湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析.docx
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湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析
范文范例参考
2017年湖南省学业水平考试（真题）
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可
以是（）
A、正方体B、圆柱
C、三棱柱D、球
2.已知集合A{0,1},B{1,2}，则AB中元素的个数为（）
A、1B、2C、3D、4
3.已知向量，若，则a（x,1）,b（4,2）,c（6,3），若cab，则x（）
A、-10B、10C、-2D、2
4.执行如图2所示的程序框图，若输入x的值为-2，则输
出的y（）
A、-2B、0C、2D、4
5.在等差数列{}
a中，已知a1a211,a316，则
n
公差d（）
A、4B、5C、6D、7
1
6.既在函数
2
f（x）x的图象上，又在函数
1
g（x）x的
图象上的点是
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A、（0，0）B、（1，1）C、（2,
1
2
）D、（
1
2
2
）
7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平
面BEF的位置关系是（）
A、平行B、在平面内
C、相交但不垂直D、相交且垂直
8.已知sin2sin,（0,），则cos（）
A、31
B、C、
22
1
4
9.已知alog,b1,clog，则
2
22
1
2
D、3
2
A、abcB、bacC、cabD、cba
10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000
粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为（）
A、
4
5
B、
3
5
C、
1
2
D、
2
5
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.已知函数f（x）cosx,xR（其中0）的最小正周期为，则
.
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
服务，则抽出的学生中男生比女生多人。
13.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4,b3,sinC1，
则ABC的面积为。
x0,
14.已知点A（1,m）在不等式组y0,表示的平面区域内，则实数m的取值
xy4
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范围为。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为。
三、解答题：
本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
16.（本小题满分6分）
已知定义在区间[,]上的函数f（x）sinx的部分图象如图6所示.
（1）将函数f（x）的图象补充完整；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间.
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17.（本小题满分8分）
已知数列{a}满足an13an（nN*），且a26.
n
（1）求a1及an；
（2）设2
ba，求数列{bn}的前n项和Sn.
nn
18.（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名
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学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组
的概率.
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19（本小题满分8分）
已知函数
f（x）
2,0,xx
xx
2
2（x1）m,0
（1）若m1，求f（0）和f
（1）的值，并判断函数f（x）在区间（0,1）内是
否有零点；
（2）若函数f（x）的值域为[2,），求实数m的值.
19.（本小题满分10分）
已知O为坐标原点，点p（1,2）在圆
22
M:
xy4xay10上，
（1）求实数a的值；
（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；
（3）过点O作互相垂直的直线
l1,l2,l1与圆M交于A,B两点，l2与圆M交于
C,D两点，求|AB||CD|的最大值.
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2017年湖南省学业水平考试（参考答案）
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
20.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以
是（A）
A、正方体B、圆柱
C、三棱柱D、球
21.已知集合A{0,1},B{1,2}，则AB中元素的个数为（C）
A、1B、2C、3D、4
22.已知向量，若，则a（x,1）,b（4,2）,c（6,3），若cab，则x（D）
A、-10B、10C、-2D、2
23.执行如图2所示的程序框图，若输入x的值为-2，则输
出的y（B）
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A、-2B、0C、2D、4
24.在等差数列{}
a中，已知a1a211,a316，则
n
公差d（D）
A、4B、5C、6D、7
1
25.既在函数
fxx的图象上，又在函数
（）2
1
g（x）x的
图象上的点是（B）
A、（0，0）B、（1，1）C、（
2,
1
2
）D、（
1
2
2
）
26.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，
则直线CD与平面BEF的位置关系是（A）
A、平行B、在平面内
C、相交但不垂直D、相交且垂直
27.已知sin2sin,（0,），则cos（C）
A、
3
2
B、
1
2
C、
1
2
D、
3
2
28.已知
1
4
alog,b1,clog，则（A）
2
22
A、abcB、bacC、cabD、cba
29.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000
粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为（B）
A、
4
5
B、
3
5
C、
1
2
D、
2
5
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分.
30.已知函数f（x）cosx,xR（其中0）的最小正周期为，则
2.
31.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
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服务，则抽出的学生中男生比女生多1人。
32.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4,b3,sinC1，
则ABC的面积为6。
x0,
33.已知点A（1,m）在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值
y0,
xy4
范围为0m3。
34.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱
的体积为4。
三、解答题：
本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
35.（本小题满分6分）
已知定义在区间[,]上的函数f（x）sinx的部分图象如图6所示.
（1）将函数f（x）的图象补充完整；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间.
解：
（1）图象如图：
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（2）由图象可知，函数f（x）sinx在区间[,]上的单调增区间为[,]。
22
36.（本小题满分8分）
已知数列{a}满足an13an（nN*），且a26.
n
（1）求
a及an；
1
（2）设bnan2，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：
an3an
1
a
1
2
a
2
3a
1
6
a
n1a
3{
n
a
n
}
为等比数列，公比q3；
a
n
2
n
3
1
n1
（2）由已知可知，b232
n
S
n
b
1
b
2
b
3
b
n
2
0
（3
1
3
2
3
n
3
1
）
（
2
2
2
2）
2
1
1
n
3
3
2n
n
3
12n
37.（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名
学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
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（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2
人，求选出的2人来自同一组的概率.
解:
（1）由题可知，本次测试成绩的众数为
7080
75
2
（2）成绩在[80,90]的频率为0.015100.15，学生人数为200.153人，
设为a,b,c，成绩在[90,100]的频率为0.010100.1，学生人数为200.12
人，设为A,B,则从5人中任选2人的基本事件如下：
（a,b）,（a,c）,（a,A）,（a,B）,（b,c）,（b,A）,（b,B）,（c,A）,（c,B）,（A,B）共10个，其中2
人来自同一组的基本事有（a,b）,（a,c）,（b,c）,（A,B）,其4个基本件。
P（2人来自同一组）
4
10
2
5
19（本小题满分8分）
已知函数
f（x）
2,0,xx
xx
2
2（x1）m,x0
（1）若m1，求f（0）和f
（1）的值，
并判断函数f（x）在区间（0,1）内是否有零点；
（2）若函数f（x）的值域为
[2,），求实数m的值.
2x,x0
解：
（1）2f（0）2111,f
（1）1,
m1f（x）
2（x1）1,x0
f（0）f
（1）0f（x）在区间（0,1）内有零点.
（2）当x0时，f（x）的取值范围是（0,1），当x0时，f（x）是二次函数，要
2
使函数f（x）的值域为[2,），则f（x）2（x1）m的最小值为2，由二次函
2
数可知，当x1时，f（x）2（x1）m取最小值2，即f
（1）m2.
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38.（本小题满分10分）已知O为坐标原点，点P（1,2）在圆
22
M:
xy4xay10上，
（1）求实数a的值；
（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；
（3）过点O作互相垂直的直线
l1,l2,l1与圆M交于A,B两点，l2与圆M交于
C,D两点，求|AB||CD|的最大值.
解：
（1）把P（1,2）点代入圆
22
M:
xy4xay10得a0；
（2）圆心坐标为M（2,0），k2，过圆心且与OP平行的直线方程为
OP
y02（x2），即y2x22
（3）设直线AB的方程为kxy0，直线CD的方程为xky0，圆心到直线AB
的距离为
2
d，
1
2
1k
|
4
AB|23，同理可
2
1k
|
CD
|
2
3
2
4k
1k
2
4
k
2
）（3
4k
1
2
2
k
）
4
6
（
1
2
44k
22
kk
1
2
）
4
2
2
|AB||CD|4（34
1
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