全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
一、选择题:
1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•
1、设函数f（X）在（-：
：
+：
：
）连续，其2阶导函数f（x）的图形如下图所示，则曲线y=f（x）的拐点个数为（）
（A）0（B）1
（C）2（D）3
【答案】（C）
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
数异号，因此，由「（X）的图形可知，曲线y二f（x）存在两个拐点，故选（C）.
1f1、”
2、设y=—e2x十Ix-一©x是二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay"+by=cex的一个特解，
2I3丿
则（）
【答案】（A）
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
—2x—x..2
【详解】e,e为齐次方程的解，所以2、1为特征方程'+^b=0的根，从而
a--1•2--3,b=12=2,再将特解y=xex代入方程y：
3y，2y=cex得：
c=-1.
3、若级数送an条件收敛，则x=J3与x=3依次为幕级数送nan（xT『的:
n:
—
n:
—
（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点
【答案】（B）
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★
【详解】因为瓦an条件收敛，故x=2为幕级数送an（x-1$的条件收敛点，进而得n4n卫
qQ
\」anx-1n的收敛半径为1,收敛区间为0,2，又由于幕级数逐项求导不改变收敛区间，故
n4
0C1
、nanx-1n的收敛区间仍为
na
_°°
0,2，因而x=-、3与x=3依次为幕级数7nanx_1的收敛
n4
点、发散点
4、设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y二x,y—、.3x围成的平面区域，函数f（x,y）
在D上连续，则11f（x,y）dxdy二
D
【难易度】★★★
JI/
【详解】由"X得，"4；由y「3x得，"3
由2xy=1得，2r2cos=sin^-1,r
2
由4xy=1得，4rcos^sin）-1,r
二?
.
所以JJf（x,y）dxdy=J；d日广晋日f（rcos8,rsin日）rdr
q
1
1、
「1）
5、设矩阵A=
1
2
a
，b=
d
，若集合0={1,2}，则线性方程组
<1
4
2
a丿
Ax=b有无穷多个
解的充分必要条件为
（A）11,d11
（B）11,d11
【答案】（D）
【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★
1
1
11
1
a-1
d—1
0
（a-1丫a-2）
（d-1Xd-2
11
d——;0
.2I丄
d」V
111
【详解】lA,b】=12a
14a2
Ax=b有无穷多解二R（A）二R（代b）：
：
3
=a=1或a=2且d=1或d=2
222
6、设二次型仁为必压）在正交变换x=Py下的标准形为2力•y2-y3，其中
PNet，包），若Q=（e,-QG），则f（x1,X2,X3）在正交变换x=Qy下的标准形为
222222
（A）2y1-y2y3（B）2%y?
-y?
222222
（C）2y1-y2-y3（D）2^y?
y3
【答案】（A）
【考点】二次型
【难易度】★★
200
【详解】由x=Py，故f=xTAx=yT（PTAP）y=2y：
+y；-y：
且：
PTAP=010
■00-1_j
TTT222
所以f=xAx=y（QAA）y=2y1fg，故选（A）
7、若A,B为任意两个随机事件，则
【详解】P（A）-P（AB）,P（B）-P（AB）
P（AB）乞P（A）2P（B）故选（C）
8、设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3,则EXX・丫一2二
（A）-3（B）3（C）-5（D）5
【答案】（D）
【考点】
【难易度】★★★
【详解】
二、填空题：
9〜14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上•
Incosx
9、lim2—二
X0X2
1
【答案】-丄
2
【考点】极限的计算
【难易度】★★
H2
【答案】一
4
【考点】积分的计算
【难易度】★★
11、若函数z=z（x,y）由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz（叩）=
【答案】
【考点】隐函数求导
【难易度】★★
【详解】令F（x,y,z）=ezxyzxcosx-2，贝yFx=yz1-sinx,Fy=xz,Fz二xy,
又当x=0,y=1时，z=0，所以—=_E=_1，竺
CF/-h,
"（0,1）FzCyy（0,1）
12、设i］是由平面x亠y亠z=1与二个坐标平面所围成的空间区域，贝U
1
【答案】-
4
【考点】三重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性，得
其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为-（1-z）2.所以
2
-1
I
1-
0
2
■I
■1
IIIIII
F
i
0
0
1
i
2
2
r
H
I
0
■1
0
A
III
q
2
r
2
13、n阶行列式
0
0
III
-1
2
【答案】2n1-2
【考点】行列式的计算
【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
14、设二维随机变量（X,Y）服从正态分布N（1,0,1,1,0），贝UP（XY-Y:
：
:
0）=
1
【答案】1
2
【考点】
【难易度】★★
【详解】；（X,Y）~N（1,0,1,1,0）,•X~N（1,1）Y~N（0,1）,且X,Y独立
:
、X-1~N（0,1）,卩仪丫-Y"}=p{（X-1）Y<01
三、解答题：
15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数f（x）=xaln（1x）bxsinx,g（x）=kx3，若f（x）与g（x）在x—；0是等价无穷小,求a,b,k值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算
【难易度】★★★
【详解】f（x）二xaln（1x）bxsinx
-f（x）与g（x）=kx3是等价无穷小
16、（本题满分10分）
设函数在f（x）定义域I上的导数大于零，若对任意的x0•I，曲线y=f（x）在点（X）,fCxJ）处的切线与直线x=x0及x轴所围成的区域的面积为4，且f（0）=2，求f（x）的表达式
【考点】微分方程
【难易度】★★★
【详解】如下图：
x=xo处的切线方程为1:
y=f（xo）（x-Xo）■f（Xo）
ii
Xc.
y8
18
又因y（o）=2，所以c=—，故y——.
24-x
17、（本题满分1o分）
22
已知函数f（x,y^xyxy，曲线C：
xyx^3，求f（x,y）在曲线C上的最大方向
导数•
【考点】方向导数，条件极值
【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，
故
故f（x,y）在曲线C上的最大方向导数为J（1+yf+（1+x）2，其中x,y满足x2+y2+xy=3，
即就求函数^（1y）2（1x）2在约束条件x2y2xy-3=0下的最值.
构造拉格朗日函数F（x,y,J=（Vy）2（Vx）^'（x2y2x^3）
——=2（1+x）+2扎x+扎y=0ex
尸F
令<穴“（I+y）+2对+扎x=0可得（"）,-（2,—2）,（」2）
t?
F22
——=x+y+xy—3=0
其中z（1,1^4,z（-1,-1）=0,z（2,一1）=9二z（—1,2）
综上根据题意可知f（x,y）在曲线C上的最大方向导数为3.
18、（本题满分10分）
（I）设函数u（x）,v（x）可导，利用导数定义证明
（n）设函数U]（x）,u2（x）...un（x）可导，f（X）=比&）出&）.」n（x）,写出f（x）的求导公式
【考点】导数定义
【难易度】★★
【详解】■.
19、（本题满分10分）
已知曲线L的方程为zf—x-y,起点为a（0八2,0），终点为B（0,f2,0），计算曲线积（z=x,
分I二3z）dx（z2_x2y）dy（x2y2）dz
【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★
X=cos日,
【详解】曲线L的参数方程为y=2sindr从.至U
，22
z=cos日,
20、（本题满分11分）
设向量组：
仆：
-2/'3是3维向量空间L3的一个基，=2-^2k〉3,-2=2--2,
：
3二：
1（k1）3。
（I）证明向量组■-1,■-2,■-3是L3的一个基；
（n）当k为何值时，存在非零向量■在基：
、，—，'与基^,-2,:
3下的坐标相同，并求出所有
【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★
:
仆〉2,〉3下的坐标为
即（P-E）x=0
=（X1,X2,X3）T，贝V在基：
1,：
2,：
3下的坐标为P'X，
1
0
1
1
1
P—E
=
0
1
0=
=-k=0,得k=0,并解得x=c
0
2k
k
2k
0
k
J丿
X，得
由
c为任意常数。
从而上=•-c：
］・C：
dC为任意常数。
21、（本题满分11分）
2
-3'
「1
-2
0、
设矩阵A=
-1
3
-3
相似于矩阵B-
0
b
0
J
-2
a丿
<0
3
1丿
（［）求a,b的值.
（n）求可逆矩阵P，使得P_1AP为对角阵.
【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
r1-2
3、
『1
-2
3'
1-2
3
T
0
0
0
L2
一3」
<0
0
°」
当’i=，2=1,（几E-A）=
=3、
特征向量q=
1
_2=
0
6
J」
广5
-2
3^
（1
2
3、
n
0
1、
当入3=5,（-A）=
1
2
3
->
-1
2
1
T
0
1
1
<_1
2
b
<5
-2
3>
<0
0
0」
2
-3
_*
p
q
0
0、
则特征向量-3=
_1
所以
P=
_2,
\）=
1
0
1
得p
」AP=
0
1
0
I1>
<0
1
1
丿
<0
0
5」
22、（本题满分
11分）
设随机变量X
的概率密度为
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于
3的观测值出现时停止，记
Y为观测次数.
（I）求Y的概率分布;
（n）求
【考点】
【难易度】
★★★★
pfx3?
="2^ln2dx=-
L38
（I）pW=k｝二Ck」（l）2（7）2=（k-1）（l）2（7）2,k=2,3,4•…
8888
【详解】
_:
:
127
（二）EY八k（k-1）（）（y
288
1二7
64：
.k（k-1）（8）k^
1-he
设级数S（x）—、k（k-1）xk
64心
—xk」亠
64心64（1-x）3
S（7）-16所以EY=S（7）-16
88
23、（本题满分11分）设总体X的概率密度为其中二为未知参数，X1?
X2..…Xn为来自该总体的简单随机样本
（I）求d的矩估计•
（n）求二的最大似然估计•
【考点】
【难易度】★★★
【详解】由题可得（'.）
（二）联合概率密度
（甘dInfn
Inf--nln（1二0，故取
d日1-9
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