届河南省顶级名校高三尖子生诊断性检测数学理试题解析版.docx
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届河南省顶级名校高三尖子生诊断性检测数学理试题解析版
2020届河南省顶级名校高三尖子生11月诊断性检测数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据集合并集的定义求出，根据集体补集的定义求出.
【详解】
因为，，所以，又因为集合
，所以，故本题选A.
【点睛】
本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.
2．已知空间三条直线，若与垂直，与垂直，则（）
A．与异面B．与相交
C．与平行D．与平行、相交、异面均有可能
【答案】D
【解析】由题意知，可知的关系不确定，可以是任意的空间直线的关系.
【详解】
因为，
所以与既可以相交，也可以异面，还可以平行，
故选：
D
【点睛】
本题主要考查了空间两条直线间的位置关系，属于容易题.
3．复数满足，则（）
A．恒等于1B．最大值为1，无最小值
C．最小值为1，无最大值D．无最大值，也无最小值
【答案】C
【解析】设，（），由可得，由即可求解.
【详解】
设，（），
因为，
所以，
即，
解得，
所以，
所以有最小1，无大值.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了复数的概念，复数的模，属于中档题.
4．某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的表面积（单位：
cm2）是（）
A．16B．32C．44D．64
【答案】B
【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解．
【详解】
解：
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．
则．
该几何体的表面积．
故选：
．
【点睛】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
5．已知，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】构造函数,利用函数的奇偶性和单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
设，
则函数是偶函数，当时，为增函数，
若，即
可得，
平方得，即，
由，
可得，
即，且，
所以，
则成立，即充分性成立，
当时，满足，且，
但，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：
A
【点睛】
本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，属于中档题.
6．函数y＝ln|x|·cos（－2x）的图像可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。
【详解】
解：
所以函数是奇函数，关于原点对称，故排除；当时，故故排除
故选：
【点睛】
本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题，属于基础题。
7．已知两个不相等的非零向量，，满足，且与－的夹角为60°，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，由已知与的夹角为可得，由正弦定理得，从而可求的取值范围
【详解】
解：
设，，，
如图所示：
则由
又与的夹角为，
又由
由正弦定理得
故选：
．
【点睛】
本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．
8．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是（）
A．存在x，y∈（0，1），E（ξ）>B．对任意x，y∈（0，1），E（ξ）≤
C．对任意x，y∈（0，1），D（ξ）≤E（ξ）D．存在x，y∈（0，1），D（ξ）>
【答案】C
【解析】表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
【详解】
解：
依题意可得，
因为
所以即故，错误；
即，故成立；
故错误
故选：
【点睛】
本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
9．设函数，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意构造新函数，结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可．
【详解】
令，其中，
取可得
取可得
取可得
由可得：
，
将代入可得：
．
故选A．
【点睛】
本题主要考查构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于比较困难的试题．
10．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设过且与一条渐近线平行的直线的方程，依题意在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，可求出与的关系，即可求出离心率的取值范围。
【详解】
解：
双曲线的渐近线为，由极限思想，设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即，依题意若在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，即
即
故选：
【点睛】
本题考查双曲线中离心率的范围的求解，极限思想的运用，属于中档题。
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】建立空间直角坐标系，设二面角为，用含的式子表示点坐标，利用向量法表示出线面角的正弦值的平方，构造函数利用函数的单调性求出，即可求出线面角的正切值的最大值。
【详解】
解：
如图，
以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角为，可证，设棱形的边长为，则，，，，，
易知平面的法向量
设直线与平面所成角为，则
令，
则时即在上单调递增；
时即在上单调递减；
则
故选：
【点睛】
本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题，综合性比较强，难度比较大。
12．己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋＋1，记Sn＝[a1]＋[a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为（）
A．2019B．2018C．4038D．4037
【答案】D
【解析】首先求出数列的前几项，猜想时构造函数证明猜想是正确的，即可求出.
【详解】
解：
依题意得，，
可猜想时
证明：
令
则
可得在单调递减，在单调递增.
即
，满足条件，故猜想正确；
故选：
【点睛】
本题考查由递推公式求数列的和，综合性较强，难度比较大。
二、填空题
13．上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________
【答案】
【解析】由直线y=kx与圆相交得
所以概率为.
14．如图，在△ABC中，AB>AC，BC＝，A＝60°，△ABC的面积等于，则角平分线AD的长等于__________.
【答案】
【解析】由已知利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立解得：
，根据余弦定理可求的值，利用角平分线可得，结合，解得的值，在中，由余弦定理可得的值．
【详解】
解：
，，的面积等于，
解得：
，①
由余弦定理，
可得：
，
解得：
，②
由①②联立解得：
，或（由于，舍去）．
，为角平分线，可得，且，
解得：
，
在中，由余弦定理可得：
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
15．已知数列满足，其前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】根据题意设，由递推关系表示出，要使恒成立，则,解得即可.
【详解】
设，
因为，
则，，，，，，，
，
可知数列的奇数项是递减的，且偶数项也是递减的，
且当时，，
当时，，
要使恒成立，则，
解得，即，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式及数列前n项和的性质，属于难题.
16．已知P为椭圆C：
上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若，则d＝__________.
【答案】
【解析】计算，的值得出点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算．
【详解】
解：
设，，则，
不妨设在第一象限，则，，
故以为圆心以为半径的圆为：
，①
以为圆心以为半径的圆为：
，②
①②得：
，代入椭圆方程可得：
，
故，，
当时，由得，故，
椭圆在处的切线的斜率．
切线方程为：
，即，
原点到切线的距离．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，属于中档题．
三、解答题
17．已知函数f（x）＝sinx－cosx
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（B）＝，b＝3，求△ABC面积的最大值.
【答案】
（1），；
（2）.
【解析】
（1）利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；
（2）由
（1）可求利用余弦定理及重要不等式，可求面积最大值。
【详解】
解：
（1）令，解得
，
故函数的单调递增区间为，
（2）由
或，
或，
是三角形的内角，
即
当且仅当时，的面积取最大值是
【点睛】
本题考查三角函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于一般题。
18．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.
（1）求证：
AE//平面PDC；
（2）若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）
【解析】
（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．
【详解】
解：
（1）证明：
取的中点，连结、，
是的中点，，且，
，，，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面．
（2）解：
，是等腰三角形，
，又，，
平面，平面，
，又，平面，
平面，，，
又，平面，
连结，，则就是直线与平面所成角，
设，
在中，解得，，，
在中，解得，
在中，，
直线与平面所成角的余弦值为．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各取2个球.
（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.
【答案】
（1）；
（2）分布列见解析，
【解析】
（1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球”，表示出事件的概率，取出的4个球中恰有1个红球的，包含两个基本事件，利用互斥事件和概率计算公式计算；
（2）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3，4，结合
（1）中信息分别求出相应的概率，写出分布列即可．
【详解】
（1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球”
则，
设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”，
取出的4个球中恰有1个红球的概率为，
（2）可能的取值为0，1，2，3，4．
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