培优专题12平行四边形的性质和判定.docx

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培优专题12平行四边形的性质和判定

平行四边形的性质和判定

第一部分：

知识点回顾

知识点1平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作“□ABCD”。

知识点2平行四边形的性质：

边：

对边平行且相等。

角：

对角相等，邻角互补。

对角线：

对角线互相平分。

1、（2010•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是．

2、如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是cm．

知识点3平行四边形的判定：

边：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

角：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

、

1、（2011•郴州）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB=DC，AD=BCB．AB∥DC，AD∥BC

C．AB∥DC，AD=BCD．AB∥DC，AB=DC

2、（2011•泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：

①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）

A．1组B．2组C．3组D．4组

知识点4两条平行线的距离。

定义：

在两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

性质：

两平行线间距离处处相等。

已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

知识点5三角形的中位线

定义：

连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

（2012•德阳）点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE=5，则

BC=

第二部分：

例题剖析

已知：

如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF。

求证：

四边形BFDE是平行四边形。

第三部分：

典型例题

例1、如图，

是平行四边形

的对角线

上的点，

．

请你猜想：

与

有怎样的位置关系和数量关系？

并对你的猜想加以证明。

猜想：

证明：

【变式练习1】已知，在□ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF交AB于G，BE交CD于H。

求证：

EH=FG。

【变式练习2】如图，在

ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE=CF，BG=DH。

求证：

EF与GH互相平分。

例2、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD交于F。

求证：

四边形AECF是平行四边形。

【变式练习】如图,在

ABCD中，AE=CF，M、N分别ED、FB的中点．求证：

四边形ENFM是平行四边形．

例3：

如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。

【变式练习】如图：

点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是什么图形？

并说明理由。

第四部分：

思维误区

误区一：

不能正确地理解平行四边形的判定方法

例：

下列能判定四边形是平行四边形的条件是（）

A、一组对边平行，另一组对边相等B、一组对边平行，一组对角相等

C、一组对边平行，一组邻角互补D、一组对边相等，一组邻角相等

误区二：

不注意分类

在□ABCD中，AE平分∠DAB，交BC于E，将BC分为5和4两部分，求平行四边形的周长。

误区三：

错误地运用条件

如图，已知□ABCD中，过对角线的交点O的直线交AD、CB的延长线于E和F，证明：

DE＝BF

第五部分：

巩固练习

A组

1、在

ABCD中，

，则

____°

2、已知

ABCD的周长为30cm，

，则

____cm。

3、已知四边形ABCD中，AB∥DC，则可以添加条件____________________，使四边形ABCD是平行四边形。

（图形中不再添加辅助线）

4、□ABCD中，AC、BD相交于点O，

，则

的周长为_______，

的面积为_______。

5、在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A．AB平行且等于CDB．

C．

D．

6、能判别一个四边形是平行四边形的条件是（）

A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补

C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等

7、平行四边形不具有的性质是（）。

A．对边平行B．对边相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分

8、□ABCD中，∠A：

∠B：

∠C：

∠D的值可以是（）。

A．1：

2：

3：

4B．1：

2：

2：

1C．2：

2：

1：

1D．2：

1：

2：

1

9、如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（　　）

A．2cmB．1.5cmC．1.2cmD．1cm

10、若□ABCD的∠BAD的平分线交BC于E，且AE=BE，则∠BCD等于（）。

A．30°B．60°C．90°D．120°

11、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于（　　）

A．100°B．80°C．60°D．40°

12、顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（　　）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

13、（2010•毕节地区）如图，已知：

平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：

AE=DG．

14、已知：

如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：

BE=CF。

15、已知：

如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、AB上DF∥BE，EF交BD于点O．

求证：

EO=OF．

16、如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，OE=OF，OA=OC．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

B组

1、如图所示，在▱ABCD中，AB=5，AD=8，DE平分∠ADC，则BE=

2、（2011•聊城）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点．若OE=3cm，则AD的长是cm．

3、从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线，如果这两条高线的夹角是135°，这个平行四边形的锐角的度数是．

4、如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形ABCD满足条件时，△PBA的面积始终保持不变。

（注：

只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

5、如图，

ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是_______cm．

6、如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）

A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E、F,连接ED，BF.求证：

∠1=∠2

8、如图，点A、D、B、E在同一直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明。

（不再添加其他的字母与线段）

9、已知：

ABCD中，直线MN//AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。

求证：

PM=QN。

10、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，如果∠CEM=40°，则∠DME的度数是多少度。

11、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不必证明）

（温馨提示：

在图

（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE）

（1）如图

（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交CD、BA于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.

（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD形状并证明.

第六部分：

中考体验

1、（2011.广州）已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）

A.4B.121C.24D.28

2、（2009·桂林）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为（）

A、3B、6C、12D、24

3、（2009•茂名）杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（　　）

A．平行四边形B．矩形

C．正方形D．菱形

4、（浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图2），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB//EF//DC，BC//GH//AD，那么下列说法中错误的是（）

A．红花、绿花种植面积一定相等

B．紫花、橙花种植面积一定相等

C．红花、蓝花种植面积一定相等

D．蓝花、黄花种植面积一定相等

5.（2009广州）如图6，在

ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=

，则ΔCEF的周长为（）

（A）8（B）9.5（C）10（D）11.5

6、（福建龙岩）如图（3），在□ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若再增加一个条件_____________，就可推得BE=DF．

7.（陕西）已知□ABCD的周长为32cm,∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE:

ED=3：

2，则AB＝______________．

8、（2012•怀化）如图，在▱ABCD中，AD=8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=

9、（2011•临沂）如图，▱ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为

10、（2012·广东）已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO。

求证：

四边形ABCD是平行四边形。

11、（2009·广州）

如图9，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。

证明：

四边形DECF是平行四边形。

12、（2010·广东）如图，分别以

的直角边AC及斜边AB向外作等边

，等边

．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

⑴试说明AC＝EF；

⑵求证：

四边形ADFE是平行四边形．

13、（2008•娄底）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．

（1）求证：

△ABE≌△DFE；

（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．

14、（2006•长春）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．

（1）求证：

△ABC≌△EAD；

（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．

15、（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=

AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运

动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？