单元6+平面图形的几何性质要点.docx

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单元6+平面图形的几何性质要点

一、课题粱的正应力及其强度条件

二、课型：

课堂讲解

三、授课日期________星期_____节次_______

四、知识点：

1.平面几何图形的重心和形心概念；一般物体、均质物体和均质薄板的重心坐标的计算。

2.静矩的概念和计算。

（包括简单图形和组合平面图形）。

3.惯性矩、惯性积、惯性半径的概念，平行移轴公式。

4.形心主惯性轴和主惯性矩的概念。

梁纯弯曲时的正应力分布规律及正应力计算公式；梁的正应力强度条件及强度计算；矩形截面与工字形截面梁剪应力的计算公式、常用截面梁的最大剪应力公式；梁的剪切强度条件；梁的合理截面形状、提高梁抗弯强度的措施。

5、梁变形的概念；挠曲线近似微分方程；抗弯刚度；叠加法求梁的变形；梁的刚度条件；提高梁刚度的措施。

6、一点处的应力状态、单元体、平面应力状态、主应力、主平面，最大切应力；梁的主应力迹线；强度理论简介。

掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。

7、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。

了解梁的主应力迹线；了解强度理论。

五、教学要求：

1.理解重心和形心的概念，掌握坐标计算。

2.能够熟练运用公式计算简单图形和组合图形的静矩、惯性矩。

3.识记简单图形对形心轴的惯性矩。

4.灵活运用平行移轴公式。

5、掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。

6、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。

7、理解应力状态、单元体的概念；掌握平面应力状态分析的解析法；掌握主应力、主平面、最大剪应力的概念及其计算；了解梁的主应力迹线；了解强度理论。

六、教学过程

课题1重心和形心

1.1重心的概念

地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。

可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。

但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。

这些平行力系的合力就是物体的重力

1.2一般物体重心的坐标公式

1．一般物体重心的坐标公式

如图6—1所示，为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小块，各微小块重力分别为G1、G2、·…··Gn，其作点的坐标分别为（x1、y1、z1）、（x2、y2、z2）…（xn、yn、zn），各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G=∑Gi，其作用点的坐标为C（xc、yc、zc）。

对y轴应用合力矩定理，有：

图6-1

将物体连同坐标转900而使坐标面oxz成为水平面，再对z轴应用合力矩定理，可得：

因此，一般物体的重心坐标的公式为：

（6-1）

2．均质物体重心的坐标公式

对均质物体用γ表示单位体积的重力，体积为V，则物体的重力G=Vγ，微小体积为Vi，微小体积重力Gi=Vi·γ，代入式（4—1）得均质物体的重心坐标公式为：

（6-2）

由上式可知，均质物体的重心与重力无关。

所以，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。

对均质物体来说重心和形心是重合的。

3．均质薄板的重心（形心）坐标公式

对于均质等厚的薄平板，如图6-2所示取对称面为坐标面oyz，用δ表示其厚度，A表示微体积的面积，将微体积Vi=δ·Ai及V=δ·A代人式（6-2），得重心（形心）坐标公式为:

∑Aiyi∑Aizi

yc=————zc=———（4-3）

AA

图6-2

4．平面图形的形心计算

形心就是物体的几何中心。

因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，则形心一定在对称轴或对称中心上。

如图6-3所示。

若平面图形是一个组合平面图形，则可先将其分割为若干个简单图形,然后可按式（6-3）求得其形心的坐标，这时公式中的Ai为所分割的简单图形的面积，而zi,yi为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。

另外，有些组合图形,可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将挖去的面积用负面积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。

图6-3

【6-1】试求图6-4所示T形截面的形心坐标。

图6-4

【解】将平面图形分割为两个矩形，如图4-4所示，每个矩形的面积及形心坐标为：

由式（6-3）可求得T形截面的形心坐标为：

【例6-2】试求图6—5所示阴影部分平面图形的形心坐标。

【解】将平面图形分割为两个圆，如图6-5所示，每个圆的面积及形心坐标为

图6-5

由式（6-3）可求得阴影部分平面图形的形心坐标为：

课题2静矩

2.12.1定义

任意平面图形上所有微面积dA，与其坐标y（或z）乘积的总和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩，用Sz（或Sy）表示，即：

（6-4）

由上式可知，静矩为代数量，它可为正，可为负，也可为零。

2.22.2简单图形的静矩

简单图形的面积A与其形心坐标yc（或zc）的乘积，称为简单图形对z轴或y轴的静矩，即：

Sz=A·yc

Sy=A·zc（6-5）

当坐标轴通过截面图形的形心时，其静矩为零;反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。

2.3组合平面图形静矩的计算

Sz=∑Ai·yci

Sy=∑AI·zci（6-6）

式中Ai-----各简单图形的面积；

yci、zci-----各简单图形的形心坐标。

课题3惯性矩、惯性积、惯性半径

3.1惯性矩、惯性积、惯性半径的定义

3.1.1惯性矩

图6—6所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y（或z）平方乘积的总和，称

为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示，即：

图6-6

（6-7）

3.1.2惯性积

任意平面图形上所有微面积

dA与其坐标z、y乘积的总和，称为该平面图形对z、y两轴的惯性积，用Ixy表示，即：

（6-8）

惯性积可为正，可为负，也可为零。

常用单位为m4或mm4。

可以证明，在两正交坐标轴中，只要z、y轴之一为平面图形的对称轴，则平面图形对z、y轴的惯性积就一定等于零。

3.1.3惯性半径

在工程中为了计算方便，将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即：

（6-9）

式中ix、iy--平面图形对z、y轴的惯性半径，常用单位为m或mm。

4．简单图形的惯性矩及惯性半径

（1）简单图形对形心轴的惯性锖（由式6-7积分可得）

【例6—3】试计算图6—7所示由两根N020槽钢组成的截面对形心轴z、y的惯性矩。

图6-7

【解】组合截面有两根对称轴，形心C就在这两对称轴的交点。

由型钢表查得每根槽．心C1或C2到腹板边缘的距离为19．5mm，

整个截面对形心轴的惯性矩应等于两根槽钢对形心轴的惯性轴之和，故得：

课题4梁弯曲时的应力及强度计算

由于梁横截面上有剪力Q和弯矩M两种内力存在，所以它们在梁的横截面会引起相应的剪应力和正应力，

5.1梁横截面上正应力

1、正应力分布规律

（1）平面假设各横向线代表横截面，变形前后都是直线，表明截面变形后仍保持平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。

（2）单向受力假设将梁看成由无数纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。

从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变化中，必有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层。

中性层与横截面的交线称中性轴，中性轴通过横截面形心，且与竖向对称轴垂直，并将横截面分为受压和受拉两个区域。

由此可知，梁弯曲变形时，各截面绕中性轴转动，使梁内纵向纤维伸长和缩短，中性层上各纵向纤维的长度不变。

通过进一步的分析可知，各层纵向纤维的线应变沿截面高度应为线性变化规律，从而由虎克定律可推出，梁弯曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化。

2、正应力计算公式

如下图所示，根据理论推导（推导从略），梁弯曲时横截面土任一点正应力的计算公式为：

式中M——横截面上的弯矩；．

y——所计算应力点到中性轴的距离；

Iz——截面对中性轴的惯性矩。

由式（9-4）说明，梁弯曲时横截面上任一点的正应力口与弯矩M和该点到中性轴距离y成正比，与截面对中性轴的惯性矩Iz成反比，正应力沿截面高度呈线性分布；中性轴上（y=o）各点处的正应力为零；在上、下边缘处（y=ymax；）正应力的绝对值最大。

用上式计算正应力时，M和y均用绝对值代入。

当截面上有正弯矩时，中性轴以下部分为拉应力，以上部分为压应力；当截面有负弯矩时，则相反。

5.2梁横截面上的剪应力

1．剪应力分布规律假设

对于高度h大于宽度b的矩形截面梁，其横截面上的剪力Q沿y轴方向，如下图所示，现假设剪应力的分布规律如下：

（1）横截面上各点处的剪应力τ都与剪力Q方向一致；

（2）横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。

2、矩形截面梁的剪应力计算公式

根据以上假设，可以推导出矩形截面梁横截面上任意一点处剪应力的计算公式为：

式中V——横截面上的剪力；

IZ——整个截面对中性轴的惯性矩；

b——需求剪应力处的横截面宽度；

SZ——横截面上需求剪应力点处的水平线以上（或以下）部分的面积A。

对中性轴的静矩。

I

用上式计算时，V与SZ均用绝对值代人即可。

现求上图所示矩形截面上任意一点的剪应力，该点至中性轴的距离为y，该点水平线以上横截面面积A对中性轴的静矩为：

上式表明剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。

在上、下边缘处，剪应力为零；在中性轴上（y=0），剪应力最大，其值为：

由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力是平均剪应力的1．5倍，发生

在中性轴上。

3．工字形截面梁的剪应力

工字形截面梁由腹板和翼缘组成腹板是一个狭长的矩形，所以它的剪应力可按矩形截面的剪应力可按矩形截面的剪应力公式计算，即：

式中d——腹板的宽度；

S——横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）至边缘部分面积A”对中性轴的静矩。

由上式可求得剪应力τ沿腹板高度按抛物线规律变化，如上图所示。

最大剪应力发生在中性轴上，其值为：

5.3梁的强度条件

1．梁的正应力强度条件

（1）最大正应力

在强度计算时必须算出梁的最大正应力。

产生最大正应力的截面称为危险截面。

对于等直梁，最大弯矩所在的截面就是危险截面。

危险截面上的最大应力点称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。

对于中性轴为截面对称轴的梁，其最大正应力的值为：

式中Wz——抗弯截面系数（或模量），它是一个与截面形状和尺寸有关的几何量，其常用单位为m3或mm3。

对高为h、宽为b的矩形截面，其抗弯截面系数为：

对直径为D的圆形截面，其抗弯截面系数为：

对工字钢、槽钢、角钢等型钢截面的抗弯截面系数眠可从附录型钢表中查得。

（2）正应力强度条件

为了保证梁具有足够的强度，必须使梁危险截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，即：

上式为梁的正应力强度条件。

根据强度条件可解决工程中有关强度方面的三类问题。

1）强度校核在已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的情况下，可校核梁是否满足正应力强度条件。

2）设计截面当已知梁的荷载和所用的材料时，可根据强度条件，先计算出所需的最小抗弯截面系数：

然后根据梁的截面形状，再由w。

值确定截面的具体尺寸或型钢号。

3）确定许用荷载已知梁的材料、横截面形状和尺寸，根据强度条件先算出梁所能承受的最大弯矩，即：

然后由M之；与荷载的关系，算出梁所能承受的最大荷载。

2．梁的剪应力强度条件

为保证梁的剪应力强度，梁的最大剪应力不应超过材料的许用剪应力[τ]即：

上式称为梁的剪应力强度条件。

在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。

通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪应力强度条件进行校核。

对于细长梁，按正应力强度条件设计的梁一般都能满足剪应力强度要求，就不必作剪应力校核。

但在以下几种情况下，需校核梁的剪应力：

①最大弯矩很小而最大剪力很大的梁；②焊接或铆接的组合截面梁（如工字型截面梁）；③木梁，因为木材在顺纹方向的剪切强度较低，所以木梁有可能沿中性层发生剪切破坏。

【例题】一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为N022a，梁上荷载如下图所示。

已知L=6mF=30kN，q=6kN／m，[σ]=170MPa，[τ]=100Mpa,检查此梁是否安全。

【解】

（1）绘剪力图、弯矩图如上图所示

（1）

（2） （3） 由型钢表查得有关数据

d=0.75cm

：

3）校核正应力强度及剪应力强度

所以，梁是安全的。

3．梁的合理截面

设计梁时，一方面要保证梁具有足够的强度，使梁在荷载作用下能安全的工作；同时应使设计的梁能充分发挥材料的潜力，以节省材料，这就需要选择合理的截面形状和尺寸。

梁的强度一般是由横截面上的最大正应力控制的。

当弯矩一定时，横截面上的最大正应力σmax。

与抗弯截面系数wz成反比，Wz愈大就愈有利。

而Wz的大小是与截面的面积及形状有关，合理的截面形状是在截面面积A相同的条件下，有较大的抗弯截面系数wz，也就是说比值wz／A大的截面形状合理。

由于在一般截面中，Wz与其高度的平方成正比，所以尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较远的地方，这样在截面面积一定的情况下可以得到尽可能大的抗弯截面系数而使最大正应力σmax减少，或者在抗弯截面系数wz一定的情况下，减少截面面积以节省材料和减轻自重。

所以，工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形

截面立放比平放合理，正方形截面比圆形截面合理。

梁的截面形状的合理性，也可从正应力分布的角度来说明。

梁弯曲时，正应力沿截面高度呈直线分布，在中性轴附近正应力很小，这部分材料没有充分发挥作用。

如果将中性轴附近的材料尽可能减少，而把大部分材料布置在距中性轴较远的位置处，则材料就能充分发挥作用，截面形状就显得合理。

所以，工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面面形式。

工程中常用的空心板、薄腹梁等就是根据这个道理设计的。

此外，对于用铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的抗压强度比抗拉强度大得多，所以，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘部分置于受拉侧。

为了充分发挥材料的潜力，应使最大拉应力和最大压应力同时达到材料相应的许用应力。

课题5梁的变形

为了保证梁在荷载作用下的正常工作，除满足强度要求外，同时还需满足刚度要求。

刚度要求就是控制梁在荷载作用下产生的变形在一定限度内，否则会影响结构的正常使用。

例如，楼面梁变形过大时，会使下面的抹灰层开裂、脱落吊车梁的变形过大时，将影响吊车的正常运行等等。

6.1挠度和转角

梁在荷载作用下产生弯曲变形后，其轴线为一条光滑的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线或梁的弹性曲线。

如下图的悬臂梁所示。

AB表示梁变形前的轴

线，AB/表示梁变形后的挠曲线。

（1） 挠度梁任一横截面形心在垂直于梁轴线方向的竖向位移CC/称为挠度，用y表示，单位为mm，并规定向下为正。

（2） 转角梁任一横截面相对于原来位置所转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，单位为rad（弧度），并规定顺时针转为正。

6.2用叠加法求梁的变形

由于梁的变形与荷载成线性关系。

所以，可以用叠加法计算梁的变形。

即先分别计算每一种荷载单独作用时所引起梁的挠度或转角，然后再将它们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作用下的挠度或转角。

这种方法称为叠加法。

梁在简单荷载作用下的挠度和转角可从表8—2中查得。

6.3梁的刚度条件

f/l=ymax/l≤〔f/l〕

例题：

一简支梁由NO.28工字钢制成，跨中承受一集中荷载，如下图所示，已知F=20KN,L=9m,E=210Gpa,[σ]=170Mpa,[f/L]=1/500.试校核梁的强度和刚度。

6.4提高梁刚度的措施

要提高梁的刚度，需从以下几方面考虑。

6.4.1提高梁的抗弯刚度EI

梁的变形与EI成反比，增大梁的．EI将使梁的变形减小。

由于同类材料的E值不变，因而只能设法增大梁横截面的惯性矩I。

在面积不变的情况下，采用合理的截面形状，例如采用工字形、箱形及圆环形等截面，可提高惯性矩I，从而也就提高了EI

6.4.2减小梁的跨度

梁的变形与梁的跨长L的n次幂成正比。

设法减小梁的跨度，将会有效地减小梁的变形。

例如将简支梁的支座向中间适当移动变成外伸梁，或在梁的中间增加支座，都是减小梁的变形的有效措施。

6.4.3改善荷载的分布情况

在结构允许的条件下，合理地调整荷载的作用位置及分布情况，以降低最大弯矩,从而减小梁的变形。

例如将集中力分散作用，或改为分布荷载都可起到降低弯矩，减小变形。

课题6梁的应力状态

7.1梁的主应力和主应力迹线

1．梁的主应力

梁在剪切弯曲时，横截面上除了上、下边缘及中性轴上各点处只有一种应力外，其余各点都同时存在正应力和剪应力。

利用上一节的公式可以确定梁内任一点处的主应力。

下图所示为一个剪切弯曲的梁。

从任一横截面m-m上取1、2、3、4、5五个单元体。

各单元体x面上的正应力和剪应力可以由公式求得。

即：

在各单元体的y面上，σy=0，τy=-τx

将σx=σ、σy=0、τx=τ代人式（6—4）和式（6—5）式可得梁的主应力及主平面位置的计算公式，即：

由上式可见σmax一定大于零σmin一定小于零。

所以σ1=σmax是主拉应力,σ3=σmin是主压应力，与纸面平行的主平面上的主应力σ2=0。

用上面两式求出各点的主应力及方向如下图（c）所示。

2．主应力迹线的概念

若在梁内取若干个横截面，从其中任一横截面1—1上的任一点a开始，画出a点处的主应力（主拉应力σ1或主压应力σ3）方向，将其延长与邻近的截面2—2相交于b点，再画求出b点处的主应力方向，延长与截面3—3交于c点，依次继续下去，便可得到一条折线，如下右图（a）所示。

如果截面取到无穷多，折线就会变成光滑的曲线。

从截面上的不同点出发就可以得到不同的光滑曲线，曲线上任一点的切线即代表该点的主应力方向。

这样的曲线称为梁的主应力迹线。

下右图（b）所示为一简支梁在均布荷载作用时的主应力迹线。

其中，实线代表主拉应力迹线，虚线代表主压应力迹线。

因为单元体的主拉应力和主压应力的方向总是相互垂直的，所以，主拉应力迹线和主压应力迹线总是正交的。

梁的上、下边缘处，主应力迹线为水平线，梁的中性层处，主应力迹线的倾角为45度。

在钢筋混凝土梁中，受拉钢筋的布置大致与主拉应力迹线一致（下右图c所示）。

在工程实际中，考虑到施工的方便，将钢筋弯成与主应力迹线相接近的折线形，而不是曲线形。

七、小结

八、作业

九、课后反馈