范例2:
在直角坐标系中,以原点O为圆心,5为半径作圆,则下列各点在圆外的是( D )
A.(4,3) B.(2,2) C.(3,4) D.(4,4)
仿例1:
已知点A在以O为圆心,3cm为半径的⊙O内,则点A到圆心O的距离d的范围是0≤d<3.
仿例2:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是( A )
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外D.无法确定
仿例3:
已知一个点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远点距离为8cm,则这个圆的半径为6cm或2cm.
交流展示 生成新知
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一 圆的有关概念
知识模块二 点和圆的位置关系
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书;【课后检测】见学生用书.
课后反思 查漏补缺
1.收获:
________________________________________________________________________
2.存在困惑:
________________________________________________________________________
课题:
圆的对称性
【学习目标】
1.理解圆是轴对称图形和中心对称图形,从圆具有旋转不变性,深入领会同圆或等圆中,相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系.
2.经历圆是轴对称图形和中心对称图形的探索,学会运用在同圆或等圆中,相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系来解决数学问题.
【学习重点】
圆心角、弧、弦之间关系定理的证明和应用.
【学习难点】
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的运用.
行为提示:
点燃激情,引发学生思考本节课学什么.
行为提示:
认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,能在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识.
方法指导:
圆心角、弧、弦之间的关系是证明等角、等弧、等线段的常用方法.在这三组量中要证明其中的一组量相等,只需证明其他两组量中有一组量相等就可以.情景导入 生成问题
旧知回顾:
1.圆是轴对称图形吗?
其对称轴是什么?
答:
由沿过圆心的直线折叠可知是轴对称图形,过圆心的每条直线都是它的对称轴.
2.圆是中心对称图形吗?
圆还有哪些特殊性质?
答:
(1)圆是中心对称图形,对称中心为圆心;
(2)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合即圆具有旋转不变性.
自学互研 生成能力
阅读教材P70~P71,完成下面的内容:
圆的对称性指哪些?
答:
(1)圆是轴对称图形,其对称轴是经过圆心的直线;
(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心;
(3)一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
范例1:
下列语句中,不正确的是( C )
A.圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时,不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
仿例1:
如图所示,⊙O与⊙O′是任意的两个圆,把这两个圆看作一个整体,它是一个轴对称图形,这个图形的对称轴是直线OO′.
(仿例1题图))
(仿例2题图))
仿例2:
如图所示,AB的长为10cm,且CD⊥AB于点O,则图中阴影部分的面积为
πcm2 ,.)
解题思路:
在利用性质进行判断时,要注意大前提“在同圆或等圆中”;在利用性质进行证明时,要注意灵活转化,如证弧相等,可转化为证所对的圆心角相等.
行为提示:
教会学生怎么交流,先对学,再群学,充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决.
阅读教材P71~P72,完成下面的内容:
1.什么是圆心角?
答:
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角、弧、弦之间的关系是怎样的?
答:
(1)在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
(2)在同圆和等圆中,如果圆心角、弧、弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等.
范例2:
如图AB,CD是⊙O的两条弦(填写正确结论):
(1)如果AB=CD,那么
=
,∠AOB=∠COD;
(2)如果∠AOB=∠COD,那么
=
,AB=CD;
(3)如果
=
,那么AB=CD,∠AOB=∠COD.
仿例1:
如图所示,在⊙O中,
=
,∠A=40°,则∠B的度数为( B )
A.80° B.70° C.50° D.60°
(范例2题图))
(仿例1题图))
(仿例2题图))
仿例2:
如图AB是⊙O的直径,BC,CD,DA都是⊙O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( C )
A.100°B.110°C.120°D.135°
仿例3:
如图,在⊙O中,
=
,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,CD与CE的大小有什么关系?
为什么?
解:
CD=CE.连接OC.
∵
=
,∴∠AOC=∠BOC.
∵OC=OC,∠CDO=∠CEO,
∴△OCD≌△OCE,∴CD=CE.
交流展示 生成新知
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一 圆的对称性
知识模块二 圆心角、弧、弦之间的关系
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书;【课后检测】见学生用书.
课后反思 查漏补缺
1.收获:
________________________________________________________________________
2.存在困惑:
________________________________________________________________________
课题:
垂径定理
【学习目标】
1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,理解并掌握垂径定理及推论,并能够灵活应用.
2.在对圆的对称性和垂径定理的探索中,对其各组量之间的推导能够融会贯通.
【学习重点】
垂径定理及其推论的发现、记忆和证明.
【学习难点】
垂径定理的推导及应用.
行为提示:
点燃激情,引发学生思考本节课学什么.
行为提示:
教会学生怎么交流,先对学,再群学,充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决.
解题思路:
在解决圆中有关弦的问题时,常过圆心作弦的垂线段,再利用垂径定理和勾股定理来求解.情景导入 生成问题
旧知回顾:
1.圆心角、弧、弦、弦心距的关系是怎样的?
答:
(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2.圆是轴对称图形吗?
答:
圆是轴对称图形,其对称轴是经过圆心的直线.
自学互研 生成能力
阅读教材P74~P75,完成下面的内容:
1.垂径定理的内容是什么?
有哪些推论?
答:
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对弧.
2.如图,根据垂径定理,将此圆形分为五个要素:
①CD过圆心;②CD⊥AB;③AM=BM;④
=
;⑤
=
.将其中任意两个要素组合,都能推出其他三个要素.试举例说明.
解:
如②③⇒①④⑤,连接CA,CB,AD,BD可证明.过程略.
范例1:
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是( D )
A.CM=DM B.
=
C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD
(范例1题图))
(仿例1题图))
仿例1:
(长沙中考)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,若BC=6,AB=10,OD⊥BC于点D,则OD的长为4.
仿例2:
在半径为4的圆中,垂直平分半径的弦长为( D )
A.
B.2
C.3
D.4
知识链接:
注意准确理解垂径定理及其推论的条件:
垂径定理中只要过圆心作弦的垂线就符合定理条件了;推论中被直径平分的弦不能是直径这一点要记牢.此外,垂径定理的计算紧扣由“弦的一半、弦心距、半径”构成的基本图形,结合勾股定理解决问题.
行为提示:
教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务,各组在展示过程中,老师引导其他组进行补充纠错,最后进行总结评分. 仿例3:
过⊙O内的点M最长的弦长为6cm,最短的弦长是4cm,则OM的长是( B )
A.
cm B.
cm C.2cm D.3cm
仿例4:
⊙O内两条平行弦长为16cm和12cm,⊙O半径为10cm,则这两条平行弦的距离是14cm或2cm.
阅读教材P74~P75,完成下面的内容:
范例2:
(衢州中考)一排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1m.水面宽AB=1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m.则此时排水管水面宽CD等于1.6m.
仿例:
如图,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2m,拱桥高出水面2.4m,现有一艘宽3m,船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
解:
设圆心为O,作OC⊥MN,交MN于点H,交AB于点D,交圆于点C,连接ON,OB,
∵OC⊥AB,∴BD=
AB=3.6m,∵CD=2.4m,
设OB=OC=ON=r,则OD=(r-2.4)m,
在Rt△BOD中,r2=(r-2.4)2+3.62,r=3.9,
∵CD=2.4m,ME=NF=2m,∴CH=2.4-2=0.4m,OH=r-CH=3.5m,
在Rt△OHN中,HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96,
∴HN=
m,MN=2HN≈3.44m>3m,
∴此货船能顺利通过拱桥.
交流展示 生成新知
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一 垂径定理及其推论
知识模块二 垂径定理的应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书;【课后检测】见学生用书.
课后反思 查漏补缺
1.收获:
________________________________________________________________________
2.存在困惑:
________________________________________________________________________
课题:
圆周角和圆心角的关系、圆周角定理
【学习目标】
1.经历探索圆周角和圆心角关系的过程,理解圆周角的概念及其相关性质.
2.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.
【学习重点】
圆周角和圆心角的关系.
【学习难点】
圆周角定理的理解和运用.
行为提示:
创景设疑,帮助学生知道本节课学什么.
行为提示:
认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,并在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识.
方法指导:
圆周角与圆心角的关系中间有一座“桥梁”,那就是它们都对着同一条弧,所以在用定理的时候,需要通过这座桥,找到角之间的关系.情景导入 生成问题
旧知回顾:
1.什么是圆心角?
答:
顶点在圆心的角.
2.圆心角、弧、弦之间的关系是什么?
答:
(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
自学互研 生成能力
阅读教材P78~P79,完成下面的内容:
什么是圆周角?
答:
顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角叫圆周角.
范例1:
如图所示,∠ABC是圆周角的是( A )
A B C D
仿例1:
如图所示,A,B,C,D是⊙O上的四个点,则图中共有__4__个圆周角,分别是∠A,∠B,∠C,∠D.
阅读教材P79~P80,完成下面的内容:
圆周角定理的内容是什么?
其推论的内容是什么?
答:
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半.推论:
同弧或等弧所对的圆周角相等.
范例2:
(巴中中考)如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( A )
A.25° B.50° C.60° D.30°
方法指导:
同弧所对的圆周角相等,同弦所对的圆周角相等或互补,在实际做题时一定要让学生认真分辨.
行为提示:
在群学后期教师可有意安排每组展示问题,并给学生板书题目和组内演练的时间.有展示、有补充、有质疑、有评价穿插其中. 仿例1:
(黔西南中考)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,若∠AOC=80°,则∠B=40°.
(范例2题图))
(仿例1题图))
(仿例2题图))
仿例2:
如图,点A,B,C,D在⊙O上,若∠C=60°,则∠D=60°,∠O=120°.
范例3:
如图,CD⊥AB于点E,若∠B=60°,则∠A=30°.
(范例3题图))
(仿例1题图))
(仿例2题图))
仿例1:
(天水中考)如图,在边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O在格点上,则∠AED的正切值为
,.)
仿例2:
(威海中考)如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为( B )
A.68° B.88° C.90° D.112°
仿例3:
如图所示,OA,OB,OC都是圆O的半径,∠AOB=2∠BOC.求证:
∠ACB=2∠BAC.
证明:
∵
∠AOB=∠ACB,
∠BOC=∠BAC,
又∵∠AOB=2∠BOC.
∴
∠AOB=2×
∠BOC,
∴∠ACB=2∠BAC.
交流展示 生成新知
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一 圆周角的概念
知识模块二 圆周角定理及其推论
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书;【课后检测】见学生用书.
课后反思 查漏补缺
1.收获:
________________________________________________________________________
2.存在困惑:
________________________________________________________________________
课题:
圆周角定理的推论及圆内接四边形
【学习目标】
1.理解圆内接多边形和多边形的外接圆的概念,掌握圆内接四边形的性质,并会用此性质进行有关的计算和证明.
2.进一步掌握圆周角定理及推论,并会综合运用所学知识进行计算和证明.
【学习重点】
理解圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质,进行相关证明和计算.
【学习难点】
相关定理和性质的灵活应用.
方法指导:
一般地,如果题目中有直径,往往作出直径所对的圆周角——直角,在直角三角形中解决问题.
行为提示:
教会学生看书,自学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案,教会学生落实重点.
知识链接:
可适当补充,圆内接四边形对角互补,其外角等于它的内对角.情景导入 生成问题
旧知回顾:
1.什么是圆周角?
答:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论的内容是什么?
答:
圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.推论:
同弧或等弧所对的圆周角相等.
自学互研 生成能力
阅读教材P81~P82,完成下面的内容:
直径所对圆周角有何特点?
它的逆命题成立吗?
答:
直径所对的圆周角是直角,它的逆命题也成立,90°的圆周角所对弦是直径.
范例1:
(郴州中考)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为50°.
仿例1:
(深圳中考)如图,AB为⊙O直径,已知∠DCB=20°,则∠DBA为70°.
(范例1题图))
(仿例1题图))
(仿例2题图))
仿例2:
如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过点C作CD⊥AB交AB于点D,已知cos∠ACD=
,BC=4,则AC的长为
,.)
阅读教材P81~P82,完成下面的内容:
什么是圆内接四边形?
圆内接四边形的性质是什么?
答:
(1)四边形的四个顶点都在同一个圆上,这样的四边形叫圆内接四边形,这个圆叫四边形的外接圆;
(2)圆内接四边形的对角互补.
范例2:
(山西中考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为
的中点.若∠A=40°,则∠B=70°.
解题思路:
有直径往往需要构造直径所对的圆周角,这是常见辅助线.圆内接四边形的性质中,要注意理解“对角”是两个相对的“圆周角”.此外,还要注意与特殊三角形的性质、相似三角形的判定和性质的综合运用.
行为提示:
教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务,各组在展示过程中,老师引导其他组进行补充纠错,最后进行总结评分. 仿例1:
如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是( B )
A.115° B.105° C.100° D.95°
(范例2题图))
(仿例1题图))
(仿例2题图))
仿例2:
如图,在⊙O中,∠AOC=100°,则∠ABC的度数是( C )
A.70°B.100°C.130°D.150°
仿例3:
如图,AB是⊙O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC=
,.)
(仿例3题图)
(仿例4题图)
仿例4:
(青岛中考)如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,则∠F=40°.
仿例5:
如图,BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为点D,
=
,BF和AD交于点E,求证:
AE=BE.
证明:
连接AB,AC,
∵BC为直径,∴∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,
∵AD⊥BC,∴∠ACD+∠EAC=90°,∴∠ACB=∠BAD,
∵
=
,∴∠ACB=∠ABF,
∴∠ABF=∠BAD,∴AE=BF.
交流展示 生成新知
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一 直径所对圆周角
知识模块二 圆内接四边形
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书;【课后检测】见学生用书.
课后反思 查漏补缺
1.收获:
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2.存在困惑:
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