15秋福师《实变函数》在线作业答案一辅导资料.docx

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15秋福师《实变函数》在线作业答案一辅导资料

15秋福师《实变函数》在线作业答案一辅导资料

一、判断题（共37道试题，共74分。

）

V1.  函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

2.  可数集的测度必为零，反之也成立.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

3.  f∈BV，则f有“标准分解式”:

f（x）=f（a）+p（x）-n（x）,其中p（x）,n（x）分别为f的正变差和负变差.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

4.  若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

5.  有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

6.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

7.  可积的充分条件:

若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

8.  L积分比R积分更广泛，且具有优越性。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

9.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

10.  L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

11.  若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

12.  有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

13.  若f广义R可积且f不变号，则fL可积.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

14.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

15.  f,g∈M（X）,则fg∈M（X）.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

16.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

17.  若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

18.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

19.  f可积的充要条件:

|f|可积。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

20.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

21.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

22.  存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'（x）在[a,b]上积分值∫fdx

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

23.  若f有界且m（X）<∞,则f可测。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

24.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

25.  若对任意有理数r,X（f=r）都可测，则f为可测函数.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

26.  利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：

几乎处处可微而且导函数可积。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

27.  测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

28.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

29.  对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞}n·M[E（|f|>=n）]=0.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

30.  若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

31.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

32.  f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

33.  f为[a,b]上减函数，则f'（x）在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f（b）-f（a）.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

34.  零测度集的任何子集都是可测集.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

35.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

36.  R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

A.错误

B.正确

    满分：

2  分

37.  集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

A.错误

B.正确

    满分：

2  分 

二、单选题（共5道试题，共10分。

）V1.  若A为R^n中一疏集，则（）

A.Ac为稠集

B.A为开集

C.A为孤立点集

D.A不完备

    满分：

2  分

2.  fn∈L（E）,则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（）

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件

    满分：

2  分

3.  在（）条件下，E上的任何广义实函数f（x）都可测.

A.mE=0

B.0

C.mE=+∞

D.0<=mE<=+∞

    满分：

2  分

4.  设g（x）是[0,1]上的有界变差函数，则f（x）=sinx-V0x（g）是[0,1]上的

A.连续函数

B.单调函数

C.有界变差函数

D.绝对连续函数

    满分：

2  分

5.  开集减去闭集其差集是（）

A.闭集

B.开集

C.非开非闭集

D.既开既闭集

    满分：

2  分 

三、多选题（共8道试题，共16分。

）V1.  A，B是两个集合，则下列正确的是（）

A.f^-1（f（A））=A

B.f^-1（f（A））包含A

C.f（f^-1（A））=A

D.f（A\B）包含f（A）\f（B）

    满分：

2  分

2.  若f∈AC[a,b]，则（）

A.f∈C[a,b]

B.f∈BV[a,b]

C.f（x）=f（a）+∫ax  f'（t）dt

D.f∈Lip[a,b]

    满分：

2  分

3.  设f为[a,b]上增函数，则f为（）

A.几乎处处可微

B.L可积

C.f'可积

D.区间[a,b]上积分值∫f'（x）dx=f（b）-f（a）

    满分：

2  分

4.  若f（x）为Lebesgue可积函数，则（）

A.f可测

B.|f|可积

C.f^2可积

D.|f|<∞.a.e.

    满分：

2  分

5.  f（x）=1,x∈（-∞，+∞）,则f（x）在（-∞，+∞）上

A.有L积分值

B.广义R可积

C.L可积

D.积分具有绝对连续性

    满分：

2  分

6.  若f,g是有界变差函数，则（）

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max（f,g）有界变差函数

    满分：

2  分

7.  设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（）

A.fn测度收敛于|f|

B.afn+bgn测度收敛于af+bg

C.（fn）^2测度收敛于f^2

D.fngn测度收敛于fg

    满分：

2  分

8.  若0<=g<=f且f可积，则（）

A.g可积

B.g可测

C.g<∞，a.e.

D.当g可测时g必可积

    满分：

2  分