break;
end
end
X
Gauss-Seidel迭代法运行的解
X=
-0.3941
0.5058
0.7612
-0.7030
3、分析：
Jacobi迭代法称简单迭代法，程序编译比较简单，但是在迭代过程中，对已经算出来的信息未加充分利用，但是该方法算出来的值比较精确，Gauss-Seidel迭代法占用内存小，收敛快，但是精确度稍差。
二、非线性方程的迭代解法
1．用Newton迭代法、割线法求方程
在
附近的正．计算停止的条件为：
；
解：
首先使用使用Newton迭代法
1、MATLAB的编译程序如下：
function[output_args]=Untitled1（input_args）
%UNTITLED1Summaryofthisfunctiongoeshere
%Detailedexplanationgoeshere
%f（x）=x*exp（x）-1
%f'（x）=exp（x）+x*exp（x）
%φ'（x）=x-f（x）/f'（x）
%迭代初值为x=0.5
clc;
clear;
i=1;
Xk=0.5;
Xk1=Xk-（Xk*exp（Xk）-1）/（exp（Xk）+Xk*exp（Xk））;
whileabs（Xk1-Xk）>=10^（-6）
Xk=Xk1;
Xk1=Xk-（Xk*exp（Xk）-1）/（exp（Xk）+Xk*exp（Xk））;
i=i+1;
end
x=Xk1%x的值即为所求
i
Newton迭代法运行结果
x=
0.5671
i=
4
再运用割线法割线法
2、MATLAB的编译程序如下
function[output_args]=Untitled2（input_args）
%UNTITLED2Summaryofthisfunctiongoeshere
%Detailedexplanationgoeshere
%迭代初值x1=0.5,x2=0.4
%迭代公式为Xk+1=Xk-f（Xk）/（（f（Xk）-f（Xk-1））/（Xk-Xk-1））
clc;
clear;
i=1;
Xk1=0.5;
Xk2=0.4;
Xk3=Xk2-（Xk2*exp（Xk2）-1）*（Xk2-Xk1）/（（Xk2*exp（Xk2）-1）-（Xk1*exp（Xk1）-1））;
whileabs（Xk3-Xk2）>=10^（-6）
Xk1=Xk2;
Xk2=Xk3;
Xk3=Xk2-（Xk2*exp（Xk2）-1）*（Xk2-Xk1）/（（Xk2*exp（Xk2）-1）-（Xk1*exp（Xk1）-1））;
i=i+1;
end
x=Xk3
i
割线法
运行结果
x=
0.5671
i=
5
3、比较分析：
Newton迭代法是二阶收敛，割线法是在前者基础上变化来的，收敛阶1.618，在该题中前者的迭代步数为4，后者为5，可见Newton迭代法收敛比较快。
三、数值积分
用Romberg方法求
的近似值，要求误差不超过
.
解：
Romberg的编译程序：
function[output_args]=Untitled1（input_args）
%UNTITLED1Summaryofthisfunctiongoeshere
%Detailedexplanationgoeshere
%求解2/sqre（pi）*|exp（-x^2）（01）的值。
clc;
clear;
e=10^（-5）;%误差
i=1;%循环控制变量
H0（i）=（f（0）+f
（1））/2;
H1（i）=H0（i）/2+f（0.5）/2;
H1（i+1）=H1（i）*4/3-H0（i）/3;
%两层循环
whileabs（H1（i+1）-H0（i））>=e
Q=0;
a=0;
whilea<=1
a=a+1/2^（i+1）;
Q=Q+f（a）;
a=a+1/2^（i+1）;
end
Q=Q/2^（i+1）;
H2
（1）=H1
（1）/2+Q;
forj=2:
i+2
H2（j）=4^（j-1）/（4^（j-1）-1）*H2（j-1）-1/（4^（j-1）-1）*H1（j-1）;
end
H0=H1;
H1=H2;
i=i+1;
end
H1（i+1）%存放算法求得的解
function[y]=f（x）
y=2/sqrt（pi）*exp（-x^2）;
Romberg方法的程序计算结果
ans=
0.8427
四、插值与逼近
2．已知函数值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.79
1.53
2.19
2.71
3.03
3.27
2.89
3.06
3.19
3.29
和边界条件：
． 求三次样条插值函数
并画出其图形．
解：
编译程序:
：
在工作空间输入：
clear
closeall
x=0:
10;
y=[00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.29];
%求解mi程序
gk=[];
fork=1:
9
gk（k）=3*（y（k+2）-y（k））/2;
end
m0=0.8;
m10=0.2;
A=[20.50000000
0.520.5000000
00.520.500000
000.520.50000
0000.520.5000
00000.520.500
000000.520.50
0000000.520.5
00000000.52];
b1=gk
（1）-0.5*m0;
b9=gk（9）-0.5*m10;
b=[b1gk
（2）gk（3）gk（4）gk（5）gk（6）gk（7）gk（8）b9]';
m=A\b
%图形程序
pp=csape（x,y,'complete',[0.8,0.2]）;%第一类边界条件调用函数
xi=0:
0.25:
10;
yi=ppval（pp,xi）;
plot（x,y,'o',xi,yi）,gridon
title（'三次样条插值图（第一类边界条件）'）
xlabel（'x'）
ylabel（'y'）
结果：
数据结果：
m=
0.77148596314996
0.70405614740014
0.61228944724946
0.38678606360200
0.36056629834254
-0.14905125697216
-0.18436127045388
0.25649633878770
0.05837591530307
图形如下图：
五、常微分方程数值解法
用Euler法与改进的Euler法求解
取步长
计算，画出数值解的图形并与精确解
相比较。
解：
编译程序
function[output_args]=Untitled1（input_args）
%UNTITLED1Summaryofthisfunctiongoeshere
%Detailedexplanationgoeshere
clc;
clear;
h=0.1;
a=0;
b=1;
ya=1;
N=（b-a）/h;
T=linspace（a,b,N+1）;
Y=zeros（1,N+1）;
Y
（1）=ya;
%Euler法
forj=1:
N
Y（j+1）=Y（j）+h*（Y（j）-T（j）*Y（j）^2）;
end
plot（T,Y,'g'）;gridon;
holdon;
%Euler改进法
forj=1:
N
Y（j+1）=Y（j）+（h/2）*（Y（j）-T（j）*Y（j）^2+（Y（j）+h*（Y（j）-T（j）*Y（j）^2））-T（j+1）*（Y（j）+h*（Y（j）-T（j）*Y（j）^2））^2）;
end
plot（T,Y,'r'）;
holdon;
%精确解
Y=1./（T-1+2*exp（-T））;
plot（T,Y）;
xlabel（'x'）;
ylabel（'f（x）'）;
title（'Euler（绿色）、Euler改进法（红色）及精确解（蓝色）的比较'）;
分析：
Euler法收敛阶是1阶，改进的Euler算法精度比较高更加逼近真实值。
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