＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左，右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解 由椭圆C2：
＋y2＝1，知A1（－3,0），A2（3,0）．
设点A的坐标为（x0，y0），
由曲线的对称性，得B（x0，－y0），
设点M的坐标为（x，y），
直线AA1的方程为y＝（x＋3）．①
直线A2B的方程为y＝（x－3）．②
由①②得y2＝（x2－9）．③
又点A（x0，y0）在椭圆C2上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1（x<－3，y<0）．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1（x<－3，y<0）．
思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由O1O2＝4，得O1（－2,0），O2（2,0）．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有MO1＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有MO2＝r＋2.
∴MO2－MO1＝3<4＝O1O2.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1（x≤－）．
题型二 直接法求轨迹方程
例2 （2016·常州模拟）已知圆O：
x2＋y2＝4，点A（，0），以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．
解
（1）设AB的中点为M，切点为N，连结OM，ON，则
OM＋MN＝ON＝2，取A关于y轴的对称点A′，
连结A′B，故A′B＋AB＝2（OM＋MN）＝4.
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a＝2，c＝，b＝1，则
曲线Γ的方程为＋y2＝1.
（2）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，则⊥.
设B（x0，y0），则＝（x0－，y0），
所以x0（x0－）＋y＝0.
又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±.
则kOB＝±，kAB＝∓，
则直线AB的方程为y＝±（x－），
即x－y－＝0或x＋y－＝0.
思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1（a>b>0）的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解
（1）设F1（－c,0），F2（c,0）（c>0）．
由题意，可得PF2＝F1F2，即＝2c，
整理得22＋－1＝0，
得＝－1（舍去）或＝.所以e＝.
（2）由
（1）知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝（x－c）．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解
不妨设A，B（0，－c）．
设点M的坐标为（x，y），
则＝，＝（x，y＋c）．
由y＝（x－c），得c＝x－y.
于是＝，＝（x，x），由·＝－2，
即·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0（x>0）．
题型三 相关点法求轨迹方程
例3 （2016·盐城模拟）如图所示，抛物线C1：
x2＝4y，C2：
x2＝－2py（p>0）．点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O）．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
（1）求p的值；
（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
解
（1）因为抛物线C1：
x2＝4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，
所以点A的坐标为（－1，），
故切线MA的方程为y＝－（x＋1）＋.
因为点M（1－，y0）在切线MA及抛物线C2上，
所以y0＝－×（2－）＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
（2）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2.
由N为线段AB的中点，知
x＝，③
y＝.④
所以切线MA，MB的方程分别为
y＝（x－x1）＋，⑤
y＝（x－x2）＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M（x0，y0）在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，
AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.
思维升华 “相关点法”的基本步骤
（1）设点：
设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x1，y1）．
（2）求关系式：
求出两个动点坐标之间的关系式
（3）代换：
将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B（a为定值），C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
解 设△ABC的重心为G（x，y），
点C的坐标为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由方程组
消去y并整理得
x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝（x1－4a）＋（x2－4a）＝（x1＋x2）－8a＝4a.
∵G（x，y）为△ABC的重心，
∴∴
又点C（x0，y0）在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得
（3y－4a）2＝4a（3x－12a），
即（y－）2＝（x－4a）．
又点C与A，B不重合，∴x0≠（6±2）a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
（y－）2＝（x－4a）（x≠（6±）a）．
分类讨论思想在曲线方程中的应用
典例 （16分）已知抛物线y2＝2px经过点M（2，－2），椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
（1）求抛物线与椭圆的方程；
（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ（λ≠0），试求Q的轨迹．
思想方法指导
（1）由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论．
（2）等价变换是解题的关键：
即必须分三种情况讨论轨迹方程．
（3）区分求轨迹方程与求轨迹问题．
规范解答
解
（1）因为抛物线y2＝2px经过点M（2，－2），
所以（－2）2＝4p，解得p＝2.[2分]
所以抛物线的方程为y2＝4x，
其焦点为F（1,0），即椭圆的右焦点为F（1,0），得c＝1.
又椭圆的离心率为，所以a＝2，
可得b2＝4－1＝3，[4分]
故椭圆的方程为＋＝1.[5分]
（2）设Q（x，y），其中x∈[－2,2]，
设P（x，y0），因为P为椭圆上一点，
所以＋＝1，
解得y＝3－x2.[7分]
由＝λ可得＝λ2，
故＝λ2，
得（λ2－）x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]．[10分]
当λ2＝，即λ＝时，得y2＝12，
点Q的轨迹方程为y＝±2，x∈[－2,2]，
此轨迹是两条平行于x轴的线段；[12分]
当λ2<，即0<λ<时，
得到＋＝1，
此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分；[14分]
当λ2>，即λ>时，得到＋＝1.
此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分．[16分]
1．（2016·无锡质检）设定点M1（0，－3），M2（0,3），动点P满足条件PM1＋PM2＝a＋（其中a是正常数），则点P的轨迹是__________．
答案 椭圆或线段
解析 ∵a是正常数，∴a＋≥2＝6.
当PM1＋PM2＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当a＋>6时，点P的轨迹是椭圆．
2．（2016·南京模拟）已知点M与双曲线－＝1的左，右焦点F1，F2的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为________________．
答案 x2＋y2＋26x＋25＝0
解析 F1（－5,0），F2（5,0），设M（x，y），则＝，化简得x2＋y2＋26x＋25＝0.
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M（－1,2），Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝MQ，则Q点的轨迹方程是____________．
答案 2x－y＋5＝0
解析 由题意知，M为PQ中点，
设Q（x，y），则P为（－2－x,4－y），
代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
4．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________．
答案 3
解析 ∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，
∴e＝2或e＝.
mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，
当它表示焦点在x轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝3；
当它表示焦点在y轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝；
当它表示焦点在x轴上的双曲线时，
可化为－＝1，
有＝2，∴m＝－12.
∴满足条件的圆锥曲线有3个．
5．已知点A（1,0），直线l：
y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为____________．
答案 y＝2x
解析 设P（x，y），R（x1，y1），由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R（x1，y1）在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2（2－x）－4，即y＝2x.
6．平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足＝λ1＋λ2（O为原点），其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是________．
答案 直线
解析 设C（x，y），则＝（x，y），＝（3,1），＝（－1,3），
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
7．曲线C是平面内与两个定点F1（－1,0）和F2（1,0）的距离的积等于常数a2（a>1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
答案 ②③
解析 因为原点O到两个定点F1（－1,0），F2（1,0）的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1（－1,0），F2（1,0）关于原点对称，所以PF1·PF2＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为
＝PF1·PF2·sin∠F1PF2≤PF1·PF2＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．
8．（2017·南通月考）已知△ABC的顶点A，B坐标分别为（－4,0），（4,0），C为动点，且满足sinB＋sinA＝sinC，则C点的轨迹方程为________________．
答案 ＋＝1（x≠±5）
解析 由sinB＋sinA＝sinC可知b＋a＝c＝10，
则AC＋BC＝10>8＝AB，∴满足椭圆定义．
令椭圆方程为＋＝1，
则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为
＋＝1（x≠±5）．
9.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
答案 ＋＝1
解析 由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q（x，y），
则＝－＝（－，－），
即P点坐标为（－，－），又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A（－1,0），B（1，0）且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________．
答案 ＋＝1（y≠0）
解析 设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则AA1＋BB1＝2OO1＝4，
由抛物线定义得AA1＋BB1＝FA＋FB，
∴FA＋FB＝4>2＝AB，故F点的轨迹是以A，B为焦点，
长轴长为4的椭圆（去掉长轴两端点）．
∴轨迹方程为＋＝1（y≠0）．
11．过点（1,0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y＝x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．
解 由e＝＝，得＝，
从而a2＝2b2，c＝b.
设椭圆C的方程为x2＋2y2＝2b2，
A（x1，y1）、B（x2，y2），
∵A、B在椭圆C上，∴x＋2y＝2b2，x＋2y＝2b2，
两式相减得（x－x）＋2（y－y）＝0，
即＝－.
设AB中点坐标为（x0，y0），则kAB＝－，
又（x0，y0）在直线y＝x上，故y0＝x0，
于是－＝－1，即kAB＝－1，
故直线l的方程为y＝－x＋1.
右焦点（b,0）关于直线l的对称点设为（x′，y′），
则 解得
由点（1,1－b）在椭圆上，得1＋2（1－b）2＝2b2，
∴b＝，∴b2＝，a2＝.
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
12．（2016·连云港模拟）定圆M：
（x＋）2＋y2＝16，动圆N过点F（，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且AC＝BC，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．
解
（1）∵F（，0）在圆M：
（x＋）2＋y2＝16内，
∴圆N内切于圆M.∵NM＋NF＝4>FM，
∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝，∴b＝1，
∴轨迹E的方程为＋y2＝1.
（2）①当AB为长轴（或短轴）时，S△ABC＝OC·AB＝2.
②当直线AB的斜率存在且不为0时，
设直线AB的方程为y＝kx，A（xA，yA），
联立方程得x＝，y＝，
∴OA2＝x＋y＝.
将上式中的k替换为－，可得OC2＝.
∴S△ABC＝2S△AOC＝OA·OC
＝·＝.
∵≤
＝，
∴S△ABC≥，
当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是.
∵2>，∴△ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
*13.（2016·河北衡水中学三调）如图，已知圆E：
（x＋）2＋y2＝16，点F（，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）设直线l与
（1）中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k>0），△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．
解
（1）连结QF，根据题意，
QP＝QF，
则QE＋QF＝QE＋QP
＝4>EF＝2，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．
设其方程为＋＝1（a>b>0），
可知a＝2，c＝，∴b＝1，
∴点Q的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
（2）设直线l的方程为y＝kx＋m，
A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程整理得，
（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16（1＋4k2－m2）>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵k1，k，k2构成等比数列，
∴k2＝k1k2＝，
整理得km（x1＋x2）＋m2＝0，
∴＋m2＝0，解得k2＝.
∵k>0，∴k＝.
此时Δ＝16（2－m2）>0，
解得m∈（－，）．
又由A，O，B三点不共线得m≠0，
从而m∈（－，0）∪（0，）．
故S＝·AB·d＝|x1－x2|·
＝·|m|
＝|m|.
又＋y＝＋y＝1，
则S1＋S2＝（x＋y＋x＋y）
＝（x＋x＋2）
＝[（x1＋x2）2－2x1x2]＋＝为定值．
∴＝×≥，
当且仅当m＝±1时等号成立．
综上，∈[，＋∞）．
升级会员 