精选教育人教版八年级数学下册 第19章《一次函数》讲义 第22讲 一次函数的综合应用doc.docx

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第22讲一次函数的综合应用

第一部分知识梳理

知识点一：

实际问题的函数解析式

（1）定义型

（2）点斜型（3）两点型（4）图像型（5）斜截型

（6）平移型（7）实际应用型（8）面积型（9）比例型

（10）对称型

知识归纳：

若直线

与直线

关于

（1）x轴对称，则直线l的解析式为

（2）y轴对称，则直线l的解析式为

（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

（4）直线

对称，则直线l的解析式为

（5）原点对称，则直线l的解析式为

知识点二：

一次函数的应用

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0,y0）

在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）或不等式（组）或函数性质进行求解.

知识点三：

一次函数的综合

直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：

k1=k2且b1

b2

（2）两直线相交：

k1

k2

（3）两直线重合：

k1=k2且b1=b2（4）两直线垂直：

即k1﹒k2=-1

（5）两直线交于y轴上同一点:

b1=b2

函数的思想、数形结合的思想，分类讨论的思想。

第二部分考点精讲精练

考点1、实际问题的函数解析式

例1、某计算器每个定价80元，若购买不超过20个，则按原价付款：

若一次购买超过20个，则超过部分按七折付款．设一次购买数量为x（x＞20）个，付款金额为y元，则y与x之间的表达式为（）

A、y=0.7×80（x-20）+80×20B、y=0.7x+80（x-10）

C、y=0.7×80•xD、y=0.7×80（x-10）

例2、等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　）

A、y=－0.5x+20（0＜x＜20）B、y=－0.5x+20（10＜x＜20）

C、y=－2x+40（10＜x＜20）D、y=－2x+40（0＜x＜20）

例3、甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m处，设xs（0≤x≤100）后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为　　　．（写出自变量取值范围）

例4、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是．

例5、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，如图，

求：

（1）y与x之间的函数关系式；

（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数

例6、年级

（1）班班委发起为玉树灾区捐款义卖活动，决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款．已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具，并按每个15元卖出，租用摊位一天的租金为20元．

（1）求同学们当天所筹集的善款y（元）与销售量x（个）之间的函数关系式（善款=销售额-成本）；

（2）若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出玩具多少个？

举一反三：

1、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系式（　　）

A、Q=5tB、Q=5t+40C、Q=40－5t（0≤t≤8）D、以上答案都不对

2、如图中各图分别是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）个花盆，每个图案花盆的总数是s．按此规律推出，s与n的关系式是（）

A、S=3nB、S=3（n-1）C、S=3n-1D、S=3n+1

3、某楼盘共23层，销售价格如下：

第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为．

4、一位卖报人每天从报社固定购买100分报纸，每份进价0.6元，然后以每份1元的价格出售．如果报纸卖不完退回报社时，退回的报纸报社只按进价的50%退款给他．如果某一天卖报人卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，试写出y与x的表达式．

5、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．

（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；

（2）该蚊香可点燃多长时间？

6、水管是圆柱形的物体，在施工中，常常如下图那样堆放，随着的增加，水管的总数是如何变化的？

如果假设层数为n，物体总数为y．

（1）请你观察图形填写下表，

（2）请你写出y与n的函数解析式．

7、某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元．求一个工人：

（1）完成100个以内所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；

（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；

（3）完成200个以上所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式．

考点2、一次函数的应用

例1、明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：

m2）与工作时间t（单位：

h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（　　）

A、300m2B、150m2C、330m2D、450m2

例2、如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）

A、1元B、2元C、3元D、4元

（例1）（例2）

例3、如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省元．

例4、甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③甲队比乙队提前3天完成任务；

④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．

正确的有______．（在横线上填写正确的序号）

（例3）（例4）

例5、为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．

根据这个购房方案：

（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；

（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；

（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．

例6、某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y与x的关系式；

（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？

（3）若限定商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元？

若能，请求出此时该商店购进A型电脑的台数；若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围．

举一反三：

1、小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：

米）与他所用的时间t（单位：

分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：

①公交车的速度为400米/分钟；

②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；

③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；

④小刚上课迟到了1分钟．

其中正确的个数是（　　）

A、4个B、3个C、2个D、1个

2、如图1为深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（　　）

A．注水的速度为每分钟注入

cm高水位的水

B．放人的长方体的高度为30cm

C．该容器注满水所用的时间为21分钟

C．此长方体的体积为此容器的体积的

3、设甲,乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米,y关x于的函数关系如图所示,则甲车的速度是_______米/秒.

4、某通讯公司的4G上网套餐每月上网费用y（单位：

元）与上网流量x（单位：

兆）的函数关系的图象如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a的值为．

（3）（4）

5、某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元。

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；

（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？

6、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l2所示（不考虑其它因素）．

（1）求原有蓄水量y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．

（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．

考点3、一次函数的综合

例1、直线y=

x+4和x轴、y轴分别相交于点A，B．在平面直角坐标系内，A、B两点到直线a的距离均为2，则满足条件的直线a的条数有（）

A、1条B、2条C、3条D、4条

例2、如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（　　）

A、4B、8C、82D、16

例3、在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB、OC，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，已知BC=a（a是常数），设△ABC的周长为y，△AEF的周长为x，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（　　）

例4、已知函数y=

x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（利用点到直线的距离公式即可求解）。

例5、一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴的交点分别为A、B，若C为OB的中点，则点C到直线AB的距离CD等于多少？

例6、已知直线y=

x+1交x轴于点A，交y轴于点B，在直线AB上有一动点M，在坐标平面内有另一点N，点O为坐标原点．若以点O、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则符合的点N的坐标有多少个，请说明理由。

举一反三：

1、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=

x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=______．

2、如图，在平面直角坐标系中，直线

与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3，OC=4，则△CEF的面积是（　　）

A、6B、3C、12D、

（1）

（2）

3、在直角坐标系中，点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为

4、如图，已知正方形ABCD的顶点坐标为A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），直线y=2x+b交AB于点E，交CD于点F．则直线在y轴上的截距b的变化范围是．

5、当a≠0，b≠0且a≠b时，一次函数y=ax+b，y=bx+a和y=a的图象围成的图形的面积为多少？

6、如图，直线y=kx+6与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为（－8，0），点A的坐标为（－6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．

（1）求k的值；

（2）若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）探究：

当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为

，并说明理由．

第三部分课堂小测

1、目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识．据测试：

拧不紧的水龙头每分钟滴出60滴水，每滴水约0.05毫升．小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水．设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是（）

A、y=0.05xB、y=3xC、y=60xD、y=0.05x+60

2、等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数表达式是（　　）

A、y=180－2xB、y=180－xC、y=

（180－x）D、y=90－x

3、已知，A市到B市的路程为260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车所用时间x（小时）之间的函数图象，下列四种说法：

①甲车提速后的速度是60千米/时；

②乙车的速度是96千米/时；

③乙车返回时y与x的函数关系式为y=-96x+384；

④甲车到达B市乙车已返回A市2小时10分钟．

其中正确的个数是（　　）

A、1个B、2个C、3个D、4个

4、甲、乙两专卖店日销售收入y元和x天的函数图象如图，在这期间，乙店停业装修一段时间，重新开业后，乙店的日均销售收入是原来的2倍，则下列说法中正确的为（）

①乙专卖店停业装修8天；②20天时，甲专卖店日收入12019元；③a=30000；

④30天时，两店的日销售总收入刚好达到3万元．

A、1个B、2个C、3个D、4个

5、如图，AO为入射光线，OB为反射光线．已知A（－2，3），由光的反射原理：

入射角等于反射角，得到OB所在直线的解析式为．

6、一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：

cm）关于所挂重物x（单位：

kg）的函数关系式。

7、一台微波炉的成本是a元，销售价比成本增加22%，因库存积压按销售价的60%出售，则每台实际售价P（元）与成本a（元）之间的关系式是．

8、甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A、B两市分别用粮1200吨、800吨，需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为6元/吨、5元/吨；由乙库到A、B两市的运费分别是9元/吨、6元/吨，则总运费最少需_____元．

9、如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要      s能把小水杯注满．

10、观察图，先填空，然后回答问题：

（1）由上而下第n行，白球有个；黑球有个．

（2）若第n行白球与黑球的总数记作y，则请你用含n的代数式表示y，并指出其中n的取值范围．

11、“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场.顺风车行经营的A型车2019年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.

（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

第四部分提高训练

1、从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（p≠q），构成函数y=px－2和y=x+q，并使这两个函数图象的交点在直线x=2的右侧，则这样的有序数对（p，q）共有（　　）

A、12对B、6对C、5对D、3对

2、如图所示，已知直线y=

x+1与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于。

3、设直线kx+（k+1）y－1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2+…+S2009=．

4、如图，若O是△ABC的内角的平分线交点，∠A=x°，∠BOC=y°，求y与x函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

5、某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，

设其中甲种商品购进x件

（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．

①求y与x的函数关系式；

②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？

若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及

（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．

6、某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．

探究：

设行驶吋间为t分．

（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；

（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？

并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．

发现：

如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．

情况一：

若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；

情况二：

若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．

比较哪种情况用时较多？

（含候车时间）

决策：

己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P（不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．

（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：

（2）设PA=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？

第五部分课后作业

1、小明每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，设该天小明上学行走t分时行走的路程为S米，则当l5＜t≤25时，s与t之间的函数关系是（　　）

A、s=30tB、s=900－30tC、S=45t－225D、s=45t－675

2、“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：

“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”．在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2），则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是（　　）

A、y=63x（x＞2）B、y=63x+100（x＞2）

C、y=63x+10（x＞2）D、y=63x+90（x＞2）

3、小明和小亮在操场的同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y（米）与小亮出发的时间t（秒）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：

①小明的速度是4米/秒；

②小亮出发100秒时到达了终点；

③小明出发125秒时到达了终点；

④小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米．其中正确的说法为（　　）

A、①②③B、②③④C、①②④D、①②③④

4、今年3月，市路桥公司决定对A、B两地之间的公路进行改造，并由甲工程队从A地向B地方向修筑，乙工程队从B地向A第方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系如图所示．下列说法：

①乙工程队每天修公路160米；

②甲工程队每天修公路120米；

③甲比乙多工作6天；

④A、B两地之间的公路总长是1200米．其中正确的说法有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

（4）（5）

5、一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：

升）与时间x（单位：

分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．

6、 现有笔记本500本分给学生，每人5本，则余下的本数y和学生数x之间的函数解析式为，自变量x的取值范围是．

7、某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在地的气温为y℃，则y与x的函数关系式为．

8、如图是一辆汽车油箱里剩油量y（L）与行驶时间x（h）的图象，根据图象回答下列问题：

（1）汽车行使前油箱里有L汽油；

（2）当汽车行使2h，油箱里还有L油；

（3）汽车最多能行使h，它每小时耗油L；

（4）求油箱中剩油y（L）与行使时间x（h）之间的函数关系式．

9、我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：

甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%．

（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？

（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？

（3）在

（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？

并求出最低费用．

10、都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单