湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题附答案解析docx.docx
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湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题附答案解析docx
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一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．．
1．若复数a
i的实部与虚部相等，则实数
a
（
）A
2i
（A）1
（B）1
（C）2
（D）2
2.已知f（x
1）
2f（x）
f
（1）1（x
N*），猜想f（x）的表达式为（
）.
f（x）
2
A.
f（x）
4
B.
2
C.
f（x）
1
D.
f（x）
2
2x
2
f（x）
x
1
2x
1
x1
3．等比数列{an}中，a1
0，则“a1
a3”是“a3
a6”的B
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人
承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有B
（A）60种
（B）72种
（C）84种
（D）96种
5.已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x
3，且当x
3时，f（x）
2x
3.若函
数f（x）在区间（k1,k）（kZ）上有零点，则k的值为A
（A）2或7
（B）2或8
（C）1或7
（D）1或8
6．已知函数f（x）
log2x2log2（x
c），其中c0
．若对于任意的x
（0,
），都有
f（x）1，则c的取值围是D
（A）（0,1]
（B）[1
）
（C）（0,1]
（D）[1,）
4
4
8
8
7.已知函数f（x）
ax3
bx2
2（a
0）
有且仅有两个不同的零点
x1，x2，则B
A．当a0时，x1x2
0，x1x2
0
B.当a
0时，x1
x2
0，x1x2
0
C.当a0时，x1
x2
0，x1x2
0
D.当a
0时，x1
x2
0，x1x2
0
Word文档
.
8．如图，体ABCDA1B1C1D1中，P为底面ABCD
上的动点，PE
AC于
E
，且
PAPE
，则点
P
的
1
轨迹是A
（A）线段（B）圆弧
（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和是Sn．若S2S3，Sk0，则
k．5
10.（x2
2）6的展开式中x3的系数是
．160
x
1
1．设
a0.
yx
与直线
xa,y0
所围成封闭图形的面积为
a2,则
若曲线
a______.
12．在直角坐标系xOy中，点B与点A（1,0）关于原点O对称．点P（x0,y0）在抛物线
y24x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0．12
13.数列{an}的通项公式anncosn1，前n项和为Sn，则S2012。
2
3018
14．记实数x1,x2,L,xn中的最大数为max{x1,x2,L,xn}，最小数为min{x1,x2,L,xn}.
设△ABC
的三边边长分别为a,b,c，且abc，定义△ABC的倾斜度为
tmax{a,b,c}min{a,
bcab
Word文档
.
bc
}．
（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t
；1
（ⅱ）设a1，则t的取值围是．[1,15）
2
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题共14分）
已知函数f（x）mlnx（m1）x（mR）．
（Ⅰ）当m2时，求曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（III）若f（x）存在最大值M，且M0，求m的取值围．
（18）（共14分）
解：
（Ⅰ）当m
2时，f（x）2lnxx．
f（x）
2
1
x
2．
x
x
所以f
（1）
3．
又f
（1）1，
所以曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程是y13（x1），
即3xy20．
Word文档
.
（Ⅱ）函数
f（x）的定域（0,
），
f（x）
m
m1
（m1）xm．
x
x
当m≤0，由x
0知f（x）
m
1
0
恒成立，
m
x
此f（x）在区（0,
）上减．
当m≥1，由x
0
知f
（x）
m
1
0
恒成立，
m
x
此f（x）在区（0,
）上增．
当0m
1，由f
（x）
0，得x
m
，由f
（x）
0，得x
m，
1
m
1m
此f（x）在区（0,
m
）增，在区（
m
）减．
1
m
1
m
（III）由（Ⅱ）知函数
f（x）的定域（0,
），
当m≤0
或m≥1，f（x）在区（0,
）上，此函数
f（x）无最大．
当0m
1，f（x）在区（0,
m）增，在区（
m,
）减，
1
m
1
m
所以当0
m
1函数f（x）有最大．
最大M
f（
m）
mln
1
m
m．
1m
m
因M
0，所以有mln
m
m0，解之得m
e
．
1
m
1
e
所以m的取是（
e
1）．
1
e
16．（本小分13分）
π
已知函数f（x）sinxacosx的一个零点是．
4
（Ⅰ）数a的；
（Ⅱ）g（x）f（x）f（x）23sinxcosx，求g（x）的增区．
（Ⅰ）解：
依意，得
π
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
f（）0
4
Word文档
.
π
acos
π
2
2a
0，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
即sin
4
2
2
4
解得a
1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）得
f（x）
sinx
cosx．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
g（x）f（x）
f（
x）2
3sinxcosx
（sinx
cosx）（
sinx
cosx）
3sin2x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
（cos2x
sin2x）
3sin2x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
cos2x
3sin2x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
2sin（2x
π
⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
）．
6
由2kππ2x
π2kππ，
2
6
2
得kππxkππ，k
Z．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
3
6
所以g（x）的增区[kπ
π
π
，k
Z．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
kπ
]
3
6
1
17.（本小分
13分）已知数列{b
}是等差数列，b=1,b
+b
+⋯+b
=145.
n
11
2
10
（1）求数列{bn}的通公式bn;
（2）数列{a}的通a
1
且a≠1）S是数列{a
}的前n和，比
=log（1+）（其中a＞0
n
n
a
n
n
bn
1
Sn与logabn+1的大小，并明你的.
3
Word文档
.
b1
1
b1
1
（1）解：
数列{bn}的公差d,由意得
10b1
10（10
1）d
145
d
∴bn=3n－2
3
2
（2）明：
由
b
=3
－2知
n
Sn=loga（1+1）+log
a（1+1）+⋯+loga（1+
1
）
4
3n
2
=loga［（1+1）（1+
1）⋯
（1+
1
）］
4
3n
2
而
1
loga
n+1=loga
3n
1
于是，比
n
与
1
loga
b
n+1
的大小
比
3
b
3
S
3
（1+1）（1+1）⋯（1+
1
）与3
3n1的大小.
4
3n
2
取n=1，有（1+1）=
38
3
4
3
31
1
取n=2，有（1+1）（1+
1）
38
37
33
2
1
1
4
1
（1+
）＞3
3n
*
推：
（1+1）（1+
）⋯
2
1（）
4
3n
*
①当n=1，已（）式成立.
②假n=k（k≥1）
*
1）⋯（1+
1
3k
1
（）式成立，即（1+1）（1+
）＞3
4
3k
2
当n=k+1
，（1
1）（1
1）
（1
1
）（1
3（k
1
）
3
3k
1（1
1
）
4
3k
2
1）
2
3k
1
3k
233k
1
3k
1
（3k
233k1）3
（33k4）3
3k
1
（3k
2）3
（3k
4）（3k
1）2
9k
4
0
（3k
1）2
（3k
1）2
33k
1（3k
2）
3
3k
4
33（k
1）
1
3k
1
从而（1
1）（1
1
（1
1
）（1
1
）
33（k
1）
*
）
3k
2
1,即当n=k+1，（）式成立
4
3k
1
由①②知，（*）式任意正整数
n都成立.
于是，当a＞1，S＞
1
logb
n+1
当0＜a＜1
，S
＜
1
logb
n
3
a
n
3
an+1
18．（本小分13分）
已知函数f（x）
ax
lnx，g（x）
eax
3x，其中a
R．
（Ⅰ）求f（x）的极；
（Ⅱ）若存在区M，使f（x）和g（x）在区M上具有相同的性，求a的取．
18.（本小分13分）
（Ⅰ）解：
f（x）的定域（0,），⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
Word文档
.
且f（x）
a
1
ax1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
x
x
①当a
0
，f（x）
0，故f（x）在（0,
）上减．
从而f（x）没有极大，也没有极小．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
②当a
0
，令f（x）
0，得x
1．
a
f（x）和f（x）的情况如下：
x
1
1
1
）
（0,）
a
（,
a
a
f
（x）
0
f（x）
↘
↗
故f（x）的减区（0,
1）；增区（1,
）．
a
a
从而f（x）的极小f
（1）
1lna；没有极大．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
a
（Ⅱ）解：
g（x）的定域R，且g（x）
aeax
3．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
③当a0
，然g（x）0，从而g（x）在R上增．
由（Ⅰ）得，此f（x）在（1,
）上增，符合意．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
a
④当a0
，g（x）在R上增，
f（x）在（0,
）上减，不合
意．⋯⋯9分
⑤当a
0，令g（x）0
，得x0
1ln（
3）．
a
a
g（x）和g（x）的情况如下表：
x
（
x0）
x0
（x0,
）
g（x）
0
g（x）
↘
↗
当3
a
0，x00，此g（x）在（x0,
）上增，由于f（x）在
（0,
）上减，不合意．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
当a
3
，x0
0，此g（x）在（,x0
）上减，由于
f（x）在（0
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