与名师对话理合情推理与演绎推理.docx

1、与名师对话理合情推理与演绎推理第四节合情推理与演绎推理高考概览：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 知识梳理1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况

2、下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断辨识巧记1类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向3演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性 双基自测1判断下列结论的正误(

3、正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案(1)(2)(3)(4)2数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28 B32 C33 D27解析从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x201232.故选B.答案B3(选修22P77练习T1改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4

4、后，猜想an的表达式是()Aan3n2 Ban4n3Cann2 Dan3n1解析由a11，anan12n1，得a24，a39，a416.猜得ann2.故选C.答案C4演绎推理“因为对数函数ylogax(a0且a1)是增函数，而函数ylogx是对数函数，所以ylogx是增函数”所得结论错误的原因是()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D大前提和小前提都错误解析因为当a1时，ylogax在定义域内单调递增，当0a1时，ylogax在定义域内单调递减，所以大前提错误故选A.答案A5(选修22P84A组T5改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，且nN*)

5、成立类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_解析由等比数列的性质bn1b17nbn2b16nb1，得b1b2bnb1b2b3b4b17n(n17，nN*)答案b1b2bnb1b2b17n(n2，f(8)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_解析f(21)，f(22)2，f(23)，f(24)，归纳得f(2n)(nN*)答案f(2n)(nN*)3分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，

6、则a2018_.解析根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为25414，黑圈数为52413，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，.各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，即11,31,91,271,811，所以可以归纳出第n行的黑圈数an(nN*)所以a2018.答案考点二类比推理【例2】如图，在RtABC中，C90，设a，b，c分别表示三条边的

7、长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解如题图所示，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立拓展探究若本例条件“由勾股定理，得c2a2b2”换成“cos2Acos2B1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想解如图，在RtA

8、BC中，cos2Acos2B221.于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，四面体PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则cos2cos2cos21.类比推理的分类对点训练(2019杭州模拟)已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，bn(nN*)，则数列bn也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，bn(nN*)，则数列bn也是等差数列证明如下：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列

9、考点三演绎推理【例3】数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an. 证明(1)因为an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，所以Sn14(n1)4Sn14an(n2)(大前提)又因为a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)所以对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时

10、，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成对点训练已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，所以x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，因为x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数创新交汇系列合情推理在高考中的创新应用素养解读：合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据【典例】(1)

11、(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可知知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2017北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：()男学生人数多于女学生人数；()女学生人数多于教师人数；()教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_切入点(1)对每个人是否知道自己的成绩逐一进行推

12、理；(2)设出男生、女生及教师人数，列关系式进行推理关键点(1)对甲不知道自己成绩进行推理；(2)设量列出不等关系规范解答(1)根据已知信息，推断如下表：因此，由以上推理可知，乙、丁可以知道自己的成绩故选D.(2)令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则2zxyz，若教师人数为4，则4yx8，当x7时，y取得最大值6.当z1时，1zyx2，不满足条件；当z2时，2zyx4，不满足条件；当z3时，3zyx6，y4，x5，满足条件所以该小组人数的最小值为34512.答案(1)D(2)612合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推

13、理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比感悟体验1(2019南宁市联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是()A甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人故选C.答案C2有三张卡片，分别写有1和2

14、,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_解析由丙说的话可知，丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”若丙的卡片上的数字是“1和2”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和3”，此时与甲说的话一致；若丙的卡片上的数字是“1和3”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和2”，此时与甲说的话矛盾综上可知，甲的卡片上的数字是“1和3”答案1和3课后跟踪训

15、练(四十二) 基础巩固练一、选择题1观察下面关于循环小数化分数的等式：0.，0. ，0. ，0.000 ，据此推测循环小数0.2可化成分数()A. B. C. D.解析0.20.20.10.故选D.答案D2(2019兰州模拟)如图所示，把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()A27 B28 C29 D30解析a11，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，ann(n1)(n2)21，a728，故选B.答案B3(2019惠州市高三二调)周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素

16、的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A33 B34 C36 D35解析由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为02012102202302412534.故选B.答案B4(2019安徽省知名示范高中高三联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：若去A

17、镇，也必须去B镇；D，E两镇至少去一镇；B，C两镇只去一镇；C，D两镇都去或者都不去；若去E镇，则A，D两镇也必须去则该参观团至多去了()AB，D两镇 BA，B两镇CC，D两镇 DA，C两镇解析若去A镇，根据可知一定去B镇，根据可知不去C镇，根据可知不去D镇，根据可知去E镇，与矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据可知也不去E镇，根据知去D镇，根据知去C镇，根据可知不去B镇，然后检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇故选C.答案C5.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则1

18、h12h23h34h4.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若k，则H12H23H34H4值为()A. B. C. D.解析VS1H1S2H2S3H3S4H4(kH12kH23kH34kH4)H12H23H34H4.故选B.答案B二、填空题6(2019长春市高三质量监测)将1,2,3,4这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为_解析由三角形数组可推断出，第n行共有2n1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.答

19、案917(2019兰州市高考实战模拟)观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*,12n21_.解析因为112,12122,1232132,123432142，所以归纳可得12n21n2.答案n28(2019河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R_.解析若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R.理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，由于内切球的球心到各面的距离

20、等于内切球的半径，所以VS1RS2RS3RS4RSR，所以内切球的半径R.答案三、解答题9已知数列an的前n项和Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解n2时，anSnSn1，Sn2SnSn1，Sn120.当n1时，S1a1；当n2时，2S1，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn，nN*.10ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinAsinC2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值解(1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sinAsi

21、nC2sinB.sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cosB，当且仅当ac时等号成立cosB的最小值为.能力提升练11(2019贵州省高三适应性考试)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是立体的高意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1，下底长为2的梯形，且当实数t取0,3上的任意值时，直线yt被

22、图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为()A4 B. C5 D.解析由题意可知，S图1S图2(12)3.故选B.答案B12(2019上海师大附中检测)若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(an)*)*()A2n B2n2 Cn Dn2解析对任意的nN*，ann2，则(a1)*0，(an)*(a3)*(a4)*1，(a5)*(a6)*(a9)*2，(a10)*(a11)*(a16)*3，所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，由此猜想(an)*)*n2.故选D.答案D13(2019沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”四个人中只有一个人