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考研数学讲座

考研数学讲座（3）极限概念要体验

极限概念是微积分的起点。

说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。

很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。

”

近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。

他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。

”

国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。

而牛顿就在这一点上率先突破。

极限概念起自于对“过程”的观察。

极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。

自变量的变化趋势分为两类，一类是x →x0 ；一类是x →∞，

“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？

”如果是，则称数a为函数的极限。

 “无限接近”还不是严密的数学语言。

但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。

学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。

学习体验相应的发展趋势。

其次才是计算或讨论极限值。

自然数列有无限增大的变化趋势。

按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。

自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；

回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，

x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。

x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。

x →0+ 时，对数函数lnx趋于 －∞ ；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。

x →∞ 时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。

在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。

我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。

当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。

具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。

函数的图形在 +1与－1之间上下波动140多次。

在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是 “电子云”。

当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。

x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。

1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。

更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。

）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。

这就是高阶，低阶概念。

考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。

多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。

这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。

没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。

但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。

数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。

 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。

这就是

“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限 ，则当∣x∣充分大时，（你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，） 总有f（x）＞0 ”

*“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限 ，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”

这是已知函数的极限而回头观察。

逆向思维总是更加困难。

不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。

除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。

若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，（你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，） 函数的绝对值恒小于1

若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，（  你不仿设定一点x0 ，  当∣x∣＞x0时，） 函数的绝对值全大于1

*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1

（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1 ）

没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。

   你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。

考研数学讲座（4）“存在”与否全面看

定义，是数学的基本游戏规则。

所有的定义条件都是充分必要条件。

即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。

讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。

1． 海涅定理

观察x 趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0 ；我们总是向未来，看发展。

因而最直观的等价条件就是海涅定理：

定理

（1） 极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限A存在。

这个定理条件的“充分性”没有实用价值。

事实上我们不可能穷尽x 逼近 x0 的所有方式。

很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。

即唯一性定理：

“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。

”

唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。

2．用左右极限来描述的等价条件

用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：

定理

（2） 极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。

这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。

考研数学年年考连续定义，导数定义。

本质上就是考查极限存在性。

这是因为

函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。

函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。

由于初等函数有较好的分析性质。

考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。

考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。

（3）突出极限值的等价条件

考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：

定理（3） 函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。

从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0

如果记α=f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：

f（x）=A+α（无穷小）

考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。

“存在”与否全面看。

有利于我们理解前述等价条件。

我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。

例1   x 趋于0时，函数 exp（1/x）不存在极限。

分析  在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。

所以

x 从左侧趋于 0 时，指数 1/x 始终是负数，故左极限  f（0－0）=0 ，

x 从右侧趋于 0 时，函数趋向 +∞ ，   

 由定理

（2），函数不存在极限。

也不能说，x 趋于0 时，exp（1/x）是无穷大

但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线 x=0

例2   x 趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。

俗称震荡不存在。

分析  用海涅定理证明其等价问题，“x 趋于+∞时，sinx 不存在极限。

”

分别取 x=nπ及 x=2nπ两个数列，n 趋于+∞时，它们都趋于 +∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理

（1））。

故sinx不存在极限。

例3   x 趋于 ∞时，函数 y=arctgx 不存在极限。

分析  把 ∞视为一个虚拟点，用定理

（2）。

由三角函数知识得，

x 趋于 +∞时，函数极限为π/2 ，x 趋于 －∞时，函数极限为  －π/2 ，

故，函数y=arctgx不存在极限。

请注意，证明过程表明，函数 y=arctgx 的图形有两条水平渐近线。

即

－∞方向有水平渐近线  y= －π/2 ； +∞方向则有  有y=π/2

例4  当x → 1时， 函数 f（x）=（exp（1/（x－1）））（x平方－1）∕（x－1） 的极限

（A）等于2   （B）等于0    （C）为 ∞   （D）不存在但不为 ∞   

分析   考查 x → 1 时函数的极限 ，通常认为 x 不取 1 ；而 x≠1 时，可以约去分母（x－1），让函数的表达式化为  f（x）= （x+1）exp（1/（x－1））

左极限f（1－0）=0 ，x从右侧趋于1时，函数趋向 +∞ ，         （选（D））

（画外音：

多爽啊。

这不过是“典型不存在1”的平移。

）

例5    f（x）=（2+exp（1/x））∕（1+ exp（4/x））+  sinx ∕∣x∣ ,  求x趋于0时函数的极限。

分析  绝对值函数y =| x | 是典型的分段函数。

x =0 是其定义分界点。

一看就知道必须分左右计算。

如果很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。

实际上

x → 0- 时， lim  f（x）=（2+0）/（1+0）－1=1

x → 0+ 时， exp（1/x）→ +∞，前项的分子分母同除以 exp（4/x）再取极限

lim  f（x）=（0+0）/（0+1）+1=1

由定理

（2）得  x → 0 时 ， lim  f（x）=1

例6   曲线  y=exp（1/x平方）arctg（（x平方+x+1）∕（x－1）（x+2））的渐近线共有

（A）1条． （B）2条。

 （C）3条。

 （D）4条。

              选 （B） 

分析  先观察x趋于 ∞时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。

即 0，1 和－2；对于每个零点 x0 ，直线 x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。

实际上有

 x →∞时，limy=π/4 ，         曲线有水平渐近线 y=π/4

其中，  x →∞时， limexp（1/x平方）=1

                     lim（（x平方+x+1）∕（x－1）（x+2））=1   （分子分母同除以“x平方”）

考查“嫌疑点” 1和 －2时，注意运用“典型不存在3”，

f（1－0）= －eπ/2  ； f（1+0）= eπ/2 ，   x =1 不是曲线的竖直渐近线。

类似可以算得  x = －2不是曲线的竖直渐近线。

x → 0 时，前因式趋向+∞；后因式有极限 arctg（－1/2），x =0 是曲线的竖直渐近线。

啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。

看了上面几例，你有体会吗？

*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：

定理（4）夹逼定理 —— 若在点 x0 邻近（或 | x |充分大时）恒有 g（x） ≤ f（x） ≤ h（x）   ，且 x →x 0  （ 或x →∞） 时limg（x）=limh（x）=A      则必有       limf（x）=A

定理（5） 单调有界的序列有极限。

（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。

）

加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。

共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。

考研数学讲座（5）无穷小与无穷大

微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。

1. 概念

在某一过程中，函数 f（x）的极限为 0 ，就称 f（x）（这一过程中）为无穷小。

为了回避ε–δ语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。

无穷小是个变量，不是 0 ； y=0 视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。

但这是平凡的，没有一点意义。

通常被排除在讨论之外。

依据极限定义，无穷大不存在极限。

但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。

为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。

比如

x 从右侧趋于0时，limlnx= －∞；x 从左侧趋于π/2 时，limtgx=+∞

（潜台词：

仅仅表明它其绝对值有无限增大的趋势，并不表示极限存在。

）

无穷大与无界变量是两个概念。

无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。

无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。

在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。

y=tgx（在x →π/2左側时）是无穷大。

在（0，π/2）内 y=tgx 是无界变量

x 趋于 0 时，函数 y=（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。

不仿用高级语言来作个对比。

任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E ；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E 。

2. 运算与比较

有限个无穷小量的线性组合是无穷小 ；“∞－∞”则结果不确定。

乘积的极限有三类可以确定：

有界变量·无穷小 = 无穷小      无穷小·无穷小 = （高阶）无穷小

无穷大·无穷大 = （高阶）无穷大

其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。

例10   作数列x=1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---

              y=  0，1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---

两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。

这表示可能会有  无界·无界 = 有界

两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。

即“无穷小的比较”。

如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为 0 ，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。

无穷大有类似的比较。

无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。

x 趋于 0 时，α=xsin（1/x）和  β=x   都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但是，它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。

两个无穷小不能比较。

这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。

能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。

回到基本初等函数，我们看到

x 趋于 +∞时，y=x 的μ次方，指数μ＞0 的幂函数都是无穷大。

且习惯地称为 μ阶无穷大。

（潜台词：

这多象汽车的1档，2档，--- 啊。

）

x 趋于 +∞时，底数大于 1 的指数函数都是无穷大；底数小于 1 的都是无穷小。

x 趋于 +∞或 x 趋于0+ 时，对数函数是无穷大。

x 趋于 ∞时，sinx 及 cosx 都没有极限。

正弦，余弦，反三角函数都是有界变量。

请体验一个很重要也很有趣的事实。

（1） x → +∞时，  lim （x的n次方）∕exp（x）=0 ， 这表明：

“x 趋于 +∞时，指数函数 exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。

”

或者说，“x 趋于 +∞时，函数 exp（－x）是任意高阶的无穷小。

”

（2） x → +∞时，  limlnx∕（x的δ次方）=0； δ是任意取定的一个很小的正数。

这表明：

 “对数函数 lnx 是比 x的δ次方都还要低阶的无穷大。

”

在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”； 称 exp（－x）为“速降函数”。

只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。

它让我们更深刻地理解了基本初等函数。

如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。

例11  函数 f（x）=xsinx （A）当x →∞时为无穷大。

（B）在（－∞，+∞）内有界。

（       C）在（－∞，+∞）内无界。

（D）在 x→∞ 时有有限极限。

分析   这和 y=（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。

      （选（C））

例12  设有数列 Xn，具体取值为

                    若n为奇数，Xn=（n平方 + √n ）∕n ；若n为偶数，Xn=1∕n

则当 n → ∞ 时，Xn 是（A）无穷大量 （B）无穷小量  （C）有界变量  （D）无界变量    

分析  一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。

用唯一性定理。

选（D））

请与“典型不存在1”对比。

本质相同。

例13  已知数列 Xn 和 Yn 满足 n → ∞ 时，limXn Yn =0 ，则

（A）若数列 Xn 发散，数列 Yn  必定也发散。

（B）若数列 Xn 无界，数列 Yn  必定也无界。

（C）若数列 Xn 有界，数列 Yn 必定也有界。

（D）若变量 1∕Xn 为无穷小量，则变量 Yn 必定也是无穷小量。

分析  尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。

例10给了我们一个很好的反例。

对本题的（A）（B）（C）来说，只要 Yn 是适当高阶的无穷小，就可以保证 limXn Yn =0

无穷小的倒数为无穷大。

故（D）中条件表明 Xn 为无穷大。

要保证 limXn Yn =0 ，Yn  必须为无穷小量。

应选答案（D）。

考研数学指导（6）微观分析始连续

微分学研究函数。

函数是描述过程的最简单的数学模型。

由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。

大学数学还让学生学习两类“分段函数”。

或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。

微分学研究函数的特点，是先做微观分析。

即讨论函数的连续性，可导性，可微性。

再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。

即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。

1．函数的连续性

定义 ——  设函数 f（x） 在点 x0 的邻近有定义。

当 x 趋于 x0  时，如果函数有极限， 且极限值等于函数值 f（x0），就称函数 f 在点 x0 连续。

否则，称函数 f 在点 x0 间断。

x0 是它的间断点。

“函数f在点 x0 的邻近有定义”意味着，如果函数在点 x0 没有定义，那 x0 只是函数的一个孤立的无定义点。

也就是函数的一个天然的间断点。

y=1/x在原点就是这样的。

“有极限” 意味着存在。

在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。

”

函数在一点连续的定义等式，“左极限 = 右极限 = 中心点函数值”，最多可以得出两个方程。

如果在这里出题：

“用连续定义求参数值。

”则函数可以含一个或两个参数。

如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。

最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。

“有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。

介值定理——如果数 c 能被夹在连续函数的两个值之间，则 c 一定属于此函数的值域。

请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。

介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。

从理论上讲，求方程F（x）=0的根，可以转化为讨论函数F的零点。

例16   试证明，如果函数 f 在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。

分析  函数f在闭区间上连续，f 必有最大值 M=f（x1），最小值 m=  f（x2），闭区间 [m ，M] 内的任一数c ，自然就夹在 f 的两个最值之间，因而属于 f 的值域。

即 f 的值域就是这个闭区间。

例17   试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。

（潜台词：

没有零点的连续函数定号。

）

分析   如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。

则它取正取负必取零。

与已知矛盾。

（潜台词：

函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。

）

例18   函数f在闭区间 [a，b]上连续，其值域恰好也是 [a，b]，试证方程 f（x）=x 在区间 [a，b]上有解。

分析  作 F=f（x）－x ，它显然在已知闭区间上连续。

且有 F（a）≥0 而  F（b）≤0

   如果有一等号成立，则结论得证。

否则，用介值定理。

（潜台词：

要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。

）

2． 间断点分类

连续的对立面是间断。

人们把函数的间断点分为两类。

若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。

就称此点为第一类间断点。

若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。

第一类间断又分为两种。

左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。

若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。

对于第二类间断，我们只学了两个特例。

即

x=0 是震荡因子 y=sin（1/x） 的震荡间断点。

（ 画外音：

请联想“典型不存在

（2）”）

x=0 是函数 y=exp（1/x） 的无穷间断点。

   （ 画外音：

请联想“典型不存在

（1）”）

只要函数在 x0 的一个单側为无穷大，x0 就是函数的无穷间断点。

x= x0  是图形的竖直渐近线。

考题中经常把问题平移到别的点去讨论。

例 19  确定 y= exp（1/x） arctg（（x+1）/（x－1））的间断点，并说明其类型。

分析  函数的解析表达式中，分母有零点 0，1         （潜台词：

两个嫌疑犯啊。

）

在点 0 ，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零， 故 0 点是无穷间断点.

在点 1 ，前因子连续非零，后因子的左极限是 －π/2，右极限为π/2，第一类间断。

三个特殊的“不存在”记得越熟，计算左右极限就越快。

要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。

例20  设函数 f（x）=x∕（a+ exp（bx））在（－∞, －∞）内连续，且 x → －∞时，极限  limf（x）=0 ；

则常数 a ，b 满足（A）a <0，b <0  （B）a >0，b >0  （C）a≤0，b >0  （D）a≥0，b <0

分析  初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。

已知函数连续，则其分母不能为 0，而指数函数exp（bx） 的值域为（0,+∞），故 a≥ 0

又，x → －∞时，极限  limf（x）=0 表明， f（x） 分母是较分子x高阶的无穷大，即要指数函数exp（bx）为无穷大，只有 b <0，应选（D）。

（画外音：

一个4分题，多少概念与基础知识综合！

典型的考研题！

漂亮的考研题！

）

*例21 已知函数f（x）在区间 [a，b]上处处有定义，且单调。

若f（x）有间断点，则只能是第一类间断点。

分析  （构造法） 不仿设f（x）在区间 [a，b]上单增，但是有间断点x0 ；我们得证明f在点x0的左右极限都存在。

已设f在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。

事实上有

x → x0－ 时，f单增，显然 f（b） 是它的一个上界。

故左极限存在。

x → x0+  时，自变量从右向左变化，相应的f值单减。

显然 f（a） 是其一个下界。

右极限也存在。

构造法是微积分自己的方法。

它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。

考研数学指导（7）导数定义是重点

选定一个中心点 x0 ，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一