1、排列组合常见题型及解答排列组合常见题型1.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解 题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个是底数,哪个是指数【例1】 (1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2) 有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3) 将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?【解析】:(1)34(2)43 (3)43【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法
2、?【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有 7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有7种不同方案.3【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、83 B 、38 C、A D、C83【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把 8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共 有8种不同的结果。所以选A2. 相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与 排列.【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果 A
3、,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有4【解析】:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,贝V本题相当于4人的全排列,A 24种 【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】:间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有, c3a2a4a2=432,其中男生甲站两端的有 a2c3a2a3a2=144,符合条件的排法故共有 2883.相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列, 再把
4、规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个, 并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,则该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】:A;a1oA;i=99O【例6】.马路上有编号为1, 2, 3,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻 的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?【解析】:把此问题当作一个排对模型, 在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方 法,所以满足条件的关灯方案有 10种.说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转
5、化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装 盒模型可使问题容易解决.【例7】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少 种?3【解析】:解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有 a3,o*O*O*O,在四个1空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有 A4种,所以每个人左右两边都空位的排法有 A;a3=24 种.解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,* O* O* O*O*再让3个3人每人带一把椅子去插空,于是有 A4 =24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起, 不同的停车方法有几种?8【解析】
6、:先排好8辆车有A8种方法,要求空车位置连在一起,则在每 2辆之间及其两端 再排其它的元素。【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派 四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项 工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有名老师和4名获奖同学排成一排照相留念, 若老师不站两端则有不同的排法有多少种?【解析】:老师在中间三个位置上选一个有 A3种,4名同学在其余4个位置上有A种方法;所以共有1 4A3A4 72【例3】有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?5.多排问题单排法:把元素排成
7、几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。【例1】(1) 6个不同的元素排成前后两排, 每排3个元素,那么不同的排法种数是(A、36 种 B 、120 种 C 、720 种 D 、1440 种元素排在后排,有多少种不同排法?【解析】:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6个不同的元素排成一排,共A 720 种,选 C.(2)答案:C(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排 2个,有A4种,某1个元素排在后半1 5 12 5段的四个位置中选一个有 A4种,其余5个元素任排5个位置上有A种,故共有A4A4A5 5760种排法6.定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元
8、素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法【例1】.a,B,C,D,E五人并排站成一排,如果 b必须站在A的右边(a,B可以不相邻)那么不同的排法种数【解析】:B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只一 1a| 60是5个元素全排列数的一半,即 2 种【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有 6本书的顺序,有多少种不 同的插法?1人9【解析】 :法一:A9 法二:A6 9【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若 A、B、C必须按A在前,B居中,C在后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法? 【解析】 :法一:a6法二:六标号排位问题(不配对
9、问题) 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成【例1】 将数字1,2,3, 4填入标号为1, 2,3, 4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有(A、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种【解析】 :先把1填入方格中,符合条件的有 3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3X 3X 1=9种填法,选B .【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5的五个座位,其 中有且只有两个的编号与座
10、位号一致的坐法是( )A 10种 B 20 种 C 30 种 D 60 种答案:B【例3】:同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则4张贺年卡不同的分配方式共有()(A 6 种 (B) 9 种 (C) 11 种 (D) 23 种【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为 a、b、c、do第一步,甲取其中一张,有 3种等同的方式; 第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:(1) 乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,(2) 乙取c或d (2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理,一共有 3(1 2)
11、9种分配方式。 故选(B)【例4】:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方 式共有()(A) 60 种 (B) 44 种 (C) 36 种 (D) 24 种 答案:B7.不同元素的分配问题(先分堆再分配) :注意平均分堆的算法分成每组都是2本的三个组;2 本;种(数字作答).c2 c2 g1【解析】:第一步将4名大学生按,2, 1, 1分成三组,其分法有 A2c4 c2 c1 A 36说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配【例3】5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有(A) 150 种(B)180 种
12、(C)200 种(D)280 种3 1 1C5 C2C1=60 种,【解析】:人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有 a2c5c;c; .32 A若是1,1,3,则有 A2 = 90种,所以共有150种,选A【例4】 将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为()A . 70 B. 140 C. 280 D. 840 答案 :(A )【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不 同的分配方案有((A)30 种(B)90 种 (C)180 种 (D) 2 7 0 种【解析】:将5名实习教师分配到高一年级的
13、3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是c5 C422人,有A215种方法,再将3组分到3个班,共有15 A3 90种分配方案。选B.【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )种2 2 2 3 3【解析】:按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构, C4C3A2 C4A3 36 24 60故选D【例7】(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A、480 种 B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种答案:B4人,则不同的分
14、配(2) 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查, 若每个路口 方案有多少种?G:C;C:A33A3答案:A3这三项任务,不同的选法种数是(1人承担乙项任务,【解析】:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的 8人中选第2 1 1 三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有 C10C8C7 2520种,选C.【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济幵 发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?【解析】:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:1若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8种;2若甲
15、参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A8方法,所以共有3A8 ;3若乙参加而甲不参加同理也有 3A3种;若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7种方法,然后再安排其余8人到另两个城市有A8种,共有7兀方法.所以共有不同的派遣方法总数为A: 3A8 3A8 7A8 4088 种【例10】 四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4种,再排:在四个盒中每次排3个有A 种,故共有c4a4 144种.8.相同元素的分配问题隔板法:中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的
16、路灯,满足条件的关灯办法有 种【例3】:将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3 个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?3【解析】:1、先从4个盒子中选三个放置小球有 C4种方法。2、 注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的 3个、4个5个空挡中分2 2 2别插入两个板。各有C3、C4、C5种方法。3、 由分步计数原理可得 C4 C3 C4 C5 =720种9.多面手问题( 分类法-选定标准)【例1】:有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员
17、,4名是日语译员,另外两名是英、 日语均精通,从中找出 8人,使他们可以组成翻译小组,其中 4人翻译英语,另4人翻译 日语,这两个小组能同时工作,问这样的 8人名单可以幵出几张?变式:.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的 选派方式? 答案:185十.走楼梯问题 (分类法与插空法相结合)【例1】 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?【解析】 :插空法解题:考虑走 3级台阶的次数:1
18、 )有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法;2)有1次走三级台阶。(不可能完成任务); 3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:(a)两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5个两级台阶形成的空中,有C6 6种(b)两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5个两级台阶形成的空中,2有C6 15种走法。4) 有3次(不可能)5) 有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个 2级台阶放到3级台阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种 C5 C5 15走法;6) 有5次(不可能)故总共有:1+6+15+15=37种。变式:欲登上第10级
19、楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有 ()(A)34 种 (B) 55 种 (C) 89 种 (D) 144 种 答案: (C)十一排数问题(注意数字“ 0”【例1】(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )A、210 种 B 、300 种 C 、464 种 D 、600 种【解析】 :按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4共5种情况,分别有A5个,a4a3a3, a3a3a3, a2a3a3,a3a3个,合并总计 300 个,选 B .(2)从1, 2,3,,100这100个数中任取两个数,使其和能被 4整除的取法
20、(不计顺序)有多少种?【解析】:将1 123|100分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A 4812|100 ; 能被4除余1的数集B 1)5911197,能被4除余2的数集C 2,6,川,98,能被4除余3 的数集D 3,7,11,|99,易见这四个集合中每一个有 25个元素;从A中任取两个数符合要;从B,D中各取一个数也符合要求;从 C中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合2 11 2要求;所以符合要求的取法共有 C25 C25C25 C25种十二.染色问题:涂色问题的常用方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论 ;(2)根据相对区域是否同色分类讨论 ;(3)将空间问题平面化
21、,转化成平面区域涂色问题。【例1】 将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 .【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C D四点,此时只能 A与C、B与D分别同色,故有c5a4 60种方法。(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜2色中任选两种染A与B,由于A B颜色可以交换,故有A4种染法;再从余下的两种颜色中 任选一种染D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染
22、与其相对顶点同色即可,故有 c5a2c2c2 240 种方法。5(3)若恰用五种颜色染色,有 A5 120种染色法综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420种。【答案】420.【解析二】设想染色按 S-A- B- C D的顺序进行,对S、A、B染色,有5x4x3=60种染色 方法。由于C点的颜色可能与 A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A ( C)、S不同色,有3种选择;C与A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对CD染色有1x3+2x2=7 种染色方法。由乘法原理,总的染色方法
23、是 60x7=420【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,对这五个区域用 5种颜色涂色,有几种的涂色方法?总体实施分步完成,可分为四大步1给S涂色有5种方法;2给A涂色有4种方法(与S不同色);3给B涂色有3种方法(与A,S不同色);4给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法;当C与A同色时,C有一种涂色方 法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2X2+3=7种方法.由分步计数原理共有 5X 4X 3X 7=420种方法规律小结涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;(2)根据相对区域是否同色分类讨论;(3)将空间问题平面化,转化成平
24、面区域涂色问题。十三“至多” “至少”问题用间接法或分类:十四.几何中的排列组合问题:坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 条其中关于原点对称的有 4条不满则条件 切线有C12=12 ,其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A* 1 2种,不同的排5 2法数是A5 A6 3600【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有 6本书的顺序,有 种不同的插法(数字作答)1 1 1【解析】:A7A8A9=504【例3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的 4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,贝y不同排法的种数是【解析】:不同排法的种数为A5A6 = 3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行, 工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排 这6项工程的不同排法种数是【解析】:依题,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5个空中,可2得有A = 20种不同排法。
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