A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法.docx

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A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

≌△AEC

（2）∠α+∠BOC=180（3）OA平分∠BOC变形：

例

1、如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明

（1）

（2）（3）

与之间的夹角为（4）（5）（6）

平分（7）变式精练1：

如图两个等边三角形与，连结与，证明

（1）

（2）（3）与之间的夹角为（4）与的交点设为,平分变式精练2：

如图两个等边三角形与，连结与，证明

（1）

（2）（3）与之间的夹角为（4）与的交点设为,平分例2：

如图，两个正方形与,连结,二者相交于点问：

（1）是否成立？

（2）是否与相等？

（3）与之间的夹角为多少度？

（4）是否平分？

例3：

如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点问：

（1）是否成立？

（2）是否与相等？

（3）与之间的夹角为多少度？

（4）是否平分？

例4：

两个等腰三角形与，其中,,连结与，问：

（1）是否成立？

（2）是否与相等？

（3）与之间的夹角为多少度？

（4）是否平分？

例5：

如图，点

A、

B、C在同一条直线上，分别以A

B、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△AB

D、△BCE、连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接F

B、判断线段F

B、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】

如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62，求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：

凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：

将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】

常用辅助线添加方法倍长中线△ABC中方式1：

延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：

间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD

【例1】

已知：

中，是中线、求证：

、

【练1】

在△中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？

【练2】

如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：

、

【练3】

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E、求证：

DE=EF（倍长中线、截长补短）

【例2】

如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：

、

【练1】

如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：

【练2】

如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G、求证：

BF=CG、

【练3】

如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：

为的角平分线、

【练4】

如图所示，已知中，平分，、分别在、上、，、求证：

∥

【例3】

已知为的中线，，的平分线分别交于、交于、求证：

、

【练1】

在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足、若，，则线段的长度为_________、

【练2】

如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______、

【练3】

在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且、

（1）若，以线段、、为边能否构成一个三角形？

若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

（2）如果，求证、

【例4】

如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、、探究、的关系、（证角相等方法）

【练1】

如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点、探究与的数量关系和位置关系、（证角相等方法）

【练2】

如图，在中，，，是边的中线、求证：

【例5】

如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证、

【练1】

已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线、求证：

【练2】

如图,C

B、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠AB

C、求证CE=2C

D、

【例16】

如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点、探究与的数量关系和位置关系、（倍长中线与手拉手模型综合应用）

【练1】

已知：

如图，正方形和正方形，点是线段的中点、⑴试说明线段与数量关系和关系、⑵如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？

若正确，请你证明；若不正确，请说明理由、★全等之截长补短：

人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用、而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法（把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，全等）

【例10】

如图所示，中，，AD平分交BC于D。

求证：

AB=AC+CD。

【练1】

如图所示，在中，，的角平分线A

D、CE相交于点O。

求证：

AE+CD=AC。

【练2】

已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明、

【练2】

如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：

AB=AD+B

C、

【练3】

已知：

如图,在△ABC中,∠A=90∘，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。

求证：

BC=AB+A

D、

【练4】

点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120，∠MDN=60，求证MN=MB+N

C、

【例11】

已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）

【练1】

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点

D、求证：

∠DBC＝∠BA

C、

【例12】

如图所示，已知，P为BN上一点，且于D，AB+BC=2BD，求证：

。

【练1】

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

【例13】

如图所示，在中，AB=AC，，，CE垂直于BD的延长线于E。

求证：

BD=2CE。

【练1】

已知：

如图示，在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线、求证：

CD=2A

D、

【练2】

如图所示，在中，，AD为的平分线，=30，于E点，求证：

AC-AB=2BE。

【练3】

正方形ABCD,E是BC上一点,AEEF,交∠DCH的平分线于点F，求证AE=EF

【练4】

已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：

BD=CE

【例14】

如图所示，已知//CD，的平分线恰好交于AD上一点E，求证：

BC=AB+CD。

【练1】

如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于

D、求证：

AD+BC=A

B、

【练2】

如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：

AE=EC+C

D、

【练3】

在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠

C、求证：

CD=AB+B

D、

【练4】

如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D为三角形ABC外一点,且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延长线于点E、试探求E

D、AE和BC之间有何数量关系

【练5】

在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

【例15】

如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：

AB-AC＞PB-PCDA12PBC

【练1】

已知为的中线，，的平分线分别交于、交于、求证：

、如图，E是的平分线上一点，，，垂足为

C、D。

求证：

（1）OC=OD；

（2）DF=CF。

构造等边三角形

1、如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60∘，E是AD上一点，且有DE=D

B、求证：

AE=BE+B

C、2、在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求、练习

1、如图,在△ABC中,∠ACB=90,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于

A、2cm

B、3cm

C、4cm

D、5cmABCDABCD练习

2、在△ABC和△ABC中,AB=AB,AC=AC,点D,D分别是BC,BC的中点,且AD=AD,证眀：

、（倍长中线）练习

3、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：

∠2=∠1+∠C练习

4、如图

（1），已知△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AE是过A的一条直线，且

B、C在

A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E

（1）试说明：

BD=DE+CE、

（2）若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？

请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？

请直接写出结果，不需说明理由、如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，有过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：

DE＝BD－CE、（思路：

截长补短法）如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60∘,BD+DC=A

B、求证：

∠ACD=60∘、（截长补短）

1、如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、、探究、的关系、（辅助线的连法都一样）

2、已知：

如图，正方形和正方形，点是线段的中点、⑴试说明线段与数量关系和关系、（辅助线的连法都一样）⑵如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？

若正确，请你证明；若不正确，请说明理由、3、已知为的中线，，的平分线分别交于、交于、求证：

、（辅助线的连法都一样）

【阅读理解】

已知：

如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90，AD是角平分线，交BC边于点

D、求证：

AC=AB+BD证明：

如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：

Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED=∠B=90，DE=DB又∵∠C=45，∴△DEC是等腰直角三角形、∴DE=E

C、∴AC=AE+EC=AB+B

D、

【解决问题】

已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为、

【数学思考】

XXXXX：

现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段A

C、A

B、BD之间的数量关系，并证明你的猜想、

【类比猜想】

任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段A

C、A

B、BD之间的数量关系、如图,已知∠B=∠C=90，M是BC的中点，DM平分∠AD

C、

（1）求证：

AM平分∠DAB

（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？

（3）线段C

D、A

B、AD间有怎样的关系？

直接写出结果。