全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.docx

1、全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上1、 设函数f(X)在(-：,+ ：)连续，其2阶导函数f (x)的图形如下图所示，则曲线 y=f(x)的 拐点个数为()(A) 0 ( B) 1(C) 2 ( D) 3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于 0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由 (X)的图形可知，曲线 y二f (x)存在两个拐点

2、，故选(C).1f 1、 ”2、 设y = e2x十I x-一 x是二阶常系数非齐次线性微分方程 y +ay + by = cex的一个特解，2I 3丿则()【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】2 x x .2【详解】 e , e为齐次方程的解，所以 2、1为特征方程 + b = 0的根，从而a - - 1 2 - -3,b =1 2=2,再将特解 y =xex代入方程 y：3y，2y=cex得：c = -1.3、若级数送an条件收敛，则x = J3与x = 3依次为幕级数送nan(xT的:n :n :(A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点 (

3、D)发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】【详解】因为瓦an条件收敛，故x = 2为幕级数送an (x -1 $的条件收敛点，进而得 n 4 n卫qQan x -1 n的收敛半径为1,收敛区间为 0,2，又由于幕级数逐项求导不改变收敛区间，故n 40C1、nan x -1 n的收敛区间仍为n a_ 0,2，因而x = -、3与x=3依次为幕级数7 nan x_1的收敛n 4点、发散点4、设D是第一象限中曲线 2xy =1,4xy =1与直线y二x, y 、.3x围成的平面区域，函数f (x, y)在D上连续，则11 f (x, y)dxdy二D【难易度】JI / 【详解】由

4、X得，4 ； 由 y3x得，3由 2xy =1 得，2r2cos = sin -1,r2由 4xy =1 得，4r cossin)-1,r二 ?.所以 JJf (x,y)dxdy = J；d日广晋日 f(rcos8,rsin日)rdrq11、1 )5、设矩阵A=12a，b =d，若集合0 =1,2，则线性方程组142a丿Ax = b有无穷多个解的充分必要条件为(A)1 1, d 1 1(B)1 1, d 1 1【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】111 11a -1d 10(a -1 丫 a -2 )(d -1 X d -21 1d ;0.2 I 丄d V1 1 1【详解】

5、lA,b】=1 2 a1 4 a2Ax =b有无穷多解二R(A)二R(代b) ：3=a =1 或 a = 2 且 d = 1 或 d = 22 2 26、设二次型 仁为必压)在正交变换x=Py下的标准形为2力 y2 -y3，其中PNet，包)，若Q=(e,-QG)，则f(x1,X2,X3)在正交变换x=Qy下的标准形为2 2 2 2 2 2(A)2y1 - y2 y3 ( B) 2% y? -y?2 2 2 2 2 2(C)2y1 -y2 -y3 ( D) 2 y? y3【答案】(A)【考点】二次型【难易度】2 0 0【详解】由 x = Py，故 f =xTAx = yT(PTAP)y =2y

6、：+y；-y：且：PTAP= 0 1 00 0 -1 _jT T T 2 2 2所以 f =x Ax=y (Q AA)y = 2y1 f g，故选(A)7、若A, B为任意两个随机事件，则【详解】 P(A) - P(AB), P(B) - P(AB)P(AB)乞 P(A)2P(B)故选(C)8、设随机变量 X, Y不相关，且EX =2,EY=1,DX =3,则E X X丫一2二(A) -3 ( B) 3 (C) -5 ( D) 5【答案】(D)【考点】【难易度】【详解】二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上In cosx9、 lim 2二X 0 X21【答

7、案】-丄2【考点】极限的计算【难易度】H2【答案】 一4【考点】积分的计算【难易度】11、若函数 z=z(x,y)由方程 ez + xyz+x + cosx = 2 确定，则 dz(叩)= 【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令 F (x, y, z) = ez xyz x cosx -2，贝y Fx = yz 1 -sin x, Fy = xz, Fz 二 xy ,又当 x=0,y=1 时，z=0，所以 =_E = _1，竺C F /-h,(0,1) Fz Cyy (0,1)12、设i 是由平面x亠y亠z =1与二个坐标平面所围成的空间区域，贝U1【答案】-4【考点】三重积分的计算【

8、难易度】【详解】由轮换对称性，得其中Dz为平面z = z截空间区域 W所得的截面，其面积为 -(1- z)2.所以2-1I1-02I1III IIIFi001i22rHI010AIIIq2r213、n阶行列式00III-12【答案】2n1-2【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N (1,0,1,1,0)，贝U P(XY -Y :：: 0)=1【答案】12【考点】【难易度】【详解】；(X,Y)N(1,0,1,1,0), XN(1,1)Y N(0,1),且 X,Y独立:、X -1 N(0,1),卩仪丫-Y = p(X -1)Y 01三、解

9、答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数 f(x)=x al n(1 x) bx si nx , g(x) = kx3，若 f (x)与 g(x)在 x； 0 是等价无穷小, 求a, b, k值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】f (x)二x aln(1 x) bx sinx-f (x)与g(x) =kx3是等价无穷小16、(本题满分10分)设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的x0 I，曲线y = f (x)在点(X), fCxJ)处 的切线与直线x=x0及x轴所围成的

10、区域的面积为 4，且f(0) =2，求f (x)的表达式【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：x=xo处的切线方程为 1 : y = f (xo)(x-Xo) f(Xo)i iX c.y 81 8又因y(o)= 2，所以c =，故y .2 4 -x17、(本题满分1o分)2 2已知函数f (x, yx y xy，曲线C：x y x3，求f (x, y)在曲线C上的最大方向导数【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模 .，故故f (x, y)在曲线C上的最大方向导数为 J(1 + y f +(1 + x)2，其中x

11、, y满足x2 + y2 + xy = 3，即就求函数 (1 y)2 (1 x)2在约束条件x2 y2 xy - 3 = 0下的最值.构造拉格朗日函数 F (x, y, J = (V y)2 (V x) (x2 y2 x3)=2(1 +x) +2 扎x + 扎y = 0 ex尸F令 穴 “(I +y) +2对 + 扎x=0可得(),-(2,2),(2)t?F 2 2=x + y +xy3 = 0其中 z(1,14,z(-1,-1) =0,z(2, 一1) = 9 二 z(1,2)综上根据题意可知 f(x, y)在曲线C上的最大方向导数为 3 .18、 (本题满分10分)(I )设函数u(x),

12、v(x)可导，利用导数定义证明(n )设函数U(x),u2(x).un(x)可导，f(X)=比&)出&).n(x),写出f(x)的求导公式【考点】导数定义【难易度】【详解】.19、 (本题满分10分)已知曲线L的方程为 zfx - y ,起点为a(0八2,0)，终点为B(0,f 2,0)，计算曲线积 (z = x,分 I 二 3 z)dx (z2 _x2 y)dy (x2 y2)dz【考点】曲线积分的计算【难易度】X = cos日,【详解】曲线L的参数方程为 y = 2 sin d r从.至U，2 2z= cos 日,20、 (本题满分11分)设 向量组：仆：-2/3是3维向量空间L 3的一个

13、基，=2- 2k3 , -2=2-2 ,：3 二：1 (k 1) 3。(I)证明向量组 -1, -2, -3是L 3的一个基；(n)当k为何值时，存在非零向量 在基：、，与基, -2, :3下的坐标相同，并求出所有【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】:仆2,3下的坐标为即（P - E）x = 0=（X1,X2,X3）T，贝V 在基：1, ：2, ：3 下的坐标为 PX，10111P E=010 =-k = 0 ,得 k = 0 ,并解得 x = c02kk2k0kJ丿X，得由c为任意常数。从而上= -c：C：dC为任意常数。21、（本题满分11分）2-3 1-20、设矩阵A =-13-3相似

14、于矩阵B-0b0J-2a丿031丿（）求a,b的值.（n）求可逆矩阵P，使得P_1AP为对角阵.【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】r1 -23、1-231 -23T000L 2一3-121T011_12b011丿00522、(本题满分11 分)设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第 2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;(n)求【考点】【难易度】pfx 3? = 2l n2dx =-L3 8(I) pW=k二Ck(l)2(7)2=(k-1)(l)2(7)2,k=2,3,48 8 8 8【详解】_ : 1 2 7(二)EY 八 k(k -1)( )(y2 8 81 二 764：.k(k-1)(8)k1 -he设级数 S(x) 、 k(k-1)xk64心xk亠64心 64 (1-x)3S(7) -16 所以 EY =S(7) -168 823、(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 其中二为未知参数，X1? X2.Xn为来自该总体的简单随机样本(I)求d的矩估计(n)求二的最大似然估计【考点】【难易度】【详解】由题可得(.)(二)联合概率密度(甘 d I n f nIn f - -n ln(1 二 0，故取d 日 1 -9