[答案] A
5．（选修2－2P84A组T5改编）在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19，且n∈N*）成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为_______________________________．
[解析] 由等比数列的性质bn＋1·b17－n＝bn＋2·b16－n＝…＝b＝1，得b1b2…bn＝b1b2b3b4…b17－n（n<17，n∈N*）．
[答案] b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17，n∈N*）
考点一 归纳推理
归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择、填空题，难度稍大，属中高档题．
常见的命题角度有：
（1）数字的归纳；
（2）式子的归纳；
（3）图形的归纳．
角度1：
数字的归纳
【例1－1】 观察下列各式：
71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，则72018的末两位数字为（ ）
A．49B．43C．07D．01
[思路引导] →
[解析] 71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现（周期为4），而2018＝4×504＋2，所以72018的末两位数字必定和72的末两位数字相同．故选A.
[答案] A
角度2：
式子的归纳
【例1－2】 已知f（x）＝，f1（x）＝f′（x），f2（x）＝[f1（x）]′，…，fn＋1（x）＝[fn（x）]′，n∈N*，经计算：
f1（x）＝，f2（x）＝，f3（x）＝，…，照此规律，则fn（x）＝________.
[思路引导] →
[解析] 因为f1（x）＝，f2（x）＝，f3（x）＝，…，所以fn（x）＝.
[答案]
角度3：
图形的归纳
【例1－3】 如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体，例如第
（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第
（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位．以此规律，则第n个几何体的表面积是________个平方单位．
[思路引导] →
→
[解析] 从前面看这些正方体叠成的几何体，看到边长为1的正方形的面的个数依次为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4，….
而每一个这样叠成的几何体，从其前面、后面、左面、右面、上面、下面看到的边长为1的正方形的面数是一样多的，所以由这些正方体叠成的几何体的表面积依次为6×1,6×（1＋2），6×（1＋2＋3），…，所以第n个几何体的表面积为6×（1＋2＋3＋…＋n）＝3n（n＋1）．
[答案] 3n（n＋1）
归纳推理问题的常见类型及解题策略
（1）与数字有关的等式的推理．观察数字的变化特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
（2）与式子有关的归纳推理：
①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
（3）与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，采用赋值检验法验证其真伪性．
[对点训练]
1．（2019·山东日照模拟）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：
[]＋[]＋[]＝3；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；
…
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．
[解析] 因为[x]表示不超过x的最大整数，所以[1]＝[]＝[]＝1，[4]＝[]＝…＝[]＝2，…，
因为等式：
[]＋[]＋[]＝3，
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，…，所以第1个式子的左边有3项、右边1＋1＋1＝1×3＝3，第2个式子的左边有5项、右边2＋2＋2＋2＋2＝2×5＝10，第3个式子的左边有7项、右边3×7＝21，…，则第n个式子的左边有（2n＋1）项、右边＝n（2n＋1）＝2n2＋n，故答案为2n2＋n.
[答案] 2n2＋n
2．设n为正整数，f（n）＝1＋＋＋…＋，计算得f
（2）＝，f（4）>2，f（8）>，f（16）>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
[解析] ∵f（21）＝，f（22）>2＝，f（23）>，f（24）>，∴归纳得f（2n）≥（n∈N*）．
[答案] f（2n）≥（n∈N*）
3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图
（1）所示的分形规律可得如图
（2）所示的一个树形图．若记图
（2）中第n行黑圈的个数为an，则a2018＝________.
[解析] 根据题图
（1）所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图
（2）中的树形图的第1行记为（1,0），第2行记为（2,1），第3行记为（5,4），第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为（14,13），同理可得第5行的“坐标”为（41,40），第6行的“坐标”为（122,121），….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1,9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝（n∈N*）．所以a2018＝.
[答案]
考点二 类比推理
【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
[解] 如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类似地，在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S成立．
[拓展探究] 若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．
[解] 如图，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2B＝2＋2＝＝1.
于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想，四面体PA′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
类比推理的分类
→
→
→
[对点训练]
（2019·杭州模拟）已知命题：
“若数列{an}是等比数列，且an>0，bn＝（n∈N*），则数列{bn}也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？
并证明你的结论．
[解] 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{an}是等差数列，
bn＝（n∈N*），
则数列{bn}也是等差数列．
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，
则bn＝＝
＝a1＋（n－1），
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．
考点三 演绎推理
【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n∈N*）．证明：
（1）数列是等比数列；
（2）Sn＋1＝4an.
[证明]
（1）因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
所以（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），即nSn＋1＝2（n＋1）Sn.
故＝2·，（小前提）
故是以1为首项，2为公比的等比数列．（结论）
（大前提是等比数列的定义）
（2）由
（1）可知＝4·（n≥2），
所以Sn＋1＝4（n＋1）·＝4··Sn－1＝4an（n≥2）．（大前提）
又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，（小前提）
所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.（结论）
演绎推理的推证规则
（1）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；
（2）在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[对点训练]
已知函数y＝f（x）满足：
对任意a，b∈R，a≠b，都有af（a）＋bf（b）>af（b）＋bf（a），试证明：
f（x）为R上的单调增函数．
[证明] 设x1，x2∈R，取x1则由题意得x1f（x1）＋x2f（x2）>x1f（x2）＋x2f（x1），
所以x1[f（x1）－f（x2）]＋x2[f（x2）－f（x1）]>0，
[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）>0，
因为x10，f（x2）>f（x1）．
所以y＝f（x）为R上的单调增函数．
创新交汇系列⑤——合情推理在高考中的创新应用
素养解读：
合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．
【典例】
（1）（2017·全国卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可知知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
（2）（2017·北京卷）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
[切入点]
（1）对每个人是否知道自己的成绩逐一进行推理；
（2）设出男生、女生及教师人数，列关系式进行推理．
[关键点]
（1）对甲不知道自己成绩进行推理；
（2）设量列出不等关系．
[规范解答]
（1）根据已知信息，推断如下表：
因此，由以上推理可知，乙、丁可以知道自己的成绩．故选D.
（2）令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4[答案]
（1）D
（2）①6 ②12
合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比．
[感悟体验]
1．（2019·南宁市联考）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：
丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
[解析] 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C.
[答案] C
2．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
[解析] 由丙说的话可知，丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”．若丙的卡片上的数字是“1和2”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和3”，此时与甲说的话一致；若丙的卡片上的数字是“1和3”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和2”，此时与甲说的话矛盾．
综上可知，甲的卡片上的数字是“1和3”．
[答案] 1和3
课后跟踪训练（四十二）
基础巩固练
一、选择题
1．观察下面关于循环小数化分数的等式：
0.＝＝，0.＝＝，0.＝，0.000＝×＝，据此推测循环小数0.2可化成分数（ ）
A.B.C.D.
[解析] 0.2＝0.2＋0.1×0.＝＋×＝.故选D.
[答案] D
2．（2019·兰州模拟）如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是（ ）
A．27B．28C．29D．30
[解析] a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，
∴an－an－1＝n，
∴an＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝，
∴a7＝＝28，故选B.
[答案] B
3．（2019·惠州市高三二调）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：
把阳爻“
”当作数字“1”，把阴爻“
”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“
”，其表示的十进制数是（ ）
A．33B．34C．36D．35
[解析] 由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“
”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.
[答案] B
4．（2019·安徽省知名示范高中高三联考）某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：
①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．
则该参观团至多去了（ ）
A．B，D两镇B．A，B两镇
C．C，D两镇D．A，C两镇
[解析] 若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，根据②知去D镇，根据④知去C镇，根据③可知不去B镇，然后检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.
[答案] C
5.
如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i＝1,2,3,4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi（i＝1,2,3,4），若＝＝＝＝k，则1×h1＋2×h2＋3×h3＋4×h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i＝1,2,3,4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi（i＝1,2,3,4），若＝＝＝＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4值为（ ）
A.B.C.D.
[解析] ∵V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4
＝（kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4）
∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.故选B.
[答案] B
二、填空题
6．（2019·长春市高三质量监测）将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．
[解析] 由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.
[答案] 91
7．（2019·兰州市高考实战模拟）观察下列式子：
1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：
对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
[解析] 因为1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案] n2
8．（2019·河北卓越联盟月考）在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R＝________.
[解析] 若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝.理由如下：
设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，
由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，
所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，
所以内切球的半径R＝.
[答案]
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an（n≥2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
[解] n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－S1＝－，
∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：
Sn＝－，n∈N*.
10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
（1）若a，b，c成等差数列，证明：
sinA＋sinC＝2sin（A＋C）；
（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
[解]
（1）证明：
∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.
∵sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C），
∴sinA＋sinC＝2sin（A＋C）．
（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
由余弦定理得
cosB＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
∴cosB的最小值为.
能力提升练
11．（2019·贵州省高三适应性考试）我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：
“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是：
如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1，下底长为2的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y＝t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（ ）
A．4B.C．5D.
[解析] 由题意可知，S图1＝S图2＝×（1＋2）×3＝.故选B.
[答案] B
12．（2019·上海师大附中检测）若数列{an}满足：
对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得amA．2nB．2n2C．nD．n2
[解析] 对任意的n∈N*，an＝n2，则（a1）*＝0，（an）*＝（a3）*＝（a4）*＝1，（a5）*＝（a6）*＝…＝（a9）*＝2，（a10）*＝（a11）*＝…＝（a16）*＝3，……，所以（（a1）*）*＝1，（（a2）*）*＝4，（（a3）*）*＝9，……，由此猜想（（an）*）*＝n2.故选D.
[答案] D
13．（2019·沧州联考）在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：
“主要责任在乙”；乙说：
“丙应负主要责任”；丙说：
“甲说的对”；丁说：
“反正我没有责任”．四个人中只有一个人
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