排列组合常见题型及解答.docx

1、排列组合常见题型及解答排列组合常见题型1.可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解 题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2） 有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3） 将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】:（1）34（2）43 （3）43【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法

2、？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种不同方案.3【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、83 B 、38 C、A D、C83【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把 8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共 有8种不同的结果。所以选A2. 相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与 排列.【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果 A

3、,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有4【解析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，贝V本题相当于4人的全排列，A 24种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， c3a2a4a2=432，其中男生甲站两端的有 a2c3a2a3a2=144，符合条件的排法故共有 2883.相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把

4、规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个， 并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】：A；a1oA；i=99O【例6】.马路上有编号为1, 2, 3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻 的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型， 在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方 法,所以满足条件的关灯方案有 10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转

5、化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装 盒模型可使问题容易解决.【例7】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少 种？3【解析】：解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有 a3，o*O*O*O,在四个1空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 A4种，所以每个人左右两边都空位的排法有 A；a3=24 种.解法2:先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，* O* O* O*O*再让3个3人每人带一把椅子去插空，于是有 A4 =24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起， 不同的停车方法有几种？8【解析】

6、：先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每 2辆之间及其两端 再排其它的元素。【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派 四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项 工作,其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有名老师和4名获奖同学排成一排照相留念， 若老师不站两端则有不同的排法有多少种?【解析】:老师在中间三个位置上选一个有 A3种，4名同学在其余4个位置上有A种方法;所以共有1 4A3A4 72【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?5.多排问题单排法：把元素排成

7、几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排， 每排3个元素，那么不同的排法种数是（A、36 种 B 、120 种 C 、720 种 D 、1440 种元素排在后排，有多少种不同排法?【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6个不同的元素排成一排，共A 720 种，选 C.（2）答案：C（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排 2个，有A4种，某1个元素排在后半1 5 12 5段的四个位置中选一个有 A4种，其余5个元素任排5个位置上有A种，故共有A4A4A5 5760种排法6.定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元

8、素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法【例1】.a，B,C,D,E五人并排站成一排，如果 b必须站在A的右边（a，B可以不相邻）那么不同的排法种数【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只一 1a| 60是5个元素全排列数的一半，即 2 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有多少种不 同的插法？1人9【解析】 ：法一：A9 法二：A6 9【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若 A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】 ：法一：a6法二:六标号排位问题（不配对

9、问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成【例1】 将数字1，2，3, 4填入标号为1, 2，3, 4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（A、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有 3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3X 3X 1=9种填法，选B .【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5的五个座位，其 中有且只有两个的编号与座

10、位号一致的坐法是（ ）A 10种 B 20 种 C 30 种 D 60 种答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有（）（A 6 种 （B） 9 种 （C） 11 种 （D） 23 种【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为 a、b、c、do第一步，甲取其中一张，有 3种等同的方式； 第二步，假设甲取b,则乙的取法可分两类：（1） 乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2） 乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有 3（1 2）

11、9种分配方式。 故选（B）【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方 式共有（）（A） 60 种 （B） 44 种 （C） 36 种 （D） 24 种 答案：B7.不同元素的分配问题（先分堆再分配） ：注意平均分堆的算法分成每组都是2本的三个组;2 本;种（数字作答）.c2 c2 g1【解析】：第一步将4名大学生按，2, 1, 1分成三组，其分法有 A2c4 c2 c1 A 36说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有(A) 150 种(B)180 种

12、(C)200 种(D)280 种3 1 1C5 C2C1=60 种,【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有 a2c5c；c； .32 A若是1,1,3，则有 A2 = 90种，所以共有150种，选A【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）A . 70 B. 140 C. 280 D. 840 答案 ：（A ）【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不 同的分配方案有（(A)30 种(B)90 种 (C)180 种 (D) 2 7 0 种【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的

13、3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是c5 C422人，有A215种方法，再将3组分到3个班，共有15 A3 90种分配方案。选B.【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种2 2 2 3 3【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构， C4C3A2 C4A3 36 24 60故选D【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480 种 B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种答案：B4人，则不同的分

14、配（2） 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查， 若每个路口 方案有多少种?G：C；C：A33A3答案：A3这三项任务，不同的选法种数是（1人承担乙项任务,【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的 8人中选第2 1 1 三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 C10C8C7 2520种，选C.【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济幵 发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案?【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：1若甲乙都不参加，则有派遣方案 A8种；2若甲

15、参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8 ；3若乙参加而甲不参加同理也有 3A3种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有A8种，共有7兀方法.所以共有不同的派遣方法总数为A： 3A8 3A8 7A8 4088 种【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 C4种，再排：在四个盒中每次排3个有A 种，故共有c4a4 144种.8.相同元素的分配问题隔板法：中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的

16、路灯，满足条件的关灯办法有 种【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3 个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？3【解析】：1、先从4个盒子中选三个放置小球有 C4种方法。2、 注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的 3个、4个5个空挡中分2 2 2别插入两个板。各有C3、C4、C5种方法。3、 由分步计数原理可得 C4 C3 C4 C5 =720种9.多面手问题（ 分类法-选定标准）【例1】：有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员

17、，4名是日语译员，另外两名是英、 日语均精通，从中找出 8人，使他们可以组成翻译小组，其中 4人翻译英语，另4人翻译 日语，这两个小组能同时工作，问这样的 8人名单可以幵出几张？变式：.有11名外语翻译人员，其中有5名会英语,4名会日语，另外两名英，日语都精通，从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问共有多少不同的 选派方式？ 答案：185十.走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？【解析】 ：插空法解题：考虑走 3级台阶的次数：1

18、 ）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶:（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5个两级台阶形成的空中,有C6 6种（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5个两级台阶形成的空中，2有C6 15种走法。4） 有3次（不可能）5） 有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个 2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种 C5 C5 15走法；6） 有5次（不可能）故总共有：1+6+15+15=37种。变式：欲登上第10级

19、楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有 （）（A）34 种 （B） 55 种 （C） 89 种 （D） 144 种 答案： （C）十一排数问题（注意数字“ 0”【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210 种 B 、300 种 C 、464 种 D 、600 种【解析】 ：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，a4a3a3, a3a3a3, a2a3a3，a3a3个，合并总计 300 个,选 B .（2）从1, 2，3,，100这100个数中任取两个数，使其和能被 4整除的取法

20、（不计顺序）有多少种？【解析】：将1 123|100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A 4812|100 ； 能被4除余1的数集B 1）5911197，能被4除余2的数集C 2,6，川，98，能被4除余3 的数集D 3,7,11，|99，易见这四个集合中每一个有 25个元素；从A中任取两个数符合要；从B，D中各取一个数也符合要求；从 C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合2 11 2要求；所以符合要求的取法共有 C25 C25C25 C25种十二.染色问题：涂色问题的常用方法有： (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论 ；(2)根据相对区域是否同色分类讨论 ；(3)将空间问题平面化

21、，转化成平面区域涂色问题。【例1】 将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 .【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C D四点，此时只能 A与C、B与D分别同色，故有c5a4 60种方法。(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜2色中任选两种染A与B,由于A B颜色可以交换，故有A4种染法；再从余下的两种颜色中 任选一种染D或C，而D与C,而D与C中另一个只需染

22、与其相对顶点同色即可，故有 c5a2c2c2 240 种方法。5(3)若恰用五种颜色染色，有 A5 120种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420种。【答案】420.【解析二】设想染色按 S-A- B- C D的顺序进行，对S、A、B染色，有5x4x3=60种染色 方法。由于C点的颜色可能与 A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A ( C)、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对CD染色有1x3+2x2=7 种染色方法。由乘法原理，总的染色方法

23、是 60x7=420【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用 5种颜色涂色，有几种的涂色方法？总体实施分步完成，可分为四大步1给S涂色有5种方法；2给A涂色有4种方法（与S不同色）；3给B涂色有3种方法（与A,S不同色）；4给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法；当C与A同色时,C有一种涂色方 法（与A同色）,D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2X2+3=7种方法.由分步计数原理共有 5X 4X 3X 7=420种方法规律小结涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对区域是否同色分类讨论；（3）将空间问题平面化，转化成平

24、面区域涂色问题。十三“至多” “至少”问题用间接法或分类：十四.几何中的排列组合问题：坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条其中关于原点对称的有 4条不满则条件 切线有C12=12 ，其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A* 1 2种，不同的排5 2法数是A5 A6 3600【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有 种不同的插法（数字作答）1 1 1【解析】：A7A8A9=504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的 4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，贝y不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为A5A6 = 3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行， 工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排 这6项工程的不同排法种数是【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5个空中，可2得有A = 20种不同排法。