实验五解线性方程组的迭代法报告.docx
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实验五解线性方程组的迭代法报告
实验五解线性方程组的迭代法
一、问题提出
对实验四所列目的和意义的线性方程组,试分别选用Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法和SOR方法计算其解。
二、要求
1、体会迭代法求解线性方程组,并能与消去法做以比较;
2、分别对不同精度要求,如
由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢;
3、对方程组2,3使用SOR方法时,选取松弛因子ω=0.8,0.9,1,1.1,1.2等,试看对算法收敛性的影响,并能找出你所选用的松弛因子的最佳者;
4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义
1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点,并能和消去法比较;
2、运用所学的迭代法算法,解决各类线性方程组,编出算法程序;
3、体会上机计算时,终止步骤
或k>(给予的迭代次数),对迭代法敛散性的意义;
4、体会初始解
,松弛因子的选取,对计算结果的影响。
四、实验学时:
2学时
五、实验步骤:
1.进入C或matlab开发环境;
2.根据实验内容和要求编写程序;
3.调试程序;
4.运行程序;
5.撰写报告,讨论分析实验结果.
解:
J迭代算法:
程序设计流程图:
源程序代码:
#include
#include
#include
voidmain()
{
floata[50][51],x1[50],x2[50],temp=0,fnum=0;
inti,j,m,n,e,bk=0;
printf("使用Jacobi迭代法求解方程组:
\n");
printf("输入方程组的元:
\nn=");
scanf("%d",&n);
for(i=1;ix1[i]=0;
printf("输入方程组的系数矩阵:
\n");
for(i=1;i{
j=1;
while(j{
scanf("%f",&a[i][j]);
j++;
}
}
printf("输入方程组的常数项:
\n");
for(i=1;i{
scanf("%f",&a[i][n+1]);
}
printf("\n");
printf("请输入迭代次数:
\n");
scanf("%d",&m);
printf("请输入迭代精度:
\n");
scanf("%d",&e);
while(m!
=0)
{
for(i=1;i{
for(j=1;j{
if(j!
=i)
temp=a[i][j]*x1[j]+temp;
}
x2[i]=(a[i][n+1]-temp)/a[i][i];
temp=0;
}
for(i=1;i{
fnum=float(fabs(x1[i]-x2[i]));
if(fnum>temp)temp=fnum;
}
if(temp<=pow(10,-4))bk=1;
for(i=1;ix1[i]=x2[i];
m--;
}
printf("原方程组的解为:
\n");
for(i=1;i{
if((x1[i]-x2[i])<=e||(x2[i]-x1[i])<=e)
{
printf("x%d=%7.4f",i,x1[i]);
}
}
}
运行结果:
GS迭代算法:
#include
#include
#include
constintm=11;
voidmain()
{
intchoice=1;
while(choice==1)
{
doublea[m][m],b[m],e,x[m],y[m],w,se,max;
intn,i,j,N,k;
cout<<"Gauss-Seidol迭代法"<cout<<"请输入方程的个数:
";
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cout<<"请输入第"<
";
for(j=1;j<=n;j++)
cin>>a[i][j];
}
cout<<"请输入各个方程等号右边的常数项:
\n";
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>b[i];
}
cout<<"请输入最大迭代次数:
";
cin>>N;
cout<<"请输入最大偏差:
";
cin>>e;
for(i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=0;
y[i]=x[i];
}
k=0;
while(k!
=N)
{
k++;
for(i=1;i<=n;i++)
{
w=0;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(j!
=i)
w=w+a[i][j]*y[j];
}
y[i]=(b[i]-w)/double(a[i][i]);
}
max=fabs(x[1]-y[1]);
for(i=1;i<=n;i++)
{
se=fabs(x[i]-y[i]);
if(se>max)
max=se;
}
if(max{
cout<for(i=1;i<=n;i++)
cout<<"x"<
break;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=y[i];
}
}
if(k==N)
cout<<"迭代失败!
!
"<choice=0;
}
}
SOR方法:
#include
#include
#include
/**********定义全局变量**********/
float**a;/*存放A矩阵*/
float*b;/*存放b矩阵*/
float*x;/*存放x矩阵*/
floatp;/*精确度*/
floatw;/*松弛因子*/
intn;/*未知数个数*/
intc;/*最大迭代次数*/
intk=1;/*实际迭代次数*/
/**********SOR迭代法**********/
voidSOR(floatxk[])
{
inti,j;
floatt=0.0;
floattt=0.0;
float*xl;
xl=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));
for(i=1;i{
t=0.0;
tt=0.0;
for(j=1;j
t=t+a[i][j]*xl[j];
for(j=i;jtt=tt+a[i][j]*xk[j];
xl[i]=xk[i]+w*(b[i]-t-tt)/a[i][i];
}
t=0.0;
for(i=1;i{
tt=fabs(xl[i]-xk[i]);
tt=tt*tt;
t+=tt;
}
t=sqrt(t);
for(i=1;ixk[i]=xl[i];
if(k+1>c)
{
if(t<=p)
printf("\nReachthegivenprecision!
\n");
else
printf("\noverthemaximalcount!
\n");
printf("\nCountnumberis%d\n",k);
}
else
if(t>p)
{
k++;
SOR(xk);
}
else
{
printf("\nReachthegivenprecision!
\n");
printf("\nCountnumberis%d\n",k);
}
}
/**********程序*****开始**********/
voidmain()
{
inti,j;
printf("SOR方法\n");
printf("请输入方程个数:
\n");
scanf("%d",&n);
a=(float**)malloc(sizeof(float)*(n+1));
for(i=0;ia[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));
printf("请输入三对角矩阵:
\n");
for(i=1;ifor(j=1;jscanf("%f",&a[i][j]);
for(i=1;ifor(j=1;jb=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));
printf("请输入等号右边的值:
\n");
for(i=1;iscanf("%f",&b[i]);
x=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));
printf("请输入初始的x:
");
for(i=1;iscanf("%f",&x[i]);
printf("请输入精确度:
");
scanf("%f",&p);
printf("请输入迭代次数:
");
scanf("%d",&c);
printf("请输入w(0\n");
scanf("%f",&w);
SOR(x);
printf("方程的结果为:
\n");
for(i=1;iprintf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);
}
程序运行结果讨论和分析:
①迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点.
②迭代法在收敛性及收敛速度等方面存在问题.
[注:
A必须满足一定的条件下才能运用以下三种迭代法之一.在Jacobi中不用产生的新数据信息,每次都要计算一次矩阵与向量的乘法,而在Gauss利用新产生的信息数据来计算矩阵与向量的乘法.在SOR中必须选择一个最佳的松弛因子,才能使收敛加速.]
经过计算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩点计算量,也是Jacobi方法的改进.可是精确度底,计算量高,费时间,需要改进.SOR是进一步改进Gauss-Seidel而得到的比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,综合性强.改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法.
③选择一个适当的松弛因子是关键.
结论:
线性方程组1和2对于Jacobi迭代法,Gauss-Seidol迭代法和SOR方法均不收敛,线性方程组3收敛。