届辽宁省大连市高三双基考试数学理试题解析版.docx

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届辽宁省大连市高三双基考试数学理试题解析版

2019届辽宁省大连市高三5月双基考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集U={2，4，6，8，10}，集合A，B满足∁U（A∪B）={8，10}，A∩∁UB={2}，则集合B=（　　）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】因为，所以，故选A．

【考点】集合的交、并、补运算．

2．已知复数z=1+i，则z4=（　　）

A．B．4iC．D．4

【答案】C

【解析】，故选C．

【考点】复数的运算．

3．已知函数f（x）定义域为R，则命题p：

“函数f（x）为偶函数”是命题q：

“∃x0∈R，f（x0）=f（-x0）”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若偶函数，则有；若，则有，，即，而为奇函数，所以命题：

“函数为偶函数”是命题：

“”的充分不必要条件，故选A．

【考点】1、函数的奇偶性；2、充分条件与必要条件．

4．执行如图的程序框图，输出的C的值为（　　）

A．3B．5C．8D．13

【答案】B

【解析】第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得，不满足循环条件，退出循环，输出，故选B．

【考点】程序框图．

5．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（　　）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，则

【答案】D

【解析】①中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线平行，故正确。

②中，满足条件的直线垂直，故正确。

③中，由面面垂直的性质可得，交线与垂直，故正确。

④中，直线与可能平行，也可能在内，故不正确。

综上④不正确。

答案：

④

6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：

“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？

”（“钱”是古代的一种重量单位）。

这个问题中，甲所得为（）

A．钱B．钱C．钱D．钱

【答案】B

【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.

7．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（　　）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝，又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝＝.

8．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x-2y的最大值为（　　）

A．B．C．1D．2

【答案】C

【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，所以，故选C．

【考点】简单的线性规划问题．

9．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（　　）

A．B．1C．D．2

【答案】B

【解析】由抛物线的方程，知其准线为，，设，则由抛物线的定义，有，所以，所以，所以，故选B．

【考点】抛物线的定义及几何性质．

10．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=（　　）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】联立，得2x2+2mx+m2﹣1＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出m．

【详解】

联立，得2x2+2mx+m2-1=0，

∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，

∴△=4m2+8m2-8=12m2-8＞0，解得m＞或m＜-，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-m，，

y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，=（-x1，-y1），=（x2-x1，y2-y1），

∵+y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=，

解得m=．

故选：

C．

【点睛】

本题考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．

11．在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤sinx”发生的概率为（　　）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】在区间上随机地取两个数、构成的区域的面积为，事件“”发生的区域的面积为，所以所求概率为，故选D．

【考点】1、定积分运算；2、几何概型．

12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）-lnx-x3）=2，则f（e）=（　　）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】试题分析：

因为是上的单调函数，因此由题意可设为常数，，，所以，显然函数是单调增函数，且，所以，即，．故选B．

【考点】函数的单调性，抽象函数问题．

【名师点睛】本题考查了函数的单调性与函数的定义，由单调性定义知，单调函数的定义域与值域是一一对应的，因此题中已知“对任意，均有”，说明是一常数，且其函数值为2，因此可设，从而得到，无形中得出了的表达式，抽象问题具体化，接着只要求出常数即可，而已知为，这样我们得到，由这个方程确定值，这里仍然是利用函数的单调性确定．求得了值，就能求得．

二、填空题

13．双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______．

【答案】

【解析】由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为．

【考点】双曲线的几何性质．

14．的展开式中，x4项的系数为______（用数字作答）．

【答案】

【解析】的展开式的通项公式为，令，解得，所以，项的系数为．

【考点】二项式定理．

15．数列{an}前n项和，则an=______．

【答案】

【解析】当时，，，两式相减，得．又当时，，不满足，所以．

【考点】递推数列．

16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为______．

【答案】34π

【解析】由三视图知该几何体中一个侧面与底面垂直，建立空间直角坐标系，求出几何体外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积．

【详解】

由三视图知，该几何体中一个侧面SAC与底面ABC垂直，

由三视图的数据可得OA＝OC＝2，OB＝OS＝4，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示；

则A（0，﹣2，0），B（4，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），

则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上，设I（x，0，z）；

由得，

，

解得x＝z；

∴外接球的半径R＝|BI|，

∴该几何体外接球的表面积为

S＝4πR2＝4π34π．

故答案为：

34π．

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体外接球的表面积问题，解题的关键是计算外接球的半径，是难题．

三、解答题

17．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0，||＜π）经过点（，-2），（，2），且在区间（，），上为单调函数．

（Ⅰ）求ω，的值；

（Ⅱ）设an=nf（）（n∈N），求数列{an}的前30项和S30．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由三角函数图象与性质及所经过点的特征建立方程求得的值；（Ⅱ）由三角函数的性质知数列的周期为，从而求得．

试题解析：

（Ⅰ）由题可得，

解得，，∵，∴.

（Ⅱ）∵，数列的周期为.

前三项依次为，

∴，

∴.

【考点】1、三角函数图象与性质；2、周期数列的求和．

18．2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：

甲电商：

消费金额（单位：

千元）

[0，1）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

[4，5]

频数

50

200

350

300

100

乙电商：

消费金额（单位：

千元）

[0，1）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

[4，5]

频数

250

300

150

100

200

（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；

（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X，试求出X的期望和方差．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）E（X）=3，D（X）=

【解析】（Ⅰ）由频数分布表，能作出下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小．

（Ⅱ）（i）利用等可能事件概率计算公式求解．

（ii）利用二项分布的性质求解．

【详解】

（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，

甲的中位数在区间[2，3]内，乙的中位数在区间[1，2）内，所以甲的中位数大．

由频率分布图得甲的方差大．

（Ⅱ）（ⅰ）估计在甲电商购物的消费者中，购物小于3千元的概率为；

（ⅱ）由题可得购物金额小于3千元人数X～B（5，），

∴E（X）==3，D（X）=5××=．

【点睛】

本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数及方差的计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．

（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：

ED的值；

（Ⅱ）求二面角B-DF-A的大小．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）arctan

【解析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理进行推理得到E为PD中点即可求PE：

ED的值；

（Ⅱ）根据二面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角B﹣DF﹣A的大小．

【详解】

（Ⅰ）过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，连接AC交BD于O，连接FO．

∵EG∥FD，EG⊄面BDF，FD⊂面BDF，∴EG∥面BDF，又EG∩CE=E，CE∥面BDF，EG，CE⊂面CGE，

∴面CGE∥面BDF，又CG⊂面CGE，∴CG∥面BDF，

又面BDF∩面PAC=FO，CG⊂面PAC，∴FO∥CG．

又O为AC中点，∴F为AG中点，且AF=1，∴AF=FG=1，∵PA=3，∴FG=GP=1，

∴E为PD中点，PE：

ED=1：

1．

（Ⅱ）过点B作BH⊥直线DA交DA延长线于H，过点H作HI⊥直线DF交DF于I，

∵PA⊥面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，∴BH⊥面PAD，由三垂线定理可得DI⊥IB，

∴∠BIH是二面角B-DF-A的平面角．由题易得AH=，BH=，HD=，

且=，∴HI=，∴tan∠BIH=×=，

∴二面角B-DF-A的大小为arctan．

【点睛】

本题主要考查空间线面平行的性质的应用以及二面角的求解，利用相应的性质定理以及作出二面角的平面角是解决本题的关键．

20．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|=c．

（1）椭圆C的离心率；

（2）M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆C的顶点），直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR|•|OQ|=4，求椭圆C的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）法一：

把点横坐标代入椭圆求得，从而得到的关系式，进而求得离心率；法二：

直角中，由勾股定理得到的关系式，从而求得离心率