届湖南省浏阳市六校联考高三上学期期中考试数学文试题解析版.docx

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届湖南省浏阳市六校联考高三上学期期中考试数学文试题解析版

2019届湖南省浏阳市六校联考高三上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，，则=（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

先求出，再求出即可得到结果．

【详解】

∵，，

∴．

又，

∴．

故选C．

【点睛】

本题考查集合的基本运算，解题时根据运算顺序逐步求解即可，属于简单题．

2．函数的单调递增区间为（ ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．

【详解】

由可得或，

∴函数的定义域为．

设，则在上单调递减，

又函数为减函数，

∴函数在上单调递增，

∴函数的单调递增区间为．

故选D．

【点睛】

（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数．

（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为．

3．已知平面向量，，且，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

由求出的值，然后再求出即可．

【详解】

∵，，且，

∴，

∴．

∴，

∴．

故选C．

【点睛】

本题考查向量共线条件的运用和向量的基本运算，考查运算能力，属于基础题．

4．已知点是角终边上的一点，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可．

【详解】

∵点是角终边上的一点，

∴，

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题．

5．设函数，若，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

先求出，再根据得到，进而可得．

【详解】

由题意得，

∴，

又，

∴，

解得．

故选B．

【点睛】

已知分段函数的解析式求函数值时，首先要注意确定自变量所在的范围，然后选择相应的解析式代入后求出函数值即可，属于基础题．

6．已知，，，则的大小关系是（ ）

A．cB．C．D．

【答案】B

【解析】

根据指数函数的单调性判断出的范围，然后再确定出的范围，进而可得的大小关系．

【详解】

∵，

∴．

又，

∴．

故选B．

【点睛】

比较幂的大小时，若底数相同或指数相同，则可根据指数函数或幂函数的单调性求解，若底数和指数都不相同时，则要构造中间量进行大小的判断．若比较大小的数中含有对数时，一般先判断出每个数所在的范围，然后再进行大小的比较．

7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（）

A．3盏B．9盏C．192盏D．9384盏

【答案】C

【解析】

由题意可得最下面层数灯的盏数最多，设最下层有盏灯，

结合题意可得：

，且，

据此排除ABD选项.

本题选择C选项.

8．已知函数，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

根据图象变换得到函数的解析式，然后再判断得到该函数对应图象的对称轴．

【详解】

由题意得，

令，

得，

当时，得．

所以函数图象的一条对称轴方程．

故选C．

【点睛】

由图象变换得到函数的解析式是解题的关键，另外，在研究函数的性质时，要利用整体代换的方法，将看作一个整体，然后再结合正弦函数的性质求解．

9．函数的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

根据函数的定义域、奇偶性和函数值的变化趋势进行判断，可得函数图象的大体形状．

【详解】

由题意得函数的解析式为，

∵，

∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，

∴可排除C,D．

又当x→0时，cos（πx）→1，→0，

∴f（x）→+∞，所以可排除B．

故选A．

【点睛】

根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般采用排除法进行求解，解题时可根据函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊值或函数值的变化趋势等进行排除，逐步可得结果．

10．在中，若，则下面等式一定成立的为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

根据倍角公式可得，从而，再根据

及两角和的余弦公式整理可得，于是可得，

故得．

【详解】

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

又为三角形的内角，

∴，

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查三角形中的三角变换，解题时注意正确运用公式，还需注意符号问题．另外还要注意三角形中的三个内角间的关系，属于基础题．

11．已知是上的增函数,那么的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

根据分段函数在实数集R上的单调性进行判断，注意分界点处的函数值的大小关系．

【详解】

∵函数是上的增函数，

∴，即，

解得，

∴实数的取值范围是．

故选B．

【点睛】

对于分段函数在实数集R上的单调性问题，除了考查函数在定义域的每一个区间上的单调性之外，还要考虑函数在分界点处的函数值的大小关系，这是在解题中很容易出现错误的地方．

12．设函数，若是的极小值点，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

求出函数的的定义域和，由，得，通过讨论的范围，得到函数的单调性，结合已知条件可求出的取值范围．

【详解】

由题意得函数的定义域为．

∵，

∴，

∵是的极小值点，

∴，

∴．

∴，

①若a⩾0，则由，得x=1，

且当0

当x>1时，，此时f（x）单调递减．

所以x=1是f（x）的极大值点，不合题意．

②若a<0，由，得x=1或，

因为x=1是f（x）的极小值点，

所以，解得．

由①②得实数a的取值范围是．

故选D．

【点睛】

本题考查对函数极值概念的理解，解题的关键有两个：

（1）根据是的极小值点可得；

（2）解题时注意对参数的取值的讨论，特别是根据是的极小值点得到与1的大小关系，进而得到所求的范围．

二、填空题

13．若点在幂函数的图象上，则________

【答案】

【解析】

由题意及待定系数法求出幂函数的解析式，然后再求出即可．

【详解】

由题意设，

∵点在函数的图象上，

∴，

∴，

∴，

∴.

故答案为：

9.

【点睛】

本题考查幂函数的定义，解题的关键是熟知幂函数的解析式，属于基础题．

14．函数的定义域为_____

【答案】

【解析】

由函数解析式的特点得到关于的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．

【详解】

要使函数有意义，则需满足，解得，

所以函数的定义域为．

故答案为：

．

【点睛】

已知函数的解析式求函数的定义域时，关键是根据解析式的特点得到自变量的限制条件，进而得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）可得所求的定义域．另外，还需注意函数的定义域一定为集合或区间的形式．

15．已知向量，且在上的投影为3，则与的夹角为______

【答案】

【解析】

根据向量数量积的几何意义求得的值，然后再求出两向量的夹角．

【详解】

设，的夹角为，

则，

又，

∴，

解得．

∴，

又，

∴．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题．

16．是定义在上的周期为3奇函数，当时，，则__________

【答案】

【解析】

根据周期性计算出根据函数为奇函数和周期性求出后可得结果．

【详解】

由题意得，

又，

∴.

故答案为：

．

【点睛】

解答本题的关键是将求值问题转化到给定的区间上求解，另外还应注意奇函数的性质，即“若奇函数在处有意义，则有”．

三、解答题

17．已知分别为三个内角的对边,

（1）求角的大小；

（2）若的周长为，外接圆半径为，求的面积.

【答案】

（1）；

（2）

【解析】

（1）由题意及正弦定理得到，结合三角变换可得，于是，故得．

（2）由外接圆半径及正弦定理得，根据周长可得，再根据余弦定理得到，于是可得所求的面积．

【详解】

（1）由正弦定理得:

，

，

∵，

∴．

又为的内角，

∴．

（2）∵的外接圆半径为，

∴，

∴，

由余弦定理得，

所以，

∴，

∴的面积．

【点睛】

本题考查解三角形的应用，属于基础题．解答本题时注意以下两点：

（1）由得到时必须说明，另外，求角时不要忘了说明角的范围．

（2）应用余弦定理时注意变形的应用，如等，注意整体代换的应用．

18．已知数列是等差数列，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】

（1）；

（2）

【解析】

（1）根据题意求出等差数列的首项和公差后可得通项公式；

（2）得到数列的的通项公式后根据裂项相消的方法求得．

【详解】

（1）设等差数列的首项为，公差为，

∵，，

∴，

解得，

∴．

（2）由条件及

（1）得，

∴

=

．

【点睛】

用裂项相消法求和的原则及规律

（1）裂项原则：

一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．

（2）消项规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

19．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定：

车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：

该函数模型如下：

根据上述条件，回答以下问题：

（1）试计算喝一瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？

最大值是多少？

（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？

（时间以整小时计算）

（参考数据：

）

【答案】

（1）喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值毫克/百毫升；

（2）6

【解析】

（1）结合图象可得当函数取得最大值时，，此时，根据的范围可得所求的最大值．

（2）由题意得时满足题意，结合所求可得

，整理得，两边取对数后再解不等式可得所求的结果．

【详解】

（1）由散点图可知，当函数取得最大值时，的范围为，

此时，

∵，

∴，

∴当，即时，函数取得最大值，且最大值为．

故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值毫克/百毫升．

（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，

此时．

由，得，

两边取自然对数，得，

即，

所以，

故喝啤酒后需个小时后才可以合法驾车．

【点睛】

解答本题的关键是读懂题意，并根据所求正确选择解析式的形式，然后再结合相关知识进行求解．考查阅读理解和应用知识解决实际问题的能力，属于基础题．

20．已知定义域为的单调函数是奇函数,当时,.

（1）求的解析式.

（2）若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）

【解析】

（1）根据函数为奇函数可求得当时的解析式，再根据可得所求．

（2）由题意可得函数在上单调递减，然后根