第2章直角三角形巩固练习解析版.docx

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第2章直角三角形巩固练习解析版

直角三角形

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．30°或60°

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【答案】A

【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和解答即可．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，

∴2∠C+∠C＝90°，

∴∠C＝30°，

故选：

A．

【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．

2．在下列条件中：

①∠A+∠B＝∠C，②∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝

∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】C

【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．

【解答】解：

①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；

②因为∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；

③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；

④因为∠A＝∠B＝

∠C，所以∠A+∠B+∠C＝

∠C+

∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；

⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝

∠A+

∠A+∠A＝180°，∠A＝

°，所以△ABC为钝角三角形．

所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，

故选：

C．

【点评】解答此题要用到三角形的内角和为180°，若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．

3．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠C的度数为（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】A

【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠C的度数即可．

【解答】解：

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠C＝90°，

∵∠B﹣∠C＝30°，

∴∠B＝60°，∠C＝30°，

故选：

A．

【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．

4．若实数m、n满足|m﹣3|+

＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则△ABC的周长是（　　）

A．5B．5或

C．12D．12或7+

【考点】非负数的性质：

绝对值；非负数的性质：

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【答案】D

【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．

【解答】解：

∵|m﹣3|+

＝0，

∴|m﹣3|＝0，

＝0，

∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，

解得，m＝3，n＝4，

当4是直角边时，斜边长＝

＝5，

则△ABC的周长＝3+4+5＝12，

当4是斜边时，另一条直角边＝

＝

，

则△ABC的周长＝3+4+

＝7+

，

故选：

D．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

5．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　）

A．10B．9C．8D．7

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．

【答案】B

【分析】根据图形和勾股定理，可以得到S1+S2＝S3，同理可得，S5+S6＝S4，然后根据S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，即可得到S3+S4的值，本题得以解决．

【解答】解：

如右图所示，

∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，

∴S1+S2＝S3，

同理可得，S5+S6＝S4，

∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，

∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝9，

故选：

B．

【点评】本题考查勾股定理、正方形的面积、圆的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6．若直角三角形的两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为（　　）

A．

cmB．

cmC．13cmD．

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．

【答案】B

【分析】利用勾股定理可求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高．

【解答】解：

∵在直角三角形中，两直角边长分别为5cm，12cm，

∴斜边长2＝52+122＝169，

∴斜边长＝

＝13（cm）．

设斜边上的高为h，则S＝

×5×12＝

×13h，

∴h＝

＝

（cm）．

故选：

B．

【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键．

7．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（　　）

A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角

B．假设四边形中有一个角是钝角或直角

C．假设四边形中每一个角均为钝角

D．假设四边形中每一个角均为直角

【专题】反证法；推理能力．

【答案】A

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形中没有一个角是钝角或直角．

【解答】解：

反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步假设四边形中没有一个角是钝角或直角，

故选：

A．

【点评】本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须依次否定．

8．下列结论正确的是（　　）

A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等

B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等

C．两个等边三角形全等

D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

【专题】图形的全等；推理能力．

【答案】D

【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．

【解答】解：

A、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以有两个锐角相等的两个直角三角形全等的说法错误；

B、由于直角三角形除了直角，还需两个条件才能判断这两个直角三角形全等，所以一条斜边对应相等的两个直角三角形全等的说法错误；

C、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以两个等边三角形全等的说法错误；

D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法正确；

故选：

D．

【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握全等三角形的5种判定方法．

9．在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）

A．△ABE≌△ACFB．点D在∠BAC的平分线上

C．△BDF≌△CDED．点D是BE的中点

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

【解答】解：

A、∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；

B、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；

C、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；

D、无法判定，错误，

故选：

D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

10．下列说法：

①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【专题】图形的全等．

【答案】A

【分析】利用全等三角形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：

①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；

②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；

③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；

④如果在两个直角三角形中，例如：

两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；

故选：

A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是了解全等三角形全等的几种判定方法，难度不大．

二．填空题（共5小题）

11．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AB＝ED（答案不唯一）　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．

【专题】图形的全等；几何直观．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据全等三角形的判定解答即可．

【解答】解：

∵Rt△ABC和Rt△EDF中，

∴∠BAC＝∠DEF＝90°，

∵BC∥DF，

∴∠DFE＝∠BCA，

∴添加AB＝ED，

在Rt△ABC和Rt△EDF中

，

∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS

），

故答案为：

AB＝ED（答案不唯一）．

【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．

12．两个锐角分别相等的直角三角形　不一定　全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）

【专题】图形的全等；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据直角三角形全等的判定定理判断即可．

【解答】解：

当还有一条边对应相等时，两直角三角形全等；

当三角形的边不相等时，两直角三角形不全等；

即两个锐角分别相等的直角三角形不一定全等，

故答案为：

不一定．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：

直角三角形全等的判定定理有ASA，AAS，SAS，SSS，HL等．

13．在Rt△ABC中，斜边AB＝

，则AB2+BC2+AC2的值是　6　．

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【答案】6．

【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．

【解答】解：

∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，

∴AC2+BC2＝AB2，

又∵斜边AB＝

，

∴AC2+BC2＝AB2＝3，

则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝3+3＝6．

故答案为：

6．

【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2是解决问题的关键．

14．如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为　80°或140°或10°　．

【专题】统计与概率；三角形；运算能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．

【解答】解：

如图，有三种情形：

①当AC＝AD时，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝20°，

∵AC＝AD，

∴∠ADC＝∠DCA＝

（180°﹣∠CAB）＝80°；

②当CD′＝AD′时，

∵∠CAB＝20°，

∴∠D′CA＝∠CAB＝20°，

∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°．

③当AC＝AD″时，则∠AD″C＝∠ACD″，

∵∠CAB＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB，

∴∠AD″C＝10°，

故答案为：

80°或140°或10°．

【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

15．用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设　三角形的三个内角都小于60°　．

【答案】见试题解答内容

【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．

【解答】解：

∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，

∴第一步应假设结论不成立，

即三角形的三个内角都小于60°．

故答案为：

三角形的三个内角都小于60°．

【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．

三．解答题（共5小题）

16．如图，四边形ABCD中，AC⊥AD，作CE⊥AB于点E，设BD分别与AC、CE交于点F、G．若BD平分∠ABC，且∠2＝∠3，求证：

∠CFG＝∠CGF．

完成下面的证明过程：

证明：

∵AC⊥AD（已知），

∴∠CAD＝90°（垂直的定义），

∵BD平分∠ABC（已知），

∴∠1＝∠2（　角平分线的定义　），

∵∠2＝∠3（已知），

∴∠1＝　∠3　（等量代换），

∴AD∥BC（　内错角相等，两直线平行　），

∴　∠ACB　＝∠CAD＝90°（两直线平行，内错角相等），

∴∠1+∠CFG＝90°（直角三角形两个锐角互余），

同理由CE⊥AB，可得∠2+∠BGE＝90°

∴∠CFG＝∠BGE（　等角的余角相等　），

又∵∠BGE＝∠CGF（对顶角相等），

∴∠CFG＝∠CGF（等量代换）．

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】角平分线的定义；∠3；内错角相等，两直线平行；∠ACB；等角的余角相等．

【分析】根据角平分线的定义、平行线的判定定理和性质定理、直角三角形的性质解答即可．

【解答】证明：

∵AC⊥AD（已知），

∴∠CAD＝90°（垂直的定义），

∵BD平分∠ABC（已知），

∴∠1＝∠2（角平分线的定义），

∵∠2＝∠3（已知），

∴∠1＝∠3（等量代换），

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），

∴∠ACB＝∠CAD＝90°（两直线平行，内错角相等），

∴∠1+∠CFG＝90°（直角三角形两个锐角互余），

同理由CE⊥AB，可得∠2+∠BGE＝90°

∴∠CFG＝∠BGE（等角的余角相等），

又∵∠BGE＝∠CGF（对顶角相等），

∴∠CFG＝∠CGF（等量代换）．

故答案为：

角平分线的定义；∠3；内错角相等，两直线平行；∠ACB；等角的余角相等．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．

17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数．

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据三角形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质即可得到结论，

【解答】解：

∵∠BAC＝90°，∠1＝32°，

∴∠ABC＝90°﹣32°＝58°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝

ABC＝29°，

∵CD∥AB，

∴∠D＝∠ABD＝29°．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．

18．在如图的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数

．

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．

【答案】答案见解答部分．

【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数

的位置．

【解答】解：

如图，正方形ABCD为所求作四边形，

点D即为实数

所表示的点．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

19．如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，E为BC上一点，BE＝FC，请探求AE与BF的关系，并说明理由．

【专题】探究型．

【答案】见试题解答内容

【分析】AE⊥BF且AE＝BF，根据已知可以利用SAS判定△ABE≌△BCF，从而得到AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F，再根据角之间的关系可推出AE⊥BF．

【解答】解：

AE⊥BF且AE＝BF．

理由：

∵AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°．

∵AB＝BC，BE＝FC，

∴△ABE≌△BCF．

∴AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F．

∵∠A+∠AEB＝90°，

∴∠FBC+AEB＝90°．

∴AE⊥BF．

∴AE⊥BF且AE＝BF．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意题目的问法，是二者的关系，包括数量和位置，不要遗漏．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：

BE∥DF．

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．

【答案】见试题解答内容

【分析】

（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，由邻补角定义得出∠CBD＝126°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝63°；

（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣63°＝27°，再根据∠F＝27°，即可得出BE∥DF．

【解答】解：

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，

∴∠CBD＝126°．

∵BE是∠CBD的平分线，

∴∠CBE＝

∠CBD＝63°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，

∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．

又∵∠F＝27°，

∴∠F＝∠CEB＝27°，

∴DF∥BE

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．

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