133不等式选讲.docx

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133不等式选讲

一、选择题

1．（2011·山东理，4）不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是（　　）

A．[－5,7]B．[－4,6]

C．（－∞，－5]∪[7，＋∞）D．（－∞，－4]∪[6，＋∞）

[答案]　D

[解析]　本题主要考查了绝对值不等式的解法．

依题意：

“|x－5|＋|x＋3|”的几何意义为：

点x到点5，－3的距离之和．而当x＝－4或6时，|x－5|＋|x＋3|＝10，

∴原不等式的解集为x∈（－∞，－4]∪[6，＋∞）．

2．（文）已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是（　　）

A．a>

>

B.

>

>a

C.

>

>aD.

>a>

[答案]　C

[解析]　∵b<－1，∴

<0<

<1，

又∵a<0，∴

>

>a，∴选C.

（理）（2010·天津理）设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A

B，则实数a，b必满足（　　）

A．|a＋b|≤3B．|a＋b|≥3

C．|a－b|≤3D．|a－b|≥3

[答案]　D

[解析]　由题知：

A＝{x|a－1

B＝{x|xb＋2}，

若A

B，则有a－1≥2＋b或a＋1≤b－2，

解得a－b≥3或a－b≤－3，

即|a－b|≥3，故选D.

二、填空题

3．（2011·江西文，15）对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．

[答案]　[0，＋∞）

[解析]　本题主要考查绝对值不等式的解法．利用分情况解决．

当x≤－10时，原不等式变为：

－x－10＋x－2≥8，

即－12≥8，不符合要求；

当－10

x＋10＋x－2≥8，

即2x≥0，解得0≤x<2，

当x≥2时，原不等式变为：

x＋10－x＋2≥8，

即12≥8恒成立，∴x≥2.

综上所述，原不等式的解集为：

[0，＋∞）．

4．（2012·深圳模拟）已知命题“

x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[答案]　（－∞，－3）∪（1，＋∞）

[解析]　∵命题“

x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，

∴命题“

x∈R，|x－a|＋|x＋1|>2”是真命题，

由绝对值的几何意义得|a＋1|>2，即a<－3或a>1.

5．（陕西质检二）对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是________．

[答案]　k<1

[解析]　∵|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－x－1|＝1，∴当且仅当k<1时，不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立．本题考查了含绝对值的不等式恒成立的问题，利用不等式的结构特征将变量消去是处理恒成立问题的通法．

6．（北京海淀期中练习）设函数f（x）＝|x＋1|＋|x－a|（a>0）．若不等式f（x）≥5的解集为（－∞，－2]∪[3，＋∞），则a的值为________．

[答案]　2

[解析]　由题易知f（－2）＝f（3）＝5，解得a＝2.

三、解答题

7．（2011·福建理21（3））设不等式|2x－1|<1的解集为M.

（1）求集合M；

（2）若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

[解析]　

（1）由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，

解得0

所以M＝{x|0

（2）由

（1）和a，b∈M可知0

所以（ab＋1）－（a＋b）＝（a－1）（b－1）>0，

故ab＋1>a＋b.

8．（2011·辽宁理，24）已知函数f（x）＝|x－2|－|x－5|.

（1）证明：

－3≤f（x）≤3；

（2）求不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集．

[解析]　

（1）f（x）＝|x－2|－|x－5|

＝

当2

所以－3≤f（x）≤3.

（2）由

（1）可知，

当x≤2时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为空集；

当2

≤x<5}；

当x≥5时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．

综上，不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5－

≤x≤6}.

一、选择题

1．不等式（1＋x）（1－|x|）>0的解集是（　　）

A．{x|0≤x<1}B．{x|x<0且x≠－1}

C．{x|－1

[答案]　D

[解析]　解法一：

原不等式等价于不等式组

①或

②

由①式得－1

故知原不等式的解集是{x|x<1且x≠－1}，故选D.

解法二：

取x＝0，－2，显然是原不等式的解，故排除A、B、C，从而选D.

解法三：

函数y＝（1＋x）（1－|x|）的零点为－1,1，在（－∞，－1），（－1,1），（1，＋∞）上y的正负号依次为正、正、负，故选D.

2．（文）（2012·绵阳模拟）已知p：

|2x－5|≤1，q：

（x＋2）（x－3）≤0，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　依题意，p：

|2x－5|≤1，解得2≤x≤3，

q：

（x＋2）（x－3）≤0，解得－2≤x≤3，

所以p是q的充分不必要条件．

（理）（2012·兰州模拟）已知变量x，y满足约束条件

，则z＝2x－y的最小值为（　　）

A．－5B．－6

C．1D．2

[答案]　B

[解析]　

可化为

或

，

表示的平面区域如图中阴影部分，当直线y＝2x－z经过（－2,2）时，－z取得最大值，则z取得最小值，所以z的最小值为－6.

二、填空题

3．（2011·江西理，15

（2））对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．

[答案]　5

[解析]　本题主要考查绝对值不等式的性质．

|x－2y＋1|＝|x－1－2（y－2）－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2×1＋2＝5.

4．（文）（2011·陕西文，15A）若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

[答案]　（－∞，3]

[解析]　本题考查绝对值不等式，不等式恒成立问题．

令y＝|x＋1|＋|x－2|，由绝对值不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|知y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.

所以a≤3.

（理）（2011·陕西理，15A）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．

[答案]　（－∞，－3]∪[3，＋∞）

[解析]　本小题考查绝对值不等式的解法．

|x＋1|＋|x－2|≥3.

∴|a|≥3.

∴a≤－3或a≥3.

5．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围是________．

[答案]　（－1,0）

[解析]　|x－1|＋|x－2|≥|（x－1）－（x－2）|＝1，

要使原不等式解集为空集，则必须a2＋a＋1<1，

解得－1

6．已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝2，a2＋2b2＋3c2＝4，则a的取值范围为____________．

[答案]　

≤a≤2

[解析]　由已知得b＋c＝2－a,2b2＋3c2＝4－a2，联想柯西不等式可得（2b2＋3c2）（

＋

）≥（b＋c）2，得（4－a2）×

≥（2－a）2，所以11a2－24a＋4≤0，得

≤a≤2.

三、解答题

7．（吉林质检）设函数f（x）＝

.

（1）当a＝－5时，求函数f（x）的定义域；

（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

[解析]　本题考查不等式的解法，含有参数，需要分类讨论，有一定难度．

（1）由题设知：

|x＋1|＋|x－2|－5≥0，

如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，得定义域为（－∞，－2]∪[3，＋∞）．

（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a.

又由

（1）|x＋1|＋|x－2|≥3，∴－a≤3

a≥－3.

8．（2011·新课标理，24）设函数f（x）＝|x－a|＋3x，

其中a>0，

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集．

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

[解析]　

（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1.

故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．

（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.

此不等式化为不等式组

或

即

或

因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－

}．

由题设可得－

＝－1，故a＝2.