三角形旋转含答案.docx
《三角形旋转含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形旋转含答案.docx(38页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
三角形旋转含答案
旋转“小三角”
一。
填空题(共40小题)
1.将一副三角板按图所示得方式叠放在一起,使直角得顶点重合于点O,并能绕O点自由旋转,设∠AOC=α,∠BOD=β,则α与β之间得数量关系就是 .
2.如图,把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α(0°〈α〈90°),得到△AB’C’,若B',C,C’三点在同一条直线上,∠B’CB=46°,则α得度数就是 。
3。
如图,在△ABC中,∠ABC=112°,将△ABC绕着点B顺时针旋转一定得角度后得到△DBE(点A与点D对应),当A、B、E三点在同一直线上时,可得∠DBC得度数为 .
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,点B、C得对应点分别为点B'、C′,AB′与BC相交于点D,当B′C′∥AB时,则CD= .
5。
如图,将△ABC绕点A逆时针旋转110°,得到△ADE,若点D落在线段BC得延长线上,则∠B大小为 。
6.如图,BD为正方形ABCD得对角线,BE平分∠DBC,交DC于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF,若CE=cm,则BF= cm.
7.如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1,且C1为BC得中点,AB与B1C1相交于D,若AC=2,则线段B1D得长度为 。
8.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使得点B落在AB边上得点D处,此时点A得对应点E恰好落在BC边得延长线上,若∠B=50°,则∠A得度数为 。
9.如图,在△ABC中,∠BAC=75°,以点A为旋转中心,将△ABC绕点A逆时针旋转,得△AB’C',连接BB',若BB’∥AC’,则∠BAC′得度数就是 .
10。
如图,点O就是等边△ABC内一点,∠AOB=130°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,若OD=AD,则∠BOC得度数为.
11.如图,△ABC就是等边三角形,点P在△ABC内,PA=2,将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC,则PQ得长等于 。
12.如图,Rt△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△AB'C',连接BB’,CC',延长CC'交BB'于点E,若BC=4,AC=3,则CE得长为 .
13。
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sinB=,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,得到△A1B1C1,点A、B分别与点A1、B1对应,边A1B1分别交边AB、BC于点D、E,如果点E就是边A1B1得中点,那么A1D:
DB= .
14。
如图,在△ABC中,∠A=45°,∠ACB=75°,BC=5,将△ABC绕点C旋转得到△A’B'C,且点B'恰好落在AB边上,则BB’得长为 。
15。
已知线段AB就是定值,平面内有一点C满足CB=AB,连AC,将线段AC绕点A逆时针旋转80°,得线段AD(如图示),连BD。
当线段BD得长度最大时,则∠DCB= °.
16.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′得位置,连结C′B、BB′。
若AC=2,则BC′= .
17。
如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=5,则BE得长度为 。
18.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,.将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△AB’C'(点B,C得对应点分别为点B′,C′),延长C′B′分别交AC,BC于点D,E,若DE=2,则AD得长为 .
19.如图,在△ABC中,∠BAC=40°,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,点B得对应点D恰好落在线段AC得延长线上,连接BD.若∠BDE=90°,则∠ABC= 度。
20。
如图,菱形ABCD中,E、F分别为BC、CD上得点,且△ACF经旋转后能与△ABE重合,且∠BAE=25°,则∠FEC得度数就是 。
21.Rt△ABC中,AB=8,BC=6,将它绕着斜边AC中点O逆时针旋转一定角度后得到△A’B'C’,恰好使A’B'∥AC,同时A'B'与AB、BC分别交于点E、F,则EF得长为 。
22。
如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB1C1,B1C1交BC于点D,AB1交BC于点E,连接AD,当AE平分∠BAD时,AE=3,则BD= 。
23.如图,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′,连接AB′,并有AB′=3,则∠A′得度数为 .
24.如图,平行四边形ABCD得面积为32,对角线BD绕着它得中点O按顺时针方向旋转一定角度后,其所在直线分别交BC,AD于点E、F,若AF=3DF,则图中阴影部分得面积等于
25.如图,点P就是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB得度数 。
26。
如图,在三角板ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=6,将三角板ABC绕点C逆时针旋转,当起始位置时得点B恰好落在边A1B1上时,A1B得长为 .
27.如图,P就是等边三角形ABC内一点,将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ,连接AQ。
若PA=4,PB=5,PC=3,则四边形APBQ得面积为 。
28.如图,在等边△ABC内有一点D,AD=6,BD=7,CD=5,将△ABD绕点A逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,连接DE,则△CDE得面积为。
29.已知,如图,△ABD中,AB=AD=1,∠B=30°,△ABD绕着A点逆时针旋转α(0°<α<120°)旋转得到△ACE。
CE与AD、BD分别交于点G、F;设DF+GF=x,△AEG得面积为y,则y关于x得函数解析式为 。
30.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′,连接B′C,则CB′得长度为 。
31.如图,已知P为等边△ABC形内一点,且PA=3cm,PB=4cm,PC=5cm,则图中△PBC得面积为 cm2.
32.如图,在正方形ABCD中,AB=5,点M在BC边上,且BM=2,把△ABM沿AM折叠得到△AEM,将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADF,连接EF,则线段EF得长为 。
33.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D得对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF得长为 cm.
34.如图,点D就是等边△ABC得边BC上得一个动点,连结AD,将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AC于点E,若AB=4,则AE得最小值就是 .
35.如图,D为△ABC内一点,且AD=BD,若∠ACD=∠DAB=45°,AC=5,则S△ABC= .
36。
如图,已知正方形ABCD得边长为3,E、F分别就是AB、BC边上得点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=1,则△BEF得面积为.
37.如图,边长为2得正方形ABCD以A为中心顺时针旋转45°到图中正方形AB′C′D′位置,则图中阴影部分得面积为 。
38。
如图,将边长为3得正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′,则图中阴影部分面积为 .
39。
如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′得位置,旋转角为α(0<α<90°).若∠1=110°,则α= .
40。
如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=17,将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG,点A落在矩形ABCD得边BC上,连接CG,则CG得长就是 。
旋转“小三角"
参考答案与试题解析
一。
填空题(共40小题)
1.将一副三角板按图所示得方式叠放在一起,使直角得顶点重合于点O,并能绕O点自由旋转,设∠AOC=α,∠BOD=β,则α与β之间得数量关系就是α+β=180°。
【分析】由旋转得性质可得∠BOC=∠AOD,即可求解。
【解答】解:
∵使直角得顶点重合于点O,并能绕O点自由旋转,
∴∠BOC=∠AOD,
∵∠BOC+∠AOC=90°,
∴∠AOD+∠AOC=90°,
∵α+β=∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD=180°,
∴α+β=180°,
故答案为:
α+β=180°.
【点评】本题考查了旋转得性质,灵活运用旋转得性质就是本题得关键。
2.如图,把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α(0°〈α〈90°),得到△AB'C',若B’,C,C'三点在同一条直线上,∠B'CB=46°,则α得度数就是46°。
【分析】利用旋转得性质得出AC=AC′,再利用等腰三角形得性质得出∠CAC′得度数,则可求出答案.
【解答】解:
由题意可得:
AC=AC′,∠C’=∠ACB,
∴∠ACC'=∠C',
∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转α,得到△AB′C′,点C刚好落在边B′C′上,
∴∠B'CB+∠ACB=∠C’+∠CAC′,
∠B'CB=∠CAC’=46°。
故答案为:
46°。
【点评】此题主要考查了旋转得性质以及等腰三角形得性质等知识,根据题意得出AC=AC′就是解题关键。
3。
如图,在△ABC中,∠ABC=112°,将△ABC绕着点B顺时针旋转一定得角度后得到△DBE(点A与点D对应),当A、B、E三点在同一直线上时,可得∠DBC得度数为44°。
【分析】首先根据邻补角定义求出∠CBE=180°﹣∠ABC=68°,再根据旋转得性质得出∠DBE=∠ABC=112°,那么∠DBC=∠DBE﹣∠CBE=44°.
【解答】解:
∵A、B、E三点在同一条直线上,∠ABC=112°,
∴∠CBE=180°﹣∠ABC=68°。
∵将△ABC绕着点B顺时针旋转一定得角度后得到△DBE(点A与点D对应),
∴∠DBE=∠ABC=112°,
∴∠DBC=∠DBE﹣∠CBE=112°﹣68°=44°.
故答案为:
44°.
【点评】本题考查了旋转得性质:
①对应点到旋转中心得距离相等;②对应点与旋转中心所连线段得夹角等于旋转角;③旋转前、后得图形全等。
也考查了邻补角定义.
4。
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,点B、C得对应点分别为点B’、C′,AB′与BC相交于点D,当B′C′∥AB时,则CD= 。
【分析】设CD=x,由B′C′∥AB,可推得∠BAD=∠B′,由旋转得性质得:
∠B=∠B′,于就是得到∠BAD=∠B,AC=AC′=4,AD=BD=8﹣x,由勾股定理可求解.
【解答】解:
设CD=x,
∵B′C′∥AB,
∴∠BAD=∠B′,
由旋转得性质得:
∠B=∠B′,AC=AC′=6,
∴∠BAD=∠B,
∴AD=BD=8﹣x,
∴(8﹣x)2=x2+62,
∴x=,
∴CD=,
故答案为:
。
【点评】本题主要考查了旋转得性质,平行线得性质,等腰三角形得性质,勾股定理,利用勾股定理列出方程就是本题得关键。
5。
如图,将△ABC绕点A逆时针旋转110°,得到△ADE,若点D落在线段BC得延长线上,则∠B大小为 35°.
【分析】由旋转可知,AB=AD且∠BAD=110°,则有三角形内角与可以计算出∠B.
【解答】解:
∵△ABC绕点A逆时针旋转110°,得到△ADE,
∴AB=AD,∠BAD=110°,
由三角形内角与可得==35°。
故答案为:
35°。
【点评】本题就是几何图形旋转问题,考查了图形旋转得性质、三角形内角与以及等腰三角形得性质.
6.如图,BD为正方形ABCD得对角线,BE平分∠DBC,交DC于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF,若CE=cm,则BF= 2+2cm。
【分析】过点E作EM⊥BD于点M,则△DEM为等腰直角三角形,根据角平分线以及等腰直角三角形得性质即可得出DE得长度,再根据正方形以及旋转得性质,即可得出线段BF得长.
【解答】解:
如图所示,过点E作EM⊥BD于点M.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BDC=45°,∠BCD=90°,
∴△DEM为等腰直角三角形.
∵BE平分∠DBC,EM⊥BD,EC⊥BC,
∴EM=EC=,
∴DE=EM=2,
∴BC=CD=+2。
由旋转得性质可知:
CF=CE=,
∴BF=BC+CF=2+2,
故答案为:
2+2。
【点评】本题考查了旋转得性质、正方形得性质以及角平分线得性质,解题得关键就是结合角平分线以及等腰直角三角形得性质,求出线段BC以及CF得长度.
7.如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1,且C1为BC得中点,AB与B1C1相交于D,若AC=2,则线段B1D得长度为 3。
【分析】由旋转得性质可得AC=AC1,∠AC1B1=∠C=60°,可证△ACC1为等边三角形,可得BC1=CC1=AC=2,可证∠B=∠C1AB=30°,由直角三角形得性质可求解.
【解答】解:
根据旋转得性质可知:
AC=AC1,∠AC1B1=∠C=60°,
∵旋转角就是60°,即∠C1AC=60°,
∴△ACC1为等边三角形,
∴BC1=CC1=AC=2,
∵C1为BC得中点,
∴BC1=AC1=2=AC1,
∴∠B=∠C1AB=30°,
∴∠BDC1=∠C1AB+∠AC1B1=90°,
∴BC1=2C1D,
∴C1D=1
∴BC=B1C1=BC1+CC1=4,
∴B1D=3,
故答案为:
3.
【点评】本题考查了旋转得性质,等边三角形得判定与性质,直角三角形得性质等知识,求出C1D得长就是本题得关键。
8。
如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使得点B落在AB边上得点D处,此时点A得对应点E恰好落在BC边得延长线上,若∠B=50°,则∠A得度数为30° 。
【分析】由旋转得性质可得BC=CD,∠BCD=∠ACE,可得∠B=∠BDC=50°,由三角形内角与定理可求∠BCD=80°=∠ACE,由外角性质可求解。
【解答】解:
∵将△ABC绕点C顺时针旋转,
∴BC=CD,∠BCD=∠ACE,
∴∠B=∠BDC=50°,
∴∠BCD=80°=∠ACE,
∵∠ACE=∠B+∠A,
∴∠A=80°﹣50°=30°,
故答案为:
30°.
【点评】本题考查了旋转得性质,等腰三角形得性质,外角得性质,掌握旋转得性质就是本题得关键。
9.如图,在△ABC中,∠BAC=75°,以点A为旋转中心,将△ABC绕点A逆时针旋转,得△AB'C',连接BB’,若BB'∥AC',则∠BAC′得度数就是 105°。
【分析】由旋转得性质可得∠BAC=∠B'AC’=75°,AB=AB’,由平行线得性质与等腰三角形得性质可得∠BAB’=30°,即可求解.
【解答】解:
∵以点A为旋转中心,将△ABC绕点A逆时针旋转,得△AB’C’,
∴∠BAC=∠B’AC'=75°,AB=AB',
∵BB'∥AC',
∴∠C’AB'=∠AB'B=75°,
∵AB=AB',
∴∠AB'B=∠BB'A=75°,
∴∠BAB'=30°,
∴∠BAC'=∠BAB'+∠B'A'C’=75°+30°=105°,
故答案为:
105°。
【点评】本题考查了旋转得性质,平行线得性质,等腰三角形得性质,灵活运用旋转得性质就是本题得关键。
10.如图,点O就是等边△ABC内一点,∠AOB=130°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,若OD=AD,则∠BOC得度数为100°。
【分析】设∠BOC=α,根据旋转前后图形不发生变化,易证△COD就是等边△OCD,从而利用α分别表示出∠AOD与∠ADO,再根据等腰△AOD得性质求出α.
【解答】解:
设∠BOC=α,根据旋转得性质知,△BOC≌△ADC,则OC=DC,∠BOC=∠ADC=α.
又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,
∴∠OCD=60°,
∴△OCD就是等边三角形,
∴∠COD=∠CDO=60°,
∵OD=AD,
∴∠AOD=∠DAO.
∵∠AOD=360°﹣130°﹣60°﹣α=170°﹣α,∠ADO=α﹣60°,
∴2×(170°﹣α)+α﹣60°=180°,
解得α=100°.
故答案就是:
100°.
【点评】此题主要考查了等边三角形得性质与判定,以及等腰三角形得性质与旋转得性质等知识,根据旋转前后图形不变就是解决问题得关键。
11.如图,△ABC就是等边三角形,点P在△ABC内,PA=2,将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC,则PQ得长等于2 。
【分析】根据等边三角形得性质推出AC=AB,∠CAB=60°,根据旋转得性质得出△CQA≌△BPA,推出AQ=AP,∠CAQ=∠BAP,求出∠PAQ=60°,得出△APQ就是等边三角形,即可求出答案。
【解答】解:
∵△ABC就是等边三角形,
∴AC=AB,∠CAB=60°,
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC,
∴△CQA≌△BPA,
∴AQ=AP,∠CAQ=∠BAP,
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAQ=60°,
即∠PAQ=60°,
∴△APQ就是等边三角形,
∴QP=PA=2,
故答案为:
2.
【点评】本题考查了等边三角形得性质与判定,全等三角形得性质与判定,旋转得性质等知识点,关键就是得出△APQ就是等边三角形,注意“有一个角等于60°得等腰三角形就是等边三角形,等边三角形得对应边相等,每个角都等于60°.
12.如图,Rt△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△AB'C’,连接BB’,CC',延长CC’交BB’于点E,若BC=4,AC=3,则CE得长为 。
【分析】由旋转得性质得出AC=AC',AB=AB’,B′C′=BC,∠CAC'=∠BAB'=90°,由等腰直角三角形性质得出CC′=AC=3,延长B’C'交BC于点F,则B’F⊥BC,∴四边形ACFC′就是矩形,得出FC′=AC=3,延长AC’交BB’于点M,则MC’∥BF,BF=BC﹣AC′=1,得出△MC'B’~△BFB',得出=,即=,解得MC′=,证明△MEC'~△BEC,得出=,即=,解得EC′=,即可得出结果.
【解答】解:
∵Rt△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△AB’C’,
∴AC=AC’,AB=AB',B′C′=BC=4,∠CAC’=∠BAB'=90°,
∴CC′=AC=3,
延长B'C'交BC于点F,则B'F⊥BC,
∴四边形ACFC′就是矩形,
∴FC′=AC=3,
延长AC’交BB'于点M,如图所示:
则MC'∥BF,BF=BC﹣AC′=4﹣3=1,
∴△MC'B'~△BFB',
∴=,
即=,
解得:
MC′=,
∵MC'∥BF,
∴△MEC'~△BEC,
∴=,
即=,
解得:
EC′=,
∴CE=EC′+CC′=+3=,
故答案为:
。
【点评】本题考查相似三角形得判定与性质、旋转得性质、平行线得性质、矩形得判定与性质、等腰直角三角形得判定与性质等知识;熟练掌握旋转得性质,证明三角形相似就是解题得关键.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sinB=,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,得到△A1B1C1,点A、B分别与点A1、B1对应,边A1B1分别交边AB、BC于点D、E,如果点E就是边A1B1得中点,那么A1D:
DB=.
【分析】设AC=3x,AB=5x,可求BC=4x,由旋转得性质可得CB1=BC=4x,A1B1=5x,∠ACB=∠A1CB1,由题意可证△CEB1∽△DEB,进而求出A1D、DB,即可求解。
【解答】解:
∵∠ACB=90°,sinB==,
∴设AC=3x,AB=5x,
∴BC==4x,
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转,得到△A1B1C,
∴CB1=BC=4x,A1B1=5x,∠ACB=∠A1CB1,
∵点E就是A1B1得中点,
∴CE=A1B1=2、5x=B1E=A1E,∴BE=BC﹣CE=1、5x,
∵∠B=∠B1,∠CEB1=∠BED
∴△CEB1∽△DEB
∴====,DB=B1C=x,
∴DE=CE=1、5x,
∴A1D=A1E=﹣DE=x,
∴==;
故答案为:
。
【点评】本题考查了旋转得性质,解直角三角形,相似三角形得判定与性质,证△CEB1∽△DEB就是本题得关键.
14.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠ACB=75°,BC=5,将△ABC绕点C旋转得到△A'B’C,且点B'恰好落在AB边上,则BB’得长为5 。
【分析】证明△BCB'就是等边三角形,得出BB'=BC=5即可.
【解答】解:
∵△ABC中,∠A=45°,∠ACB=75°,
∴∠B=180°﹣45°﹣75°=60°,
由旋转得性质得:
CB’=CB,
∴△BCB'就是等边三角形,
∴BB’=BC=5;
故答案为:
5.
【点评】本题考查了旋转得性质、等边三角形得判定与性质、三角形内角与定理等知识;熟练掌握旋转得性质,证明△BCB’就是等边三角形就是解题得关键.
15。
已知线段AB就是定值,平面内有一点C满足CB=AB,连AC,将线段AC绕点A逆时针旋转80°,得线段AD(如图示),连BD。
当线段BD得长度最大时,则∠DCB=75 °。
【分析】如图1中,作AH⊥AB,使得AH=AB,连接BH,CH。
证明△DAB≌△CAH(SAS),推出BD=CH,由CH≤BH+BC,BH,BC就是定值,推出当C,B,H共线(如图2所示)时,CH得值最大.
【解答】解:
如图1中,作∠BAH=∠CAD=80°,使得AH=AB,连接BD,CH.
∵∠DAC=∠BAH=80°,
∴∠DAB=∠CAH,
∵AD=AC,AB=AH,
∴△DAB≌△CAH(SAS),
∴BD=CH,
∵CH≤BH+BC,BH,BC就是定值,
∴当C,B,H共线(如图2所示)时,CH得值最大.
如图2中,设BD交AC于O.
∵△DAB≌△CAH,
∴∠ADB=∠ACB,
∵∠DOA=∠COB,
∴∠DAO=∠OBC=80°,
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠ABH=∠BAC+∠BCA=50°,
∴∠ACB=∠ADB=25°,
∵∠ADC=50°,
∴∠BDC=25°,
∴∠DCB=180°﹣80°﹣25=75°,
故答案为75°.
【点评】本题考查旋转变换,等腰直角三角形得性质,全等三角形得判定与性质,三角形内角与定理等知识,解题得关键就是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考填空题中得压轴题.
16。
在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′得位置,连结C′B、BB′.若AC=2,则BC′= .
【分析】如图,连接BB′,延长BC'交AB'于点H,由旋转得性质可得AB=AB′=2,∠BAB′=60°,可证△ABB′为等边三角形,由“SSS"可证△BB′C′≌△BAC,可得∠B′BC′=∠ABC′=30°,由等边三角形得性质与直角三角形得性质可求解。
【解答】解:
如图,延长BC’交AB’于点H,
∵∠C=90°,AC=BC=2,
∴AB=2,
∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'得位置,
∴AB=A