高中数学必修二第二章《点直线平面之间的位置关系》章末复习+单元测试整理含答案.docx
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高中数学必修二第二章《点直线平面之间的位置关系》章末复习+单元测试整理含答案
高中数学必修二章末复习+单元测试
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
1．不要随意推广平面几何中的结论
平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．
2．弄清楚空间点、线、面的位置关系
解决这类问题的基本思路有两个：
一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
3．不要忽略异面直线所成的角的范围
求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，
90°]．
两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
4．透彻理解直线与平面的关系
直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）．
5．使用判定定理时不要忽略条件
应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点．
专题1 共点、共线、共面问题
（1）证明共面问题．
证明共面问题，一般有两种证法：
一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．
（2）证明三点共线问题．
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．
（3）证明三线共点问题．
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
[例1] 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）EG与HF的交点在直线AC上．
证明：
（1）因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.
又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.
所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．
（2）因为G，H不是BC，CD的中点，
所以EF∥GH，且EF≠GH.
所以EG与FH必相交，设交点为M.
而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，
所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD.
因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上．
归纳升华
证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化．
[变式训练] 三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：
a，b，c三条直线必相交于同一点．
证明：
如图所示，因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.
因为直线a和b不平行，所以a，b必相交．
设α∩b＝P，则P∈a，P∈b.
因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，所以P∈c.
所以a，b，c三条直线必相交于同一点．
专题2 空间中的位置关系
（1）空间中两直线的位置关系：
相交、平行、异面．
（2）空间中直线与平面的位置关系：
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．
（3）两个平面的位置关系：
平行、相交．
[例2] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：
若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．
答案：
B
若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个结论，则需要进行严密的逻辑推理．
[变式训练] 下列命题正确的有（ ）
①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：
由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，③不正确．④正确．故选B.
答案：
B
专题3 平行问题和垂直问题
线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点，它包含了相关平行与垂直的证明，利用平行与垂直解决线、面等问题．其判定与性质之间并非孤立的，而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相互转化．在高考中，常以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重．
[例3] 如图所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
证明：
（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由
（1），知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
归纳升华
1．平行关系的转化．
面面平行的性质是线线平行的判定
要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向．
2．垂直关系的转化．
面面垂直的性质是线线垂直的判定
在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．
[变式训练] （2015·江苏卷）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1.
证明：
（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.
（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1.
又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.
因为AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.
又AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
专题4 空间角的求解
空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．
[例4] 如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
（1）AO与A′C′所成角的度数；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数．
解：
（1）因为A′C′∥AC，
所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，
所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.
所以OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，
所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.
（2）如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，
因为平面BC′⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD，
∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝＝，
所以tan∠OAE＝＝.
（3）因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB.
又因为OC⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
归纳升华
求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：
①找出这个角；②说明该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角．
[变式训练] 如图所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小．
解：
作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB.
则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则，GB＝a，GH＝a，
sin∠GBH＝＝.
所以∠GBH＝45°，即二面角αEFβ的大小为45°.
专题5 转化与化归思想在立体几何中的应用
立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．
（1）线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面面平行
线面平行
线线平行，面面垂直
线面垂直
线线垂直等，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的．
（2）通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题．
（3）通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题．
[例5] 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？
若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
解：
当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.
证明如下：
如图，连接BD和AC交于点O，连接FO，那么PF＝PB.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是BD的中点，所以OF∥PD.
又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD.
又AM綊PB，所以PF綊MA.
所以四边形AFPM是平行四边形，
所以AF∥PM.
又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，所以AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，
所以平面AFC∥平面PMD.
归纳升华
证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．
[变式训练] 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.
（1）求证：
PA∥平面EDB；
（2）求证：
PB⊥平面EFD.
证明：
（1）连接AC，交BD于点O，连接EO.
因为底面ABCD是正方形，
所以O是AC的中点，
所以在△PAC中，EO是中位线，
所以PA∥EO.
又因为EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
（2）因为PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，
所以PD⊥DC.
因为PD＝DC，所以△PDC是等腰直角三角形．
又因为DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC.
因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.
因为底面ABCD是正方形，所以DC⊥BC，
所以BC⊥平面PDC.
又因为DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.
所以DE⊥平面PBC.
又因为PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB.
又因为EF⊥PB，且DE∩EF＝E，
所以PB⊥平面EFD.
单元测试题
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ）
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C．过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得（ ）
A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α
3．下列推理错误的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∈/α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（ ）
A．α，β都与平面γ垂直
B．α内不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
6．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α内的射影不可能是（ ）
A．两条平行直线B．两条互相垂直的直线
C．同一条直线D．一条直线及其外一点
7．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．相交成60°
8．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90°B．45°
C．60°D．30°
9．如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有（ ）
A．0条B．1条
C．2条D．3条
10．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：
①平面MB1P⊥ND1；
②平面MB1P⊥平面ND1A1；
③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是（ ）
A．①B．①③
C．②③D．②④
12．若P为△ABC所在平面外一点，分别连接PA，PB，PC，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．下列命题，正确的个数是________．
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
14．在三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．
15.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，则平面A1DE与平面BGF的位置关系是________（填“平行”或“相交”）．
16．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证：
（1）DE∥平面BCP；
（2）四边形DEFG为矩形．
18．（本小题满分12分）如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底面四边形ABCD对角线的交点，求证：
（1）C1O∥平面AB1D1；
（2）A1C⊥平面AB1D1.
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：
PC⊥平面BEF.
20．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．
（1）求证：
EF∥平面AA1B1B；
（2）若AA1＝3，AB＝2，求EF与平面ABC所成的角．
.
21．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．
（1）求证：
PC⊥AD.
（2）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？
若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
（1）证明：
平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ）
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C．过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
解析：
过点P平行于α的平面内任一直线都与平面α平行．
答案：
D
2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得（ ）
A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α
解析：
已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.
答案：
B
3．下列推理错误的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∈/α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
解析：
若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.
答案：
C
4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（ ）
A．α，β都与平面γ垂直
B．α内不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
解析：
对于D，设过l和α内的一点的平面与平面α的交线为l′，因为l∥α，所以l′∥l.又因为l∥β，l′⊄β，所以l′∥β.设过m和α内的一点的平面与α的交线为m′，同理可证m′∥β.因为m与l是异面直线，所以m′与l′相交，所以α∥β.
答案：
D
5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：
若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；
若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；
若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；
若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误．
答案：
B
6．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α内的射影不可能是（ ）
A．两条平行直线B．两条互相垂直的直线
C．同一条直线D．一条直线及其外一点
解析：
易知A，D正确，C不正确，对于B，如图所示，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，α，β，γ两两垂直，a，b与l均不垂直，且a，b也不相互垂直，但它们在γ内的射影是相互垂直的．
答案：
C
7．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．相交成60°
解析：
如图所示，△ABC为正三角形，故AB，CD相交成60°.
答案：
D
8．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90°B．45°
C．60°D．30°
解析：
取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，
可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，
从而可得∠EFH＝30°.
答案：
D
9．如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有（ ）
A．0条B．1条
C．2条D．3条
解析：
显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．
答案：
C
10．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
如图所示，延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角．连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°.
答案：
C
11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：
①平面MB1P⊥ND1；
②平面MB1P⊥平面ND1A1；
③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是（ ）
A．①B．①③
C．②③D．②④
解析：
在①中，可用极限位置判断，当P与N重合时，平面MB1P⊥ND1垂直不成立，故线面不可能垂直，此命题是错误命题；
在②中，平面MB1P⊥平面ND1A1；可以证明MB1⊥平面ND1A1，
由图形知MB1与ND1和D1A1都垂直，故可证得MB1⊥平面ND1A1，
进而可得平面MB1P⊥平面ND1A1，故是正确命题；
在③中，△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，
可以看到MB1在底面上的投影是MB，再由点P在底面上的投影P′在DC上，
故由P′到MB的距离不变即可证得，故命题
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