高中数学人教版必修2配套练习 第二章22直线平面平行的判定及其性质解析.docx
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高中数学人教版必修2配套练习第二章22直线平面平行的判定及其性质解析
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线m∥平面α，直线n∥m，则（ ）
A．n∥αB．n与α相交
C．n⊂αD．n∥α或n⊂α
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．平行或相交D．不相交
3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A．b∥αB．b与α相交
C．b⊂αD．b∥α或b与α相交
4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
（1）与直线AB平行的平面是______；
（2）与直线AA1平行的平面是______；
（3）与直线AD平行的平面是______．
6．已知不重合的直线a，b和平面α.
①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：
BD1∥平面AEC.
8.如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：
AB∥平面DCF.
二、能力提升
9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．在内D．不能确定
10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（ ）
A．不存在B．只能作出一个
C．能作出无数个D．以上都有可能
11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：
BF∥平面A′DE.
三、探究与拓展
13.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：
PQ∥平面BCE.（用两种方法证明）
答案
1．D 2.B 3.D 4.D
5．
（1）平面A1C1和平面DC1
（2）平面BC1和平面DC1 （3）平面B1C和平面A1C1
6．1
7．证明 如图，连接BD交AC于F，连接EF.
因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．
在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.
又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.
8．证明 连接OF，
∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，
又AF＝FE，
∴AB∥OF，
⇒AB∥平面DCF.
9．A 10．D 11．12
12．证明 取A′D的中点G，连接GF，GE，
由条件易知FG∥CD，FG＝
CD，BE∥CD，BE＝
CD，
所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，
所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，
BF⊄平面A′DE，
所以BF∥平面A′DE.
13．证明 如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.
∵KB∥AD，∴
＝
.
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE.
∴
＝
.∴
＝
.∴PQ∥EK.
又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.2.2.2 平面与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．不确定
2．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
3．给出下列结论，正确的有（ ）
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是（ ）
A．12B．8C．6D．5
5．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．
6．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有________．（填序号）
7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：
AE∥平面DCF.
8.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、
A1B1、C1D1的中点．
求证：
平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
二、能力提升
9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是
（ ）
A．α，β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
10.正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
11.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的
中点．
求证：
（1）E、F、D、B四点共面；
（2）平面AMN∥平面EFDB.
三、探究与拓展
13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．
（1）求证：
平面MNG∥平面ACD；
（2）求S△MNG∶S△ADC.
答案
1．B 2．D 3．B 4.D
5．相交或平行
6．③
7．证明 由于AB∥CD，BE∥CF，故平面ABE∥平面DCF.
而直线AE在平面ABE内，根据线面平行的定义，知AE∥平面DCF.
8．证明 ∵E、E1分别是AB、A1B1的中点，∴A1E1∥BE且A1E1＝BE.
∴四边形A1EBE1为平行四边形．
∴A1E∥BE1.∵A1E⊄平面BCF1E1，
BE1⊂平面BCF1E1.
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理A1D1∥平面BCF1E1，
A1E∩A1D1＝A1，
∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
9．D 10.A 11.M∈线段FH
12．证明
（1）∵E、F分别是B1C1、C1D1的中点，∴EF綊
B1D1，
∵DD1綊BB1，
∴四边形D1B1BD是平行四边形，
∴D1B1∥BD.
∴EF∥BD，
即EF、BD确定一个平面，故E、F、D、B四点共面．
（2）∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，
∴MN∥D1B1∥EF.
又MN⊄平面EFDB，
EF⊂平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接NE，则NE綊A1B1綊AB.
∴四边形NEBA是平行四边形．
∴AN∥BE.又AN⊄平面EFDB，BE⊂平面EFDB.∴AN∥平面EFDB.
∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N，
∴平面AMN∥平面EFDB.
13．
（1）证明 连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有
＝
＝
＝2.
连接PF、FH、PH，有MN∥PF.
又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
（2）解 由
（1）可知
＝
＝
，
∴MG＝
PH.
又PH＝
AD，∴MG＝
AD.
同理NG＝
AC，MN＝
CD.
∴△MNG∽△DCA，其相似比为1∶3，
∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.
2.2.3 直线与平面平行的性质
一、基础过关
1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面（ ）
A．只有一个B．至多有两个
C．不一定有D．有无数个
2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMN
C．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°
3.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行和异面
4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线（ ）
A．至少有一条B．至多有一条
C．有且只有一条D．没有
5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：
______________.（用序号表示）
6.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
7.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：
AP∥GH.
8.如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：
CD∥平面EFGH.
二、能力提升
9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是（ ）
A．l1平行于l3，且l2平行于l3
B．l1平行于l3，且l2不平行于l3
C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3
D．l1不平行于l3，但l2平行于l3
10．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．
10题图 11题图
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
12.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
（1）求证：
BC∥l；
（2）MN与平面PAD是否平行？
试证明你的结论．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：
平面A1BD1∥平面AC1D.
答案
1．C 2．C 3．A 4．B
5．①②⇒③（或①③⇒②） 6.
a
7．证明 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：
AP∥GH.
∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
则有AP∥GH.
8．证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD.
而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
9．A 10.平行四边形
11．m∶n
12．
（1）证明 因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，
BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.
（2）解 MN∥平面PAD.
证明如下：
如图所示，取PD中点E.
连接EN、AE.
又∵N为PC中点，∴EN綊
AB
∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.
又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
13．证明 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED，
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，
又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，
∴BD1∥平面AC1D，
又A1B∩BD1＝B，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
2.2.4 平面与平面平行的性质
一、基础过关
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．异面D．不确定
2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是（ ）
A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b
B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
3.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（ ）
A．2∶25B．4∶25
C．2∶5D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是（ ）
①
⇒a∥b;②
⇒a∥b；
③
⇒α∥β；④
⇒α∥β；
⑤
⇒α∥a;⑥
⇒a∥α.
A．④⑥B．②③⑥C．②③⑤⑥D．②③
5．分别在两个平行平面的两个三角形．（填“相似”“全等”）
（1）若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
（2）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，
＝
，则AC＝______.
7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：
N为AC的中点．
8.如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？
并证明你的结论．
二、能力提升
9．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（ ）
A．16B．24或
C．14D．20
11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．
12.如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.
求△A′B′C′的面积．
三、探究与拓展
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？
如果能，求出截面的面积．
答案
1．A 2．D 3．B 4．C
5．
（1）相似
（2）全等
6．15
7．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝
A1C1＝
AC，
∴N为AC的中点．
8.解 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①
由EM＝
PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，
∴BF∥平面AEC.
9．D 10．B
11．2
12．解 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反．
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
∴
＝
＝
.而S△ABC＝
AB·AC＝
×2×1＝1.
∴
＝（
）2，
∴S△A′B′C′＝
S△ABC＝
×1＝
.
13．解 能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝
，
MN＝BC1＝2
，
∴A1H＝
.
∴S△A1MN＝
×2
×
＝
.
故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝2
.
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