数学实验概率论与数理统计分册习题yizuo.docx
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数学实验概率论与数理统计分册习题yizuo
数学实验
概率论与数理统计分册习题
第1章古典概型
1．求下列各式的值
（1）9！
（2）9！
！
prod（2:
2:
9）ans=384
factorial（9）
ans=362880
（3）
（4）
nchoosek（10,3）ans=120
nchoosek（10,3）*factorial（3）
ans=720
2．碰运气能否通过英语四级考试
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。
这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。
除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D四个选项。
这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?
解假定不考虑写作所占的15分,若按及格为60分计算,则85道选择题必须要答对51道题以上才行,这可以看成是85重伯努利试验。
设随机变量
表示答对的题数,则
其分布律为:
若要及格,必须
其概率为
此概率非常之小,故可认为靠运气通过英语四级考试几乎是不可能发生的事件,它相当于在1000亿个碰运气的考生中,只有0.874个人可以通过考试,然而,我们地球上只有60多亿人口。
3.在区域H＝{（x，y）|（x，y）∈Q，x2+y2≤1}，Q＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：
第2章随机变量及其分布
1．随机变量X服从参数为试验次数20，概率为0.25的二项分布。
（1）生成X的概率分布；
（2）产生18个随机数（3行6列）；
（3）又已知分布函数F（x）=0.45，求x；
（4）画出X的分布律和分布函数图形。
3．随机变量X服从标准正态分布。
（1）求分布函数在-2，-1，0，1，2，3，4，5的函数值；
（2）产生18个随机数（3行6列）；
（3）又已知分布函数F（x）=0.45，求x；
（4）在同一个坐标系画出X的概率密度和分布函数图形。
4．公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。
根据统计资料，成年男子的身高X服从均值为168厘米，方差为7厘米的正态分布，那么车门的高度应该至少设计为多少厘米？
5．某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除。
试问：
（1）为保证当仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，至少要配多少个维修工人？
（2）若一人包修20台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？
（3）若由3人共同负责维修80台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？
6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N（m，b2），其中b已知，m可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m的值使得厂方损失最小？
第3章 随机变量的数字特征
1．设有标着1，2，…，9号码的9只球放在一个盒子中，从其中有放回地取出4只球，重复取100次，求所得号码之和X的数学期望及其方差。
2．假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是随机变
量（单位：
吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布。
如果售出一吨，可获利3万元，而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大?
3．某厂生产的某种型号的细轴中任取20个，测得其直径数据如下（单位：
mm）：
13.26，13.63，13.13，13.47，13.40，13.56，13.35，13.56，13.38，13.20，
13.48，13.58，13.57，13.37，13.48，13.46，13.51，13.29，13.42，13.69
求以上数据的样本均值与样本方差。
4．将一枚硬币重复掷n次，并以X，Y分别表示出现正面和反面的次数．求X和Y的相关系数。
5．设某小型水电站一天的供电量X（kWh）在[100，200]上均匀分布，而当地人们的需求量Y在[100,250]上均匀分布。
设水电站每供电1kWH有利润0.2元；若需求量超过供电量，则水电站可以从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWH有利润0.1元。
求该水电站在一天内利润的数学期望。
6．甲、乙两组各有6位同学参加同一次测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
7．将
只球（1～
号）随机地放到
只盒子（１～
号）中去，一只盒子装一只球。
若一只球装入与它同号的盒子中，称为一个配对，记为总的配
对数，求
。
第4章 大数定理和中心极限定理
1．在次品率为
的大批产品中，任意抽取300件产品。
利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在（40，60）的概率。
2．在天平上重复独立地称一重为a（单位：
g）的物品，各次称得的结果都服从
正态分布
。
若以表示次
称得结果的算术平均值，为使
是少要称多少次？
分别用切比雪夫不等式和独立同分布的中心极限定理求解．
3．设个零件的重量都是随机变量，他们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
4．学校图书馆阅览室共有880个座位，学校共有12000名学生。
已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为8%。
（1）求阅览室晚上座位不够用的概率；
（2）若要以80%的概率保证晚上去阅览室自习的学生都有座位，阅览室还需要增添多少个座位？
5．有一批钢材，其中80%的长度不小于3m，现从钢材中随机抽出100根，试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30根的概率。
6．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。
假设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重量为5t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977。
7.对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？
其相应的概率是多少？
试用matlab进行模拟，观察试验与理论结果的差异。
第5章估计理论
1.产生100个标准正态分布的随机数，对这100个数据的列向量,用”+”标注其数据位置,做最小二乘拟合直线。
2．在一批货物的容量为100的样本中经检验发现有16只次品，求该批货物次品率的置信度为0.95的置信区间。
3.为比较甲，乙两台包装机的生产状况，从甲包装机生产的产品中取10袋，称得平均重量为500（克），标准差1.1克，从乙包装机生产的产品中取20袋，称得平均重量为496（克）标准差1.2克，假设两总体都服从正态分布，并且方差相等.求两总体均值差的0.95置信区间。
4.随机的从两批导线中分别抽取4根和5根，测得电阻分别为0.143，0.142，0.143，0.137和0.140，0.136，0.142，0.138，0.140，设测得数据分别来自两相互独立的正态分布，求两总体方差比的0.95的置信区间
5.有两个外形完全相同的箱子，一个箱子中装有99个白球，1个红球，另一个箱子中装有1个白球，99个红球，现从两个箱子中任取一箱，从中任取一球，请根据取球结果估计箱中白球数与红球数之比是1：
99还是99：
1，并模拟。
6.水电站运行的最重要的特点是其运行的情况的不确定性，这种不确定性的主要原因是入库径流的随机性造成的。
径流也称为来水，水库的来水是一个以年为周期的随机过程，设一年按旬分为12x3=36个时段，在每一固定时段，水库来水是一个随机变量X，称其为时段径流，不同时段的时段径流特性是不一样的，它们的分布对于水库优化调度和防洪减灾提供了重要参考信息，下面是某水库的39年径流在7月上，中，下旬的历史径流数据，单位为m3
/s
表5.3七月上旬径流数据
356
258
222
208
163
342
501
501
782
225
630
2305
931
485
503
501
422
101
280
1807
922
390
466
211
922
444
233
370
788
802
219
524
470
1097
1160
702
566
222
630
表5.4七月中旬径流数据
98
262
117
1687
291
1318
292
716
254
519
270
273
275
274
374
147
345
70
940
440
2839
141
699
324
900
311
870
596
187
2231
111
949
303
888
328
459
70
1360
1320
表5.5七月下旬径流数据
69
133
392
596
4518
1051
336
867
541
1733
149
266
324
1365
891
918
1751
219
513
438
1033
1217
1290
247
2360
1023
453
1622
1272
1383
1217
1530
1724
703
299
638
548
1200
1220
请估计该水库入库径流的分布。
第6章假设检验
1．现有一批矿砂,测得5个样品的镍含量（%）分别为：
3.25,3.27,3.24,3.26,3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数未知,问在
=0.05下能否认为这批矿砂的镍含量为3.25?
2.某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布
某日测得5炉铁水,其含碳量分别为：
4.28,4.40,4.42,4.35,4.47若标准差没有改变,试问铁水含碳量有无变化
?
4.根据过去几年农产量调查的资料认为，青山乡水稻亩产服从方差为5625的正态分布.今年在实割实测前进行的估产中，随机抽取了10块地，亩产分别为（单位:
斤）540632674680694695708736780845
问：
根据以上估产资料，能否认为青山乡水稻亩产的方差没有发生变化?
（
=0.05）
6.某车间生产的金属丝,质量一贯较为稳定,折断力服从正态分布,方差为64.今从中抽测10根作折断力试验,结果为（单位:
kg）578572570568572570572584570596问：
是否可以相信这批金属丝的折断力方差也为64（
=0.05）?
24.一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，当故障出现时该刀具完成的零件数如下：
459362624542509584433748815505
612452434982640742565706593680
9266531644877346084281153593844
527552513781474388824538862659
77585975549697515628954771609
402960885610292837473677358638
699634555570844166061062484120
447654564339280246687539790581
621724531512577496468499544645
764558378765666763217715310851
试观察该刀具寿命属于哪种分布。
（取
=0.05）
第7章回归分析
1.设x为某个时期的家庭人均收入，y为该时期内平均每十户拥有照相机的数量.统计数据如表所示，求y与x的回归方程，并画出残差及回归方程的图形。
/百元
1.5
1.8
2.4
3.0
3.5
3.9
4.4
4.8
5.0
/（台/十户）
2.8
3.7
5.0
6.3
8.8
10.5
11.0
11.6
13.2
2.1957年美国旧轿车价格的调查资料如下表所示，x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，求y关于x的回归方程。
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2651
1943
1494
1087
765
538
484
290
226
204
3.在硝酸钠的溶解度试验中，测得不同温度x℃下，硝酸钠的溶解度y%的数据如下：
x
0410152129365168
y
66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1
（1）作出散点;
（2）求y与x的回归直线方程；
（3）检验回归的显著性（显著水平
）.
4.在某个农作物种植过程中，为考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据，求y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估计值及预测区间（置信度95%）。
温度/℃20253035404550556065
量/kg13.215.116.417.117.918.719.621.222.524.3
5.设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量。
需求量10075807050659010011060
收入10006001200500300400130011001300300
价格5766875439
第8章方差分析
2．考察下面4种催化剂对某成分浓度的影响是否有显著性。
催化剂
浓度
1
58.2
57.2
58.4
55.8
54.9
2
56.3
54.5
57.0
55.3
3
50.3
54.2
55.4
4
52.9
49.8
50.0
51.7
3．为了研究金属管的防腐蚀功能，考虑了4种不同的涂料涂层。
将金属管埋设在3种不同性质的土壤中，经历了一定的时间，测得金属管腐蚀的最大深度如下表所示（单位mm）。
涂层-土壤类型-腐蚀数据表
土壤类型（因素B）
涂层（因素A）
1
2
3
1.63
1.35
1.27
1.34
1.30
1.22
1.19
1.14
1.27
1.30
1.09
1.32
要求检验不同涂层和不同土壤类型是否对金属管腐蚀有显著影响。
零假设为没有影响。
4．用四种不同的工艺生产电灯泡，从各种工艺生产的电灯泡中分别抽取样品，并测得样品的使用寿命（单位：
h）见下表，检验这四种不同的工艺生产的电灯泡的使用寿命是否有显著的差异。
样品的使用寿命表
工艺
A
B
C
D
样
本
观
测
值
1620
1580
1460
1500
1670
1600
1540
1550
1700
1640
1620
1610
1750
1720
1680
1800
平均值
5．从四个不同产地A、B、C、D的同样材料中分别抽取一件作为样品，每件材料分别在四个不同部位a,b,c,d进行断裂试验，结果见下表。
设各种场合下的试验结果服从方差相同的正态分布。
在0.05的水平下检验不同产地，不同部位的断裂强度是否相同。
四个产地不能部位的断裂强度表
部位
产地A
产地B
产地C
产地D
a
137.1
142.2
128.0
136.6
b
140.1
139.4
116.8
136.5
c
141.8
139.6
132.5
140.8
d
136.1
140.8
132.2
129.0
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