圆锥曲线必背法.docx

1、圆锥曲线必背法圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-椭圆一、 椭圆定义椭圆三定义，简称和比积71、 定义1:（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a）2、 定义2 :（比）到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率（定值二e）3、 定义3:（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.定点为短轴顶点，定值为负值.（定值k e2 1）二、 椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，a方、b方除以c通径等于2 e p，切线方程用代替焦三角形计面积，半角正切连乘b注解：1、 长轴短轴与焦距

2、，形似勾股弦定理长轴 2a，短轴 2b，焦距 2c，贝y： a2 b2 c22、 |准线方程准焦距，a方、b方除以C2准线方程：x （ a方除以c）Cb2准焦距p:焦点到准线的距离：P （ b方除以c）c3、 通径等于2 e p,切线方程用代替椭圆的通径d:过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径d2ep2 C b22b2a过椭圆上（Xo, y）点的切线方程，用（X。，y）等效代替椭圆方程得到.等效代替后的是切线方程是：xox yy 1a b24、焦三角形计面积，半角正切连乘b焦三角形：以椭圆的两个焦点Fi，F2为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角

3、是指FH的一半.则焦三角形的面积为：S b tan证明 I：设 |PFj m , | PF2n，则 m n2a由余弦定理:m2 n2 2mn cos4c2即：2mn cos 2mn4b2 ,2t?即：mn | PF1 | PF2 |1cosc 11故：Sa卩丹2 m n sin2即：2b24b24a2 4b2 (m n)22b2(1sincos )mn .1 cosb21 costan 一2sin又: 1 cos2sin cos 所以：椭圆的焦点三角形的面积为Sf!PF2 三、椭圆的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距细看中点弦方程

4、，恰似弦中点轨迹注解：1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为 焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.2、 切点连线求方程，极线定理须牢记2 2若Po（x,y）在椭圆务 告1外，则过Po作椭圆的两条切线，切点为a b冃巴，则点Po和切点弦冃巴分别称为椭圆的极点和极线.切点弦Pi P2的直线方程即极线方程是X02X y02y 1 （称为极线定理） a b3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与

5、原点O的连线，即OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积,a2等于准线距离Xc 去除b2a2cb2 . . P准焦距P b，其结果是：kAB kOMC Xc4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点为M （x0, y0），弦AB称2 2XqX yy Xo yo为中点弦，则中点弦的方程就是 2 以 2 以，是直线方程.a b a b弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点p0（x0, y0）的弦AB ,其2 2XoX yo y x y中点M的方程就是一2 2 2人2 ,仍为椭圆.a b a b这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了 .圆锥曲线必背口诀（红字为

6、口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义，差比交线反比例.1、 定义1 :（差）平面内，到两个定点Fi,F2的距离之差的绝对值为定 值2a （小于这两个定点间的距离|FiF ）的点的轨迹称为双曲线。定点 Fi,F2叫双曲线的焦点。即：|PF! PF2I 2a2、 定义2:（比）平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e 1 的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准 线。3、 定义3:（交线）一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平 行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。k4、 定义4:（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函数y 的图X 象称为双曲线I。证明

7、：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.x2 y2证明：因为xy k的对称轴是y x , y x，而2 .2 1的对称轴a b是x轴，y轴，所以应该旋转45.设旋转的角度为 （ 0，顺时针）（为双曲线渐进线的倾斜角）贝y 有： X x cos ysin ， Y x sin ycos取 45o ,则：1 2 22 X y x y 2xy由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲 线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别:长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，a方、b方除以c通径等于2 ep，切线方程用代替焦三角形计面积，半角余切连乘

8、b 注解:1、长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.b2准焦距p:焦点到准线的距离：p c（b方除以c）2、准线方程准焦距，a方、b方除以c3、通径等于2 e p，切线方程用代替双曲线的通径d:过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间得到，等效代替后的是切线方程是:xx2ayyb2过双曲线上P0(x0, y0)点的切线方程，用P0(x0 , y0)等效代替双曲线方程4、焦三角形计面积，半角余切连乘b焦三角形：以双曲线的两个焦点FF2为顶点，另一个顶点P在椭2b22b21 cos ，即：PF1PF21 cos即：mn2x双曲线Pa2yb2 1的左右焦点分别为F1

9、,F2，点P为双曲线上异于顶圆上的三角形称为焦三角形.半角是指 FfF?的一半.那么，焦点三角形的面积为:同时：S F1PF2-F1F2ypc yp，故：ypcot-22故：S F1PF2 b cot 22双曲线的焦点三角形的面积为：SfFz bcot2.三、双曲线的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理 切点连线求方程，极线定理须牢记 弦与中线斜率积，准线去除准焦距 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当 弦为

10、焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线角，PT为双曲线的切线.则PT平分F1PF2.如图，FPF2是焦点三角形，FPF2为焦周2、切点连线求方程，极线定理须牢记2 2若PoSo）在双曲线令寻1外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过P。作双曲选的两条切线，切点为P1、P2，贝S点P0和切点弦P1P2分别称为双曲线的极点和极线，切点弦P1P2的直线方程即极线方程是X。；彎a2 b2（称为极线定理）13、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指双曲线内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线,这两条直线的斜率的乘积,2a 土Xc 去c除准焦距kAB kOMp b2Xc

11、a2b2c4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在双曲线中，若弦AB的中点为M （x0, y0）,称弦AB2 2为中点弦，则中点弦的方程就是：驾辔孝卑，它是直线方程.a2 b2 a2 b2弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点Po（xo，yo）的弦2 2x0 X y0 y X yAB ,其AB中点M的方程就是匚厂丐 7T ,仍为双曲线.a b a b这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了 .圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-抛物线一、 抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离1、 到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为 抛物线.2、 二次函数的图象是|抛物线.

12、二、 抛物线性质焦点准线极点线，两臂点乘积不变焦弦切线成直角，切点就是两端点端点投影在准线，连结焦点垂直线焦弦垂直极焦线，切线是角平分线直角梯形对角线，交点就是本原点焦弦三角计面积，半个 P方除正弦注解：1、 焦点准线极点线抛物线的焦点和准线是一对极点和极线抛物线方程：y2 2px，焦点F（P,0），准线xp卫2 p 2（抛物线的顶点0（0,0）到定点F （号,0）和定直线xp 号距离相等） 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点 A和B，则AB称为焦弦弦中点 M（xM，yM）， xM 2 ， yM 2焦弦方程：y k（x 2， k为斜率.2、两臂点乘积不变焦点三角形两边 OA和|OB的点乘积为

13、定值，且夹角是钝角即：焦弦两端点的切线互相垂直证明：如图，由抛物线方程:2 小y 2px得到导数：yyp，即:y故：kAEpkBEpyYb于是：kAEkBEpp2pYaYbYaYbpyy2将式yAyB即：aE bE，P2代入上式得:kBE故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形3、焦弦切线成直角，切点就是两端点4、端点投影在准线，连结焦点垂直线即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形由于M是AB的中点,AEB为直角三角形，计算可得 E是DC的中点,CF DF，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形即：焦弦AB|与极焦线|EF|互相垂直.6、|切线是角平分线-即:切线平分焦弦的

14、倾角（或倾角的外角） 如图：因为 ADE和AFE都是直角三角形， 且由定义知：|AF| |AD| , AE| |AE 故ADE也AFE，则对应角相等.即：AE是DAF的角平分线由向量法可证0DAMFB故: ED EF EC同理，BE是CBF的角平分线7、直角梯形对角线，交点就是本原点即：直角梯形ABCD对角线相交于原点证明:ABAFBFXAXBXAXB2(xM 2 2 EM故：SAOBOF | ABsinP 2p2- sin2 sin2P2 si n&焦弦三角计面积，半个 P方除正弦附：圆锥曲线必背-极坐标一、极坐标通式圆锥曲线的极坐标以准焦距 p和离心率e来表示常量，以极径和极角来表示变量.

15、0, 0,360）以焦点F（0,）为极点（原点O），以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线点为极点（原点），而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程如图，O为极点，L为准线，则依据定义，到定点（极点）和到定直线（准 线）的距离之比为定值（定值e）的点的轨迹为圆锥曲线.所以，对极坐标系，请记住： 极坐标系的极点 O是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点； 曲线上的点P（,）到焦点F的距离是 ，到准线的距离是 p cos ，根据疋义：ep cos即:ep e cos，即：epe cos即:ep1 ecos这就是极坐标下，圆锥曲线的通式对应不同的e,呈现不同的曲线. 对抛物线，开口向右.二、 极轴旋

16、转 180将极轴旋转180， 和分别对应变 换前后的极角，即转角为 180，则极坐标方程变换前方程为：ep1 ecos变换后方程为： ep 1 ecos此时的极坐标系下，此时有：极坐标系的极点 O是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；对应不同的e，呈现不同的曲线. 物线，开口向左.三、 极轴旋转 90将极轴顺时针旋转90，即：90，则情况如图.圆锥曲线的方程为：ep 1 esi n此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在 y轴对双曲线，只是右边的一支 ；对双曲线，只是左边的一支 ；对抛的情况，且极点O对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点对双曲线，只是 y轴上边的一支

17、；对抛物线，开口向上如果将极轴逆时针旋转 90。，即:90，则情况如图圆锥曲线的方程为:ep 1 esi n此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下， 焦点在y轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线 下方的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y轴下边的一支；对抛物线，开口向下.四、坐标变换在极坐标系中，圆锥曲线的通式为:ep 1 ecos即：ecosep，即： epe cos即：2(ep ecos )2 e2p2 e2(cos )将2x2y2，cosx代入式得：x2y2e2p22 2 e x2e2 px即：(1 e x22e2 pxy2 e2p2当e1时22e2 p( cos )y2(空)21 e

18、22豊x有:(1 e2)x22e2P2 (1 点晋2即:(1 e2)(x厶2晋)2 y2 e2p2(1e21 e2)e2p21 e2即:e2 p 2 (x p2)21 e2e2p2(1 e2)2丄12 2e pe2当1时，a2e2p2b22 2e p，1 e2e2p1e2则:a2b2(1 e2)2e p2 21 (1(1 e2)2e2)e4p2(1 e2)2而：c22(_e p 、21e4 p2b2代入式得:(xc)2a22 y b2这是标准的椭圆方程当1时,令a2e2p2(e2 1)2b2e2p2e2pe2 1则:a2b2e2 p2 (e2_ e2 p21)2 e2 1e2(e2(e2而：c2(討2e2 1e4p_1)2(e2a2b2代入式得：(xc)2 a2y2b2这是标准的双曲线方程当1时，由式(1e2)x22e2 pxy2 e2 p2 得： 2 px y2 p2即:y22 px p2 2 p(x即:y22p(x自这是标准的抛物线方程