圆锥曲线必背法.docx
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圆锥曲线必背法
圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-椭圆
一、椭圆定义
椭圆三定义，简称和比积7
1、定义1:
（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.
定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a）
2、定义2:
（比）到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做
椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率•（定值二e）
3、定义3:
（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.
定点为短轴顶点，定值为负值.（定值ke21）
二、椭圆的性质定理
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距，a方、b方除以c②
通径等于2ep，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角正切连乘b④
注解：
1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理
长轴2a，短轴2b，焦距2c，贝y：
a2b2c2
2、|准线方程准焦距，a方、b方除以C
2
准线方程：
x—（a方除以c）
C
b2
准焦距p:
焦点到准线的距离：
P—（b方除以c）
c
3、通径等于2ep,切线方程用代替
椭圆的通径d:
过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
离称为椭圆的通径.（通径d
2ep
2Cb2
2b2
a
过椭圆上（Xo,y°）点的切线方程，用（X。
，y°）等效代替椭圆方程得到.
等效代替后的是切线方程是：
xoxy°y1
ab2
4、焦三角形计面积，半角正切连乘b
焦三角形：
以椭圆的两个焦点Fi，F2为顶点，另一个顶点P在椭圆
上的三角形称为焦三角形.半角是指
FH的一半.
则焦三角形的面积为：
Sbtan^
证明I：
设|PFjm,|PF2
n，则mn
2a
由余弦定理:
m2n22mncos
4c2
即：
2mncos2mn
4b2,
2t?
即：
mn|PF1||PF2|
1
cos
c1
1
故：
Sa卩丹2^mnsin
2
即：
2b2
4b2
4a24b2（mn）2
2b2
（1
sin
cos）mn.
1cos
b2
1cos
tan一
2
sin
又:
1cos
2sin—cos—
所以：
椭圆的焦点三角形的面积为Sf!
PF2三、椭圆的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：
切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
22
若Po（x°,y°）在椭圆务告1外，则过Po作椭圆的两条切线，切点为
ab
冃巴，则点Po和切点弦冃巴分别称为椭圆的极点和极线.
切点弦PiP2的直线方程即极线方程是X02Xy02y1（称为极线定理）ab
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即
OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积,
a2
等于准线距离Xc去除
b2
a2
c
b2..P
准焦距Pb，其结果是：
kABkOM
CXc
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦AB的方程：
在椭圆中，若弦AB的中点为M（x0,y0），弦AB称
22
XqXy°yXoyo
为中点弦，则中点弦的方程就是2以2以，是直线方程.
abab
弦中点M的轨迹方程：
在椭圆中，过椭圆内点p0（x0,y0）的弦AB,其
22
XoXyoyxy
中点M的方程就是一222人2,仍为椭圆.
abab
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线
一、双曲线定义
双曲线有四定义，差比交线反比例.
1、定义1:
（差）平面内，到两个定点Fi,F2的距离之差的绝对值为定值2a（小于这两个定点间的距离|FiF^）的点的轨迹称为双曲线。
定点Fi,F2叫双曲线的焦点。
即：
|PF!
PF2I2a
2、定义2:
（比）平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e1的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
3、定义3:
（交线）一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
k
4、定义4:
（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函数y的图
X象称为双曲线I。
证明：
反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
x2y2
证明：
因为xyk的对称轴是yx,yx，而2.21的对称轴
ab
是x轴，y轴，所以应该旋转45°.设旋转的角度为（0，顺时针）
（为双曲线渐进线的倾斜角）
贝y有：
Xxcosysin，Yxsinycos
取45o,则：
122
2Xyxy2xy
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
二、双曲线的性质定理
基本同椭圆，有所区别:
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距，a方、b方除以c②
通径等于2ep，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角余切连乘b④注解:
1、长轴短轴与焦距：
形似勾股弦定理
至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.
b2
准焦距p:
焦点到准线的距离：
pc
（b方除以c）
2、准线方程准焦距，a方、b方除以c
3、通径等于2ep，切线方程用代替
双曲线的通径d:
过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间
得到，等效代替后的是切线方程是:
x°x
2
a
y°y
b2
过双曲线上P0（x0,y0）点的切线方程，用P0（x0,y0）等效代替双曲线方程
4、焦三角形计面积，半角余切连乘b
焦三角形：
以双曲线的两个焦点F「F2为顶点，另一个顶点P在椭
2b2
2b2
1cos，即：
PF1
PF2
1cos
即：
mn
2
x
双曲线P
a
2
y
b21的左右焦点分别为F1,F2，点P为双曲线上异于顶
圆上的三角形称为焦三角形.半角是指FfF?
的一半.
那么，焦点三角形的面积为:
同时：
SF1PF2
-F1F2
yp
cyp，故：
yp
cot-
2
2
故：
SF1PF2bcot2
2
双曲线的焦点三角形的面积为：
Sf^Fzbcot2.
三、双曲线的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①切点连线求方程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：
切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角•焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角•
弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两
个焦点弦的角平分线•
角，PT为双曲线的切线.则PT平分F1PF2.
如图，F[PF2是焦点三角形，F[PF2为焦周
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
22
若PoSo）在双曲线令寻1外，以包含焦点的区域为内，不包含
焦点的区域为外，则过P。
作双曲选的两条
切线，切点为P1、P2，贝S点P0和切点弦P1P2
分别称为双曲线的极点和极线，切点弦
P1P2的直线方程即极线方程是X。
；彎
a2b2
（称为极线定理）
1
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指双曲线内的一弦AB.中线指弦AB的
中点M与原点O的连线,
这两条直线的斜率的乘积,
2
a土
Xc去
c
除准焦距
kABkOM
pb2
Xca2
b2
c
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦AB的方程：
在双曲线中，若弦AB的中点为M（x0,y0）,称弦AB
22
为中点弦，则中点弦的方程就是：
驾辔孝卑，它是直线方程.
a2b2a2b2
弦中点M的轨迹方程：
在双曲线中，过双曲线外一点Po（xo，yo）的弦
22
x0Xy0yXy
AB,其AB中点M的方程就是匚厂丐7T,仍为双曲线.
abab
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-抛物线
一、抛物线定义
抛物线，有定义，定点定线等距离
1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.
2、二次函数的图象是|抛物线.
二、抛物线性质
焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②
焦弦切线成直角，切点就是两端点③
端点投影在准线，连结焦点垂直线④
焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥
直角梯形对角线，交点就是本原点⑦
焦弦三角计面积，半个P方除正弦⑧
注解：
1、焦点准线极点线
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线
抛物线方程：
y22px，焦点F（P,0），准线xp卫
2p2
（抛物线的顶点0（0,0）到定点F（号,0）和定直线xp号距离相等）焦弦：
过焦点的直线与抛物线相交于两点A和B，则AB称为焦弦
弦中点M（xM，yM），xM2，yM2
焦弦方程：
yk（
x2，k为斜率.
2、
两臂点乘积不变
焦点三角形两边OA和|OB的点乘积为定值，且夹角是钝角
即：
焦弦两端点的切线互相垂直
证明：
如图，由抛物线方程:
2小
y2px
得到导数：
yy'
p，
即:
y'
故：
kAE
p
kBE
p
y
Yb
于是：
kAE
kBE
p
p
2
p
Ya
Yb
YaYb
p
y
y2
将①式yAyB
即：
aEbE，
P2代入上式得:
kBE
故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形
3、焦弦切线成直角，切点就是两端点
4、端点投影在准线，连结焦点垂直线
即：
焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形
由于M是AB的中点,
AEB为直角三角形，计算可得E是DC的中点,
CFDF^，即：
焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形
即：
焦弦AB|与极焦线|EF|互相垂直.
6、|切线是角平分线-
即:
切线平分焦弦的倾角（或倾角的外角）如图：
因为ADE和AFE都是直角三角形，且由定义知：
|AF||AD|,AE||AE故ADE也AFE，则对应角相等.
即：
AE是DAF的角平分线
由向量法可证
0
D
A
M
F
B
故:
EDEFEC
同理，BE是CBF的角平分线
7、直角梯形对角线，交点就是本原点
即：
直角梯形ABCD对角线相交于原点
证明:
AB
AF
BF
XA
XB
XA
XB
2（xM22EM
故：
S
AOB
OF||ABsin
P2p
2-sin
2sin
2
P
2sin
&焦弦三角计面积，半个P方除正弦
附：
圆锥曲线必背----极坐标
一、极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距p和离心率e来表示常量，以极径和极角
来表示变量.
0,[0,360°）
以焦点F（0,）为极点（原点O），以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线
点为极点（原点），而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程
如图，O为极点，L为准线，则依据定义，到定点（极点）和到定直线（准线）的距离之比为定值（定值e）的点的轨迹为圆锥曲线.
所以，对极坐标系，请记住：
⑴极坐标系的极点O是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；
⑵曲线上的点P（,）到焦点F的距离是，到准线的距离是pcos，
根据疋义：
e
pcos
即:
epecos
，即：
ep
ecos
即:
ep
①
1ecos
这就是极坐标下，圆锥曲线的通式
⑶对应不同的e,呈现不同的曲线.对抛物线，开口向右.
二、极轴旋转180°
将极轴旋转180°，和分别对应变换前后的极角，即转角为180°，
则极坐标方程变换前方程为：
ep
1ecos
变换后方程为：
ep②
1ecos
此时的极坐标系下，此时有：
⑴极坐标系的极点O是椭圆的右焦
点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；
⑵对应不同的e，呈现不同的曲线.物线，开口向左.
三、极轴旋转90°
⑴将极轴顺时针旋转90°，即：
90°，则情况如图.
圆锥曲线的方程为：
ep③
1esin
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在y轴
对双曲线，只是右边的一支；
对双曲线，只是左边的一支；对抛
的情况，且极点O对应于椭圆下方的
焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点
对双曲线，只是y轴上边的一支；对抛物线，开口向上
⑵如果将极轴逆时针旋转90。
，即:
90，则情况如图
圆锥曲线的方程为:
—ep③
1esin
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在y轴的情
况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是y轴下边的一支；对抛
物线，开口向下.
四、坐标变换
⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为:
ep①
1ecos
即：
e
cos
ep，
即：
ep
ecos
即：
2
（epe
cos）
2e2p2e2（
cos）
将2
x2
y2，
cos
x代入②式得：
x2
y2
e2p2
22ex
2e2px
即：
（1e
◎x2
2e2px
y2e2p2
③
当e
1时
2
2e2p（cos）②
y2
（空）2]
1e2
2豊x
有:
（1e2）[x2
2
e2P2（1点晋2
即:
（1e2）（x
厶2
晋）2y2e2p2（1
e2
1e2
）e2p2
1e2
即:
e2p2（xp2）2
1e2
e2p2
（1e2）2
丄1
22
ep
e2
⑴当
1时，
a2
e2p2
b2
22
ep
，
1e2
e2p
1
e2
则:
a2
b2
（1e2）2
ep22[1（1
（1e2）2
e2）]
e4p2
（1e2）2
而：
c2
2
（_ep、2
1
e4p2
b2
代入④式得:
（x
c）2
a2
2yb2
这是标准的椭圆方程
⑵当
1时,
令a2
e2p2
（e21）2
b2
e2p2
e2p
e21
则:
a2
b2
e2p2（e2
_e2p2
1）2e21
e2
（e2
（e2
而：
c2
（討2
e21
e4p^_
1）2
（e2
a2
b2
代入④式得：
（x
c）2a2
y2
b2
这是标准的双曲线方程
⑶当
1时，由③式（1
e2）x2
2e2px
y2e2p2得：
2pxy2p2
即:
y2
2pxp22p（x
即:
y2
2p（x自⑦
这是标准的抛物线方程
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