排列组合常见题型及解答.docx
《排列组合常见题型及解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合常见题型及解答.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
排列组合常见题型及解答
排列组合常见题型
1.可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素：
一类可以重复，另一类不能重
复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数
【例1】
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不
同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】:
（1）34
（2）43（3）43
【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：
完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步：
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共
有7种不同方案.
3
【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、83B、38C、AD、
C83
【解析】：
冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3
项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有8种
不同的结果。
所以选A
2.相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排
法种数有
4
【解析】：
把A,B视为一人，且B固定在A的右边，贝V本题相当于4人的全排列，A24种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A.360B.188C.216D.96
【解析】：
间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，c3a2a4a2=432，其中男生甲站两端的有a2c3a2a3a2=144，符合条件的排法故共有288
3.相离问题插空法：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，
则该晚会的节目单的编排总数为种.
【解析】：
A；a1oA；i=99O
【例6】.马路上有编号为1,2,3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：
把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
3
【解析】：
解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有a3，o*O*O*O,在四个
1
空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A4种，所以每个人左右两边都空位的排法
有A；a3=24种.
解法2:
先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*O*O*O*O*再让3个
3
人每人带一把椅子去插空，于是有A4=24种.
【例8】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有几种？
8
【解析】：
先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端
再排其它的元素。
【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作,
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有
多少种?
【解析】:
老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A种方法;
所以共有
14
A3A472
【例3】
有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
5.多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】
（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（
A、36种B、120种C、720种D、1440种
元素排在后排，有多少种不同排法?
【解析】：
（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
A720种，选C.
（2）答案：
C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后半
15125
段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A种，故共有A4A4A55760
种排法•
6.定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可
用缩小倍数的方法•
【例1】.a，B,C,D,E五人并排站成一排，如果b必须站在A的右边（a，B可以不相邻）那
么不同的排法种数【解析】：
B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只
一1a|60
是5个元素全排列数的一半，即2种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
1人9
【解析】：
法一：
A9法二：
A69
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C
在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
【解析】：
法一：
a6
法二:
六•标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，
第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成
【例1】将数字1，2，3,4填入标号为1,2，3,4的四个方格里，每格填一个数，则每
个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（
A、6种B、9种C、11种D、23种
【解析】：
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数
字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3
X3X1=9种填法，选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）
A10种B20种C30种D60种答案：
B
【例3】：
同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有（）
（A6种（B）9种（C）11种（D）23种
【解析】：
设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、do
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b,则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据
加法原理和乘法原理，一共有3（12）9种分配方式。
故选（B）
【例4】：
五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有（）
（A）60种（B）44种（C）36种（D）24种答案：
B
7.不同元素的分配问题（先分堆再分配）：
注意平均分堆的算法
分成每组都是2本的三个组;
2本;
种（数字作答）.
c2c2g1
【解析】：
第一步将4名大学生按，2,1,1分成三组，其分法有A2
c4c2c1A36
说明：
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法
共有
（A）150种（B）180种
（C）200种（D）280种
311
C5C2C1
=60种,
【解析】：
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有a2
c5c；c；.3
2A
若是1,1,3，则有A2=90种，所以共有150种，选A
【例4】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数
为（）
A.70B.140C.280D.840答案：
（A）
【例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（
（A）30种
（B）90种（C）180种（D）270种
【解析】：
将5名实习教师分配到高一年级的
3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将
5名教师分成三组，一组
1人，另两组都是
c5C42
2人，有A2
15
种方法，再将3组分到3个
班，共有15A390种分配方案。
选B.
【例6】某外商计划在四个候选城市投资
3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不
超过2个,则该外商不同的投资方案有（）种
22233
【解析】：
按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，•••C4C3A2C4A3362460故选D
【例7】
（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）
A、480种B、240种C、120种D、96种答案：
B
4人，则不同的分配
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口方案有多少种?
G：
C；C：
A3
3A3
答案：
A3
这三项任务，不同的选法种数是（
1人承担乙项任务,
【解析】：
先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选
第
211三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C72520种，选C.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济幵发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案?
【解析】：
因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
1若甲乙都不参加，则有派遣方案A8种；
2若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8；
3若乙参加而甲不参加同理也有3A3种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然
后再安排其余8人到另两个城市有A8种，共有7兀方法.所以共有不同的派遣方法总数为
A：
3A83A87A84088种
【例10】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少
种？
【解析】：
先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：
在四个盒中每
次排3个有A种，故共有c4a4144种.
8.相同元素的分配问题隔板法：
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条
件的关灯办法有种
【例3】：
将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
3
【解析】：
1、先从4个盒子中选三个放置小球有C4种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可
以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分
222
别插入两个板。
各有C3、C4、C5种方法。
3、由分步计数原理可得C4C3C4C5=720种
9.多面手问题（分类法---选定标准）
【例1】：
有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以幵出几张？
变式：
.有11名外语翻译人员，其中有5名会英语,4名会日语，另外两名英，日语都精通，
从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问共有多少不同的选派方式？
答案：
185
十.走楼梯问题（分类法与插空法相结合）
【例1】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层
之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】：
插空法解题：
考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。
（不可能完成任务）；3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶:
（a）两次三级台阶挨着时：
相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,
有C66种
（b）两次三级不挨着时：
相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，
2
有C615种走法。
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台
阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种C5C515走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：
1+6+15+15=37种。
变式：
欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有（）
（A）34种（B）55种（C）89种（D）144种答案：
（C）
十一•排数问题（注意数字“0”
【例1】
（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十
位数字的共有（）
A、210种B、300种C、464种D、600种
【解析】：
按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，
a4a3a3,a3a3a3,a2a3a3，a3a3个，合并总计300个,选B.
（2）从1,2，3,…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺
序）有多少种？
【解析】：
将11'2'3|||'100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A4'8'12'|||100；能被4除余1的数集B1）5'911197，能被4除余2的数集C2,6，川，98，能被4除余3的数集D3,7,11，|||99，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；
从B，D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合
2112
要求；所以符合要求的取法共有C25C25C25C25种•
十二.染色问题：
涂色问题的常用方法有：
（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论；
（2）根据相对区域是否同色分类讨论；
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，
如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两
种涂A、B、CD四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有c5a460种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜
2
色中任选两种染A与B,由于AB颜色可以交换，故有A4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有c5a2c2c2240种方法。
5
（3）若恰用五种颜色染色，有A5120种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
【答案】420.
【解析二】设想染色按S-A-B-C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有5x4x3=60种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对CD染色有1x3+2x2=7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是60x7=420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：
如图，对这五个区域用5种颜色涂
色，有几种的涂色方法？
总体实施分步完成，可分为四大步
1给S涂色有5种方法；
2给A涂色有4种方法（与S不同色）；
3给B涂色有3种方法（与A,S不同色）；
4给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法；当C与A同色时,C有一种涂色方法（与A同色）,D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2X2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5X4X3X7=420种方法
［规律小结］涂色问题的常用方法有：
（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论；
（2）根据相
对区域是否同色分类讨论；（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
十三•“至多”“至少”问题用间接法或分类：
十四.几何中的排列组合问题：
坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条
其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有C12=12，其中
平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】：
除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A*12种，不同的排
52
法数是A5A63600
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种
不同的插法（数字作答）
111
【解析】：
A7A8A9=504
【例3】高三
（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目
的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，贝y不同排法的种数是
【解析】：
不同排法的种数为A5A6=3600
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是
【解析】：
依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可
2
得有A=20种不同排法。
升级会员 