：
一班有41人，二班有44人，三、四班各48人。
5．传说九头鸟有9个头和1条尾巴，九尾狐有1个头和9条尾巴。
现在一共有153个头，177条尾巴。
两种动物各有多少只？
分析：
可以利用假设法解答。
考虑到153是9的倍数，所以假设153个头全是九头鸟的，那么应该有153÷9=17（条）尾巴，与已知的177条相差177－17=160（条），用9只九尾狐换一只九头鸟，头数没有变化，尾巴增加9×9－1=80（条），现在有160条尾巴，所以需要换160÷80=2（次），从而算出九尾狐有9×2=18（只），从而九头鸟有（153－18）÷9=15（只）。
解答：
假设153个头全是九头鸟的，那么
九尾狐有：
9×〔（177－153÷9）÷（9×9－1）〕
=9×〔（177－17）÷80〕
=9×2
=18（只）
九头鸟有：
（153－18）÷9
=135÷9
=15（只）
答：
九尾狐有18只，九头鸟有15只。
6．现在有5元一张和20元一张的人民币共520元，其中20元面值的人民币的张数是5元面值的3倍。
两种面值的人民币各有多少张？
分析1：
由于20元面值的人民币的张数是5元面值的3倍，所以每3张20元人民币就有一张5元人民币，把这四张人民币做为一组，面值是20×3＋5=65（元）。
考虑520元里有520÷65=8（个）65元，就相当于有8张5元面值的人民币，因此20元面值的人民币有8×3=24（张）。
解答1：
5元面值的人民币有：
520÷（20×3＋5）
=520÷65
=8（张）
20元面值的人民币有：
8×3=24（张）
答：
5元面值的人民币有8张，20元面值的人民币有24张。
分析2：
还可以从倍数关系应用题角度思考。
一张20元人民币是一张5元人民币面值的20÷5=4倍，又20元面值的人民币的张数是5元面值的3倍，所以20元面值的人民币的总钱数是5元面值人民币的4×3=12倍。
由和倍问题可得5元人民币的总钱数是520÷（1＋12）=40（元），有40÷5=8（张）；20元面值的人民币有8×3=24（张）。
解答2：
20元面值人民币的总钱数是5元人民币总钱数的多少倍：
20÷5×3=12
5元面值的人民币有：
520÷（1＋12）÷5
=520÷13÷5
=40÷5
=8（张）
20元面值的人民币有：
8×3=24（张）
答：
5元面值的人民币有8张，20元面值的人民币有24张。
7．张老师买了6角一支的铅笔和1元2角一支的圆珠笔共花了63元。
其中圆珠笔比铅笔多15支。
两种笔各有多少支？
分析：
由于圆珠笔比铅笔多15支不好算，不妨把这15支减去，这样铅笔与圆珠笔的支数就同样多，此时张老师一共花了63－1.2×15=45（元）。
由于圆珠笔的单价是铅笔的1.2÷0.6=2倍，所以圆珠笔的总价就是铅笔的2倍，因此铅笔花了45÷（1＋2）=15（元），所以铅笔有15÷0.6=25（支），圆珠笔就有25＋15=40（支）。
解答：
张老师买铅笔一共花了
（63－1.2×15）÷（1＋1.2÷0.6）
=（63－18）÷（1＋2）
=45÷3
=15（元）
所以铅笔有：
15÷0.6=25（支）
圆珠笔有：
25＋15=40（支）
答：
张老师买了25支铅笔，40支圆珠笔。
8．学校买来足球、篮球和排球共34个，共花费2430元。
其中足球每个90元，篮球每个70元，排球每个60元；现已知买足球所花的钱数与买排球用的同样多。
三种球各买了多少个？
分析：
从已知“买足球所花的钱数与买排球用的同样多”入手考虑：
买2个足球与买3个排球所花的钱数同样多，因此就可以把这5个球看作一组，算出平均每个球要花（90×2＋60×3）÷（2＋3）=72（元），不妨把这种“球”叫做“新球”，这时每5个球中就有2个足球、3个排球。
从而把题目转化为：
学校买来篮球和新球共34个，共花费2430元。
其中，篮球每个70元，新球每个72元。
两种球各买了多少个？
由鸡兔同笼问题可以解出：
篮球买了9个，新球买了25个。
所以足球买了25÷（2＋3）×2=10（个），排球买了25－10=15（个）。
解答：
把2个足球、3个排球看作一组，求出平均每个球的价钱是：
（90×2＋60×3）÷（2＋3）
=360÷5
=72（元）
假设学校买来的全是篮球，那么
“新球”有：
（2430－70×34）÷（72－70）
=（2430－2380）÷2
=50÷2
=25（只）
篮球有：
34－25=9（只）
足球有：
25÷（2＋3）×2
=25÷5×2
=10（个）
排球有：
25－10=15（个）
答：
买足球10个，篮球9个，排球15个。
9．学校买了3元一支的圆珠笔和7元一支的钢笔共花了222元；如果把圆珠笔和钢笔的个数调换一下，那么就要多花56元。
两种奖品各买了多少个？
分析1：
由已知“如果把两种奖品的个数调换一下，那么就要多花费56元”可知：
在实际购物时圆珠笔比钢笔要买的多，而且每多一支就要少花费7－3=4（元）。
现在一共少花了56元，所以圆珠笔比钢笔多56÷4=14（支）。
如果把这14支圆珠笔单买，那么圆珠笔的支数与钢笔的支数就同样多，此时就花费了222－3×14=180（元）。
所以实际买了钢笔180÷（3＋7）=18（支），圆珠笔买了18＋14=32（支）。
解答1：
实际买钢笔比圆珠笔少：
56÷（7－3）
=56÷4
=14（支）
实际买钢笔的支数是：
（222－3×14）÷（3＋7）
=（222－42）÷10
=180÷10
=18（支）
买圆珠笔的支数是：
18＋14=32（支）
答：
实际买圆珠笔32支，买钢笔18支。
分析2：
依据题意可知如果把两种奖品的个数调换一下，那么就要花费222＋56=278（元）。
把两次花的钱数加起来共计222＋278=500（元），而且两种笔的支数同样多，从而可知两种笔共买了500÷（3+7）=50（支），然后利用假设法就可以将问题轻松解决。
解答2：
两种笔共买了（222＋56＋222）÷（3＋7）
=500÷10
=50（支）
假设买的全是圆珠笔，那么
钢笔有：
（222－3×50）÷（7－3）
=72÷4
=18（支）
圆珠笔有：
50－18=32（支）
答：
实际买圆珠笔32支，买钢笔18支。
10．修一条公路，如果由甲队单独修，需要6天完成；由乙队单独完成，需要12天。
现在由甲队先单独修了一部分以后，再由乙队接着修，一共用了10天完成。
两队各修了几天？
分析：
这是一道较复杂的工程问题，我们可以尝试把它转化成鸡兔同笼问题。
由已知，我们可以把这条公路平均分成24份，那么甲平均每天修其中的4份，乙平均每天修其中的2份。
这样我们把一共修的天数看作是鸡兔头的总数，把甲每天修的看作是每只兔的腿数，乙每天修的看作是每只鸡的腿数。
24份就是“鸡兔”的腿数和。
有假设法可知：
假设全是“鸡”，那么一共有兔（24－2×10）÷（4
升级会员 